导数的意义与计算

编程基础 • 2024-12-12 22:51 • 阅读 8

文章目录

一、导数的概念
- 1、导数的物理意义
- 2、导数的几何意义
二、导数的计算

一、导数的概念

1、导数的物理意义

导数可以描述事物的瞬时变化率，导数 $f^{'} (x)$ 表示函数 $f (x)$ 在 $x=x_0$ 处的瞬时变化率，反映了函数 $f (x)$ 在 $x=x_0$ 附近的变化情况。
用函数表示函数 $f (x)$ 在 $x=x_0$ 的导数为： $f'(x)=\lim \limits_{x_0→0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim \limits_{x_0→0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$
$x_0→0$ 表示 $x$ 无限接近0。
实质上，求导就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则也来源于极限的四则运算法则。

2、导数的几何意义

导数的几何意义是曲线在某一点处的切线的斜率。

二、导数的计算

求函数 $y = f (x)$ 的导数，就是求出当 $\Delta x$ 趋近于0时， $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ 所趋于的那个定值。

一、几个常用函数的导数

1. 函数 $y = f (x) = c$ 的导数

C为一个常数，而导数表示的是函数的在某一个时间的瞬时变化率，常数的瞬时变化一直为0，则函数 $y = f (x) = c$ 的导数为： $f'(x)=\lim \limits_{x_0→0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim \limits_{x_0→0}0=0$

2. 函数 $y = f (x) = x$ 的导数

$y = x$ 可以看作某物体做匀速直线运动，瞬时速度都为1的匀速运动。
$f'(x)=\lim \limits_{x_0→0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim \limits_{x_0→0}\frac{x+\Delta x-x}{\Delta x}=\lim \limits_{x_0→0}1=1$

3.函数 $y=f(x)=x^2$ 的导数

$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\frac{(x+\Delta x)^2-x^2}{\Delta x}=\frac{x^2+2x*\Delta x+(\Delta x)^2-x^2}{\Delta x}=2x+\Delta x$

所以 $f'(x)=\lim \limits_{x_0→0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim \limits_{x_0→0}（2x+\Delta x）=2x$

4.函数 $y=f(x)=\frac{1}{x}的导数$

因为： $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\frac{\frac{1}{x+\Delta x}-\frac{1}{x}}{\Delta x}=-\frac{1}{x^2+x*\Delta x}$
所以： $f'(x)=\lim \limits_{x_0→0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim \limits_{x_0→0}(-\frac{1}{x^2+x*\Delta x})=-\frac{1}{x^2}$

二、导数的运算法则

$[f(x)\pm g(x)]'=f'(x)\pm g'(x)$
$[f (x) * g (x)]^{'} = f^{'} (x) g (x) + f (x) g^{'} (x)$

由法则2可得出： $[c f (x)]^{'} = c^{'} f (x) + c f^{'} (x) = c f^{'} (x)$

$[\frac{f(x)}{g(x)}]'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)^2]}(g(x)\neq0)$

今天的文章导数的意义与计算分享到此就结束了，感谢您的阅读。