集合是数学中最基本的概念之一。

1. 定义

集合：指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇总而成的集体。

例如：由一些数（有限个或无限个）组成的集合，称为 数集合 或 数集 ；一个线性代数方程组解的全体组成一个集合，称为 解集合 ；由一个已知半径和圆心的开圆内的所有的点构成的集合，称为 点集合 或 点集 。

集合的素：组成集合的对象。

例如，全中国人的集合，它的素就是每一个中国人。

基数：集合中素的数目，记作 $card(A)$。

通常用大写字母如 $A,B,S,T,...$ 表示集合，而用小写字母如 $a,b,x,y,...$ 表示集合的素。若 $x$ 是集合 $S$ 的素，则称 $x$ 属于 $S$ ，记为 $x\in S$。若 $y$ 不是集合 $S$ 的素，则称 $y$ 不属于 $S$ ，记为 $y\notin S$ 。

集合的边界： 假设有实数x < y：

1. [x，y] ：方括号表示 包括 边界，即表示x到y之间的数以及x和y；
2. (x，y)：小括号是 不包括 边界，即表示大于x、小于y的数。

区间：设 $a,b(a<b)$ 是两个相异的实数，则

1. 满足不等式 $a<x<b$ 的所有实数 $x$ 的集合称为以$a，b$ 为端点的开区间，记为 ( a , b ) = { x : a < x < b } (a,b)=\left \{ x:a< x< b \right \} (a,b)={ x:a<x<b} ；
2. 满足不等式 $a\le x\le b$ 的所有实数 $x$ 的集合称为以$a，b$ 为端点的闭区间，记为 [ a , b ] = { x : a ≤ x ≤ b } [a,b]=\left \{ x:a\leq x \leq b \right \} [a,b]={ x:a≤x≤b} ；
3. 满足不等式 $a<x\le b$ 或 $a\le x<b$ 的所有实数 $x$ 的集合称为以$a，b$ 为端点的半开半闭区间，记为 ( a , b ] = { x : a < x ≤ b } (a,b]=\left \{ x:a< x \leq b \right \} (a,b]={ x:a<x≤b} 及 [ a , b ) = { x : a ≤ x < b } [a,b)=\left \{ x:a\leq x< b \right \} [a,b)={ x:a≤x<b} 。
4. 除此之外，还有下述几类无限区间：
   ( a , + ∞ ) = { x : x > a } (a,+\infty )=\left \{ x:x>a \right \} (a,+∞)={ x:x>a} ( − ∞ , b ) = { x : x < b } (-\infty ,b)=\left \{ x:x<b \right \} (−∞,b)={ x:x<b} [ a , + ∞ ) = { x : x ≥ a } [a,+\infty )=\left \{ x:x\geq a \right \} [a,+∞)={ x:x≥a} ( − ∞ , b ] = { x : x ≤ b } (-\infty ,b]=\left \{ x:x\leq b \right \} (−∞,b]={ x:x≤b} $$(-\infty ,+\infty )=\mathbb{R}$$

集合的特点： 确定性 、互异性、无序性

2. 分类

空集：不包含任何素的集合，记为 $\varnothing$。空集$\varnothing$是任何一个集合的子集，是任意一个非空集合的真子集。

子集：设 $S,T$ 是两个集合，如果 $S$ 的所有素都属于 $T$ ，即 $x\in S\Rightarrow x\in T$ ， 则称 $S$ 是 $T$ 的子集，记为 $S\subset T$ 。

子集的分类：

1. 非真子集：集合本身。
2. 真子集：除集合本身以外的其他子集。

相等集合：如果两个集合 $S_1$ ， $S_2$ 含有完全相同的素，即 $a\in S_1$ ，当且仅当 $a\in S_2$ 时，那么就称它们 相等 ，记为 $$S_1=S_2$$ 显然两个集合 $S_1$ 与 $S_2$ ，如果同时满足 $S_1\subset S_2$ 与 $S_2\subset S_1$ ，那么 $S_1$ 和 $S_2$ 相等。

交集：把既属于集合 $S_1$ ，又属于集合 $S_2$ 的全体素所组成的集合称为 $S_1$ 与 $S_2$ 的 交 ，记为 S 1 ∩ S 2 = { x ∣ x ∈ S 1 且 x ∈ S 2 } S_1 \cap S_{2}=\left \{ x|x\in S_1 且 x\in S_2 \right \} S1​∩S2​={ x∣x∈S1​且x∈S2​} 两集合的交显然具有下面的关系 $$S_1\cap S_2\subset S_1，S_1\cap S_2\subset S_2$$

并集：属于集合 $S_1$ ，或属于集合 $S_2$ 的全体素所组成的集合称为 $S_1$ 与 $S_2$ 的 并 ，记为 S 1 ∪ S 2 = { x ∣ x ∈ S 1 或 x ∈ S 2 } S_1 \cup S_{2}=\left \{ x|x\in S_1 或 x\in S_2 \right \} S1​∪S2​={ x∣x∈S1​或x∈S2​} 两集合$S_1$ 与 $S_2$ 的并显然满足关系 $$S_1\cup S_2\supset S_1，S_1\cup S_2\supset S_2$$

和集：集合 $S_1$ 与集合 $S_2$ 的和集是指如下的集合 { x + y ∣ x ∈ S 1 , y ∈ S 2 } \left \{ x+y|x\in S_{1},y\in S_{2} \right \} { x+y∣x∈S1​,y∈S2​} 常用记号 $S_1+S_2$ 来表示，于是有 S 1 + S 2 = { x + y ∣ x ∈ S 1 , y ∈ S 2 } S_1+ S_2=\left \{ x+y|x\in S_{1},y\in S_{2} \right \} S1​+S2​={ x+y∣x∈S1​,y∈S2​}

补集：补集又可分为相对补集和绝对补集。

• 相对补集定义：由属于 $A$ 而不属于 $B$ 的素组成的集合，称为 $B$ 关于 $A$ 的相对补集，记作 $A-B$ 或 A\B，即 A − B = { x ∣ x ∈ A ， 且 x ∉ B ′ } A-B=\left \{ x|x∈A，且x∉B' \right \} A−B={ x∣x∈A，且x∈/​B′} ；
• 绝对补集定义： $A$ 关于全集合 $U$ 的相对补集称作 $A$ 的绝对补集，记作 $A^{\prime }$ 或∁u（A）或~A。有U’=Φ；Φ’=U

3. 集合的表示方法

表示集合的方法通常有四种，即列举法 、描述法 、图像法和符号法。

1. 列举法
   列举法就是将集合的素逐一列举出来的方式。例如，光学中的三原色可以用集合{红，绿，蓝}表示；由四个字母 $a,b,c,d$ 组成的集合 $A$ 可用 $A=a,b,c,d$ 表示，如此等等。
2. 描述符
   描述法的形式为{代表素|满足的性质}。设集合 $S$ 是由具有某种性质 $P$ 的素全体所构成的，则可以采用描述集合中素公共属性的方法来表示集合： S = { x ∣ P ( x ) } S=\left \{ x|P(x) \right \} S={ x∣P(x)}。例如，由2的平方根组成的集合 $B$ 可表示为 $B=\left\{x|x^2=2\right\}$。
3. 图像法
   图像法，又称韦恩图法、韦氏图法，是一种利用二维平面上的点集表示集合的方法。如图所示。
   
4. 符号法
   有些集合可以用一些特殊符号表示，举例如下：
   N ： 非 负 整 数 集 合 或 自 然 数 集 合 { 0 , 1 , 2 , 3 , … } \mathbb{N}：非负整数集合或自然数集合\left \{ 0,1,2,3,… \right \} N：非负整数集合或自然数集合{ 0,1,2,3,…}
   $\mathbb{R}：实数集合(包括有理数和无理数）$
   $\mathbb{Q}：有理数集合$

4. 运算定律

交换律：$A\cap B=B\cap A；A\cup B=B\cup A$

结合律：$A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C；A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C$

分配对偶律：$A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)；A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$

对偶律：$(A\cup B{)}^C=A^C\cap B^C$；$(A\cap B{)}^C=A^C\cup B^C$     注：右上角C表示此集合的补集/余集

同一律：$A\cup \varnothing =A；A\cap U=A$

求补律：$A\cup C_{u}A=U；A\cap A^{\prime }=\varnothing$

对合律：$A^{\prime \prime }=A$

等幂律：$A\cup A=A；A\cap A=A$

零一律：$A\cup U=U；A\cap \varnothing =\varnothing$

吸收律：$A\cup (A\cap B)=A；A\cap (A\cup B)=A$

反演律（德·摩根律）：

1. $C_u(A\cup B)=C_{u}A\cap C_{u}B$；集合A与集合B的并集的补集等于集合A的补集与集合B的补集的交集；
2. $C_u(A\cap B)=C_{u}A\cup C_{u}B$；集合A与集合B的交集的补集等于集合A的补集与集合B的补集的并集。

容斥原理（特殊情况）：
$$card(A\cup B)=card(A)+card(B)-card(A\cap B)$$ $$card(A\cup B\cup C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A\cap B)-card(B\cap C)-card(C\cap A)+card(A\cap B\cap C)$$

数域：指数集中任意两个数的和、差、积、商（除数不为0）仍在该数集中（即数集关于四则运算封闭），此数集为数域。

例如，实数集关于四则运算封闭，因此它形成一个数域，称其为 实数域，记为R。同样，复数集也形成一个数域，称其为复数域，记为C。