可微，可导，可积与连续的关系

一函数

先从定义出发：

极限的定义

设函数 $f (x)$ 在点 $x_0$ 的某一去心邻域内有定义，如果存在常数 $A$ ，对于给定的任意正数 $\epsilon$ ，总存在正数 $\delta$ ，使得当 $x$ 满足不等式 $0<|x-x_0|<\delta$ 时，对应的 $f (x)$ 总满足不等式 $|f(x)-A|<\epsilon$ ，那么常数 $A$ 就叫做函数 $f (x)$ 当 $x\to x_0$ 时的极限，记作 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A$

连续的定义

设函数 $y = f (x)$ 在点 $x_0$ 的某一邻域内有定义，如果 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$ ，那么称函数 $f (x)$ 在点 $x_0$ 处连续

设函数 $y = f (x)$ 在点 $x_0$ 的某一邻域内有定义。如果函数 $f (x)$ 有下列三种情形之一：

在 $x=x_0$ 有定义

虽在 $x=x_0$ 处有定义，但 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)$ 不存在

虽在 $x=x_0$ 处有定义，且 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)$ 存在，但 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\ne f(x_0)$

则 $f (x)$ 在点 $x_0$ 处不连续， $x_0$ 称为不连续点。

可微的定义

设函数 $y = f (x)$ 在区间内有定义， $x_0$ 及 $x_0+\Delta x$ 在区间内，如果增量 $\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$ 可表示为 $\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)$ ，其中 $A$ 是不依赖于 $\Delta x$ 的常数，那么称函数 $y = f (x)$ 在点 $x_0$ 处可微。 $A\Delta x$ 叫做函数 $y = f (x)$ 在点 $x_0$ 处相应于 $\Delta x$ 的微分，记作 $\mathrm dy$

可积的定义

设 $f (x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，则 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上可积。

设 $f (x)$ 在区间 $[a, b]$ 上有界，且只有有限个间断点，则 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上可积。

1. 可导与连续的关系：

$\red{可导必然连续}$

$P r o o f :$

设函数 $f(x_0)$ 在点 $x_0$ 可导。

$\because\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=f^\prime(x_0)$

$\therefore\frac{\Delta y}{\Delta x}=f^\prime(x_0)+\alpha$

$\therefore\alpha\to0\ (\Delta x\to0)$

$\because\Delta y=f^\prime(x_0)\Delta x+\alpha\Delta x$

$\therefore\lim\limits_{\Delta x\to0}\Delta y=\lim\limits_{\Delta x\to0}[f^\prime(x_0)\Delta x+\alpha\Delta x]=0$

$\because\Delta y=f(x)-f(x_0)$

$\therefore$ 可导必连续

$\red{连续不一定可导}$

如图
在这里插入图片描述

2. 可微与可导的关系：

$\red{可微与可导是一样的}$

$P r o o f :$

设 $y = f (x)$ 在点 $x_0$ 可微，则有： $\frac{\Delta y}{\Delta x}=A+\frac{o(\Delta x)}{\Delta x}$

当 $\Delta x\to0$ 时： $\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=A=f^\prime(x_0)$

因此，可微必可导。

反之，如果 $y = f (x)$ 在点 $x_0$ 可导，即： $\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=f^\prime(x_0)$ $\therefore\frac{\Delta y}{\Delta x}=f^\prime(x_0)+\alpha$

$\therefore\Delta y=f^\prime(x_0)\Delta x+\alpha\Delta x$

其中， $a\to0\ (\Delta x\to0)$ ，且 $f^\prime(x_0)$ 不依赖于 $\Delta x$ ，故可导必可微

3. 可积与连续的关系：

$\red{连续必然可积，可积不一定连续}$

见可积的定义

4. 可导与可积的关系：

$\red{可导必然可积，可积不一定可导}$

因为可导必定连续，而连续一定可积，所以可导必可积。

但是可积不一定连续，也就不一定可导，所以可积不一定可导。

多函数

可导与可微

$\red{可微必然可导，可导不一定可微}$

对一函数来说，可导指的是存在导数，可微指的是存在微分。但是对于多函数来说，可导指的是存在偏导数，可微指的是存在全微分。

所以可微必可导，可导不一定可微。

可微与连续

$\red{可微必然连续，连续不一定可微}$

微分指的是全微分，也就是各个方向都可微，所以类似一函数的性质。

可导与连续

$\red{可导不一定连续，连续不一定可导}$

因为在多函数里可导指的是可以偏导，所以并不能推出在所有方向上函数连续。

偏导数连续与可微

$\red{偏导数连续必然可微，可微不一定偏导数连续}$

$P r o o f :$

设 $z = f (x, y)$ 的全增量： $\begin{aligned}\Delta z&=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)\\&=[f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y+\Delta y)]+[f(x,y+\Delta y)-f(x,y)]\end{aligned}$

根据拉格朗日中值定理： $\Delta z=f_x(x+\alpha\Delta x,y+\Delta y)\Delta x+f_y(x,y+\beta\Delta y)\Delta y\ (0<\alpha,\beta<1)$

由于偏导数连续： $\Delta z=f_x(x,y)\Delta x+\epsilon_1\Delta x+f_y(x,y)\Delta y+\epsilon_2\Delta y$

$\therefore\Delta z=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho)$

得到 $f (x, y)$ 可微。

可微不一定偏导数连续可以参考一函数中的含有第二类间断点（震荡间断点）的导函数。

今天的文章可微，可导，可积与连续的关系分享到此就结束了，感谢您的阅读。

可微，可导，可积与连续的关系

一函数

极限的定义

连续的定义

可微的定义

可积的定义

1. 可导与连续的关系：

2. 可微与可导的关系：

3. 可积与连续的关系：

4. 可导与可积的关系：

多函数

可导与可微

可微与连续

可导与连续

偏导数连续与可微

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