快速求三阶矩阵的逆矩阵
前言
一般情况下，我们求解伴随矩阵是要注意符号问题和位置问题的（如下所示）
A − 1 = 1 [ ] [ − [ ] − [ ] − [ ] − [ ] ] = A − 1 = 1 [ ] [ M 11 − [ M 12 ] M 13 − [ M 21 ] M 22 − [ M 23 ] M 31 − [ M 32 ] M 33 ] ⊤ \begin{aligned} & A^{-1}=\frac{1}{[\ \ ]} \left[\begin{array}{cccccc} & -[\ \ ] & \\ -[\ \ ] & & -[\ \ ]\ \ \\ & -[\ \ ] & \\ \end{array}\right]= \\ \\ & A^{-1}=\frac{1}{[\ \ ]} \left[\begin{array}{cccccc} \ \ \ M_{11} & -[M_{12}] & \ \ \ M_{13}\\ -[M_{21}] & \ \ \ M_{22} & -[M_{23}]\ \ \\ \ \ \ M_{31} & -[M_{32}] & \ \ \ M_{33}\\ \end{array}\right]^\top\\ \end{aligned} A−1=[ ]1⎣⎡−[ ]−[ ]−[ ]−[ ] ⎦⎤=A−1=[ ]1⎣⎡ M11−[M21] M31−[M12] M22−[M32] M13−[M23] M33⎦⎤⊤
我们根据位置安排(行调换)的策略可以避免符号问题，将问题进行化简。
例题一
求矩阵 D D D 的逆矩阵
D = [ 2 1 1 1 2 1 2 3 1 ] D=\left[\begin{array}{lll} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \end{array}\right] D=⎣⎡212123111⎦⎤
我们把第一二列抄写到矩阵后面
D 1 = [ 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 2 3 1 2 3 ] D_1=\left[\begin{array}{lll|ll} 2 & 1 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 1 & 2 & 3 \end{array}\right] D1=⎣⎡212123111212123⎦⎤
然后把第一二行抄写到矩阵下面（新矩阵 D 1 D_1 D1 的第一二行），
这样我们就得到了一个五阶矩阵：
D 2 = [ 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 2 3 1 2 3 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 ] = [ 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 2 3 1 2 3 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 ] D_2=\left[\begin{array}{lll|ll} 2 & 1 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 1 & 2 & 3 \\ \hline 2 & 1 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 1 & 2 \\ \end{array}\right]= \left[\begin{array}{lllll} \textcolor{cornflowerblue}{2} & \textcolor{cornflowerblue}{1} & \textcolor{cornflowerblue}{1} & \textcolor{cornflowerblue}{2} & \textcolor{cornflowerblue}{1} \\ \textcolor{cornflowerblue}{1} & 2 & 1 & 1 & 2 \\ \textcolor{cornflowerblue}{2} & 3 & 1 & 2 & 3 \\ \textcolor{cornflowerblue}{2} & 1 & 1 & 2 & 1 \\ \textcolor{cornflowerblue}{1} & 2 & 1 & 1 & 2 \\ \end{array}\right] D2=⎣⎢⎢⎢⎢⎡2122112312111112122112312⎦⎥⎥⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎢⎢⎡2122112312111112122112312⎦⎥⎥⎥⎥⎤
然后我们把第一行和第一列删除（新矩阵 D 2 D_2 D2 的第一行和第一列，将标蓝的素删除）
D 3 = [ 2 1 1 2 3 1 2 3 1 1 2 1 2 1 1 2 ] D_3=\left[\begin{array}{lllll} 2 & 1 & 1 & 2 \\ 3 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 1 & 2 \\ \end{array}\right] D3=⎣⎢⎢⎡2312111112212312⎦⎥⎥⎤
然后我们算出矩阵分块组成的九个二阶行列式：
然后我们将求出的九个行列式结果填充到伴随矩阵的框架里，记得加上转置符号
[ − 1 1 − 1 2 0 − 4 − 1 − 1 2 ] ⊤ = [ − 1 2 − 1 1 0 − 1 − 1 − 4 2 ] \left[\begin{array}{lllll} -1 &\ \ \ 1 & -1 \\ \ \ \ 2 &\ \ \ 0 & -4 \\ -1 & -1 &\ \ \ 2 \\ \end{array}\right]^\top= \left[\begin{array}{lllll} -1 &\ \ \ 2 & -1 \\ \ \ \ 1 &\ \ \ 0 & -1 \\ -1 & -4 &\ \ \ 2 \\ \end{array}\right] ⎣⎡−1 2−1 1 0−1−1−4 2⎦⎤⊤=⎣⎡−1 1−1 2 0−4−1−1 2⎦⎤
这样我们就得到了伴随矩阵，然后计算矩阵对应的行列式 ∣ D ∣ = − 2 |D|=-2 ∣D∣=−2，
最后根据公式 A − 1 = 1 ∣ A ∣ A ∗ A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^* A−1=∣A∣1A∗，求出逆矩阵 D − 1 D^{-1} D−1
D − 1 = 1 ∣ D ∣ D ∗ = 1 − 2 [ − 1 2 − 1 1 0 − 1 − 1 − 4 2 ] = [ 1 2 − 1 1 2 − 1 2 0 1 2 1 2 2 − 1 ] D^{-1}=\frac{1}{|D|}D^*=\frac{\ \ \ 1}{-2} \left[\begin{array}{lllll} -1 &\ \ \ 2 & -1 \\ \ \ \ 1 &\ \ \ 0 & -1 \\ -1 & -4 &\ \ \ 2 \\ \end{array}\right]= \left[\begin{array}{lllll} \ \ \ \frac{1}{2} &-1 & \ \ \ \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} &\ \ \ 0 & \ \ \ \frac{1}{2} \\ \ \ \ \frac{1}{2} &\ \ \ 2 & -1 \\ \end{array}\right] D−1=∣D∣1D∗=−2 1⎣⎡−1 1−1 2 0−4−1−1 2⎦⎤=⎣⎡ 21−21 21−1 0 2 21 21−1⎦⎤
例题二
求矩阵 A A A 的逆矩阵
A = [ 1 1 1 4 2 1 9 3 1 ] A=\left[\begin{array}{lll} 1 & 1 & 1 \\ 4 & 2 & 1 \\ 9 & 3 & 1 \end{array}\right] A=⎣⎡149123111⎦⎤
抄写后对应的五阶矩阵为：
A 1 = [ 1 1 1 1 1 4 2 1 4 2 9 3 1 9 3 1 1 1 1 1 4 2 1 4 2 ] A_1=\left[\begin{array}{lll} 1 & 1 & 1 &1 & 1\\ 4 & 2 & 1 &4 & 2\\ 9 & 3 & 1 &9 & 3\\ 1 & 1 & 1 &1 & 1\\ 4 & 2 & 1 &4 & 2 \end{array}\right] A1=⎣⎢⎢⎢⎢⎡1491412312111111491412312⎦⎥⎥⎥⎥⎤
删除后得到的四阶矩阵为：
A 2 = [ 2 1 4 2 3 1 9 3 1 1 1 1 2 1 4 2 ] A_2=\left[\begin{array}{lll} 2 & 1 &4 & 2\\ 3 & 1 &9 & 3\\ 1 & 1 &1 & 1\\ 2 & 1 &4 & 2 \end{array}\right] A2=⎣⎢⎢⎡2312111149142312⎦⎥⎥⎤
那么对应的伴随矩阵为：
A ∗ = [ − 1 5 − 6 2 − 8 6 − 1 3 − 2 ] ⊤ = [ − 1 2 − 1 5 − 8 3 − 6 6 − 2 ] A^*=\left[\begin{array}{lllll} -1 &\ \ \ 5 & -6 \\ \ \ \ 2 & -8 & \ \ \ 6 \\ -1 & \ \ \ 3 & -2 \\ \end{array}\right]^\top= \left[\begin{array}{lllll} -1 &\ \ \ 2 & -1 \\ \ \ \ 5 & -8 & \ \ \ 3 \\ -6& \ \ \ 6 & -2 \\ \end{array}\right] A∗=⎣⎡−1 2−1 5−8 3−6 6−2⎦⎤⊤=⎣⎡−1 5−6 2−8 6−1 3−2⎦⎤
矩阵对应的行列式为 ∣ A ∣ = − 2 |A|=-2 ∣A∣=−2，根据公式计算得到逆矩阵：
A − 1 = 1 ∣ A ∣ A ∗ = 1 − 2 [ − 1 2 − 1 5 − 8 3 − 6 6 − 2 ] = [ 1 2 − 1 1 2 − 5 2 4 − 3 2 3 − 3 1 2 ] A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*=\frac{\ \ \ 1}{-2} \left[\begin{array}{lllll} -1 &\ \ \ 2 & -1 \\ \ \ \ 5 & -8 & \ \ \ 3 \\ -6& \ \ \ 6 & -2 \\ \end{array}\right]= \left[\begin{array}{lllll} \ \ \ \frac{1}{2} &-1 & \ \ \ \frac{1}{2} \\ -\frac{5}{2} &\ \ \ 4 & -\frac{3}{2} \\ \ \ \ 3 & -3 & \ \ \ \frac{1}{2} \\ \end{array}\right] A−1=∣A∣1A∗=−2 1⎣⎡−1 5−6 2−8 6−1 3−2⎦⎤=⎣⎡ 21−25 3−1 4−3 21−23 21⎦⎤
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