前言

我们对新事物的认识过程是通过对其事物的特性进行研究的过程。如对鸟的认识是对其“飞”的特性进行研究的过程，对鱼的认识是对其“游”的特性进行研究的过程。而极值、最值是函数的重要的特性。极值研究的是函数的 局部 性态，最值研究的是函数的 整体 性态。函数的极值和最值使得函数更加具体。

一、一函数的极值

1. 极值的定义

定义1：设 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 的某个 邻域 有定义，如果存在一个 邻域 $U(x_0)$，当 $x\in U(x_0)$ 时有 $f(x)⩾(⩽)f(x_0)$，则称 $f(x_0)$ 为 $f(x)$ 的一个极小（极大）值，点 $x=x_0$ 称为 $f(x)$ 的一个极小（极大）值点。

定义2：设 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 的某个 邻域 有定义，如果对于该 去心邻域 内任何 $x$，恒有 $f(x)>(<)f(x_0)$，则称 $f(x_0)$ 为 $f(x)$ 的一个极小（极大）值，点 $x=x_0$ 称为 $f(x)$ 的一个极小（极大）值点。

极大（小）值统称为极值，极大（小）值点统称为极值点。

由极值的定义可以得到几条重要的信息如下：

信息1：函数在区间 $[a,b]$ 上的极值只能在开区间 $(a,b)$上取得；端点 $x=a$，$x=b$ 处不可能取得极值。
证明：因为 $x=a$ 的左邻域已经超出了 $f(x)$ 的定义域，$x=b$ 的右邻域已经超出了 $f(x)$ 的定义域。而极值存在的前提是 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 的某个 邻域 有定义。邻域=左邻域+右邻域，左邻域和右邻域必须都存在。

信息2：若函数在闭区间 $[a,b]$ 上的最大值（或最小值）在开区间 $(a,b)$ 上取得，那么函数在该点处必取得极大值（或极小值）。
证明：设 $f(x_0)$ 为 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的最大值，则对一切 $x\in (a,b)$，有 $f(x)⩽f(x_0)$，又因 $x_0$ 为区间内部点而非端点，故存在一个邻域 $U(x_0)$，当 $x\in U(x_0)$ 时，$f(x)⩽f(x_0)$，依据极大值的定义，$f(x_0)$ 为 $f(x)$ 的一个极大值。

信息3：如果连续函数 $f(x)$ 区间内部 只有一个 可疑极值点，并且是极大（极小）值点，则它必是 $f(x)$ 的最大（最小）值点。此时的“区间”可以是闭的，也可以是开的、半开半闭或无穷区间。
证明：反证法。设 $x=x_0$ 为 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上的唯一极值点且为极大值点。设 $x=x_{max}$ 为 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上的最大值点。当 $x_{max}\ne x_0$ 时，$x_{max}$ 的取值情况分为两种：
① $x_{max}\in (a,b)$. 由上文中的 信息2 可知 $x_{max}$ 必为极大值点，与 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上仅有唯一极值点矛盾。
② $x_{max}=a$，或者 $x_{max}=b$. 现证当 $x_{max}=b$ 时的情况。因为 $x=x_0$ 为极大值点，存在 $x\in (x_0,x_0+{\delta }_1)$，$f(x)<f(x_0)$，因为 $x_{max}=b$ 为最大值点，存在 $x\in (b-{\delta }_2,b)$，$f(x)<f(x_0)$。由于 $f(x)$ 为连续函数，定有一点 $x\in [x_0+{\delta }_1,b-{\delta }_2]$ 为极小值点，与 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上仅有唯一极值点矛盾。

2. 极值判断流程

对 $f(x)$ 的某个区间 $(a,b)$ 内的每个点 $x=x_0$，

3. 极值的必要条件

设 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导，且 $x_0$ 为 $f(x)$ 的极值点，则 $f^{\prime }(x_0)=0$. 通常把导数为零的点称为函数的驻点。由极值的必要性可知：$($$y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导$)$ $+$ $($ $x_0$ 为 $f(x)$ 的极值点 $)$ $⟹$ $x_0$ 为 $f(x)$ 的驻点。
对可导函数而言，极值只可能在驻点上取得，极值点必为驻点， 但驻点并不一定为是极值点。

4. 极值的充分条件

1). 第一充分条件

设 $f^{\prime }(x_0)=0$（或 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续），且在 $x_0$ 的某去心邻域 $\mathring{U}(x_0,\delta )$ 内可导。
(1). 若 $x\in (x_0-\delta ,x_0)$ 时，$f^{\prime }(x)>0$，而 $x\in (x_0,x_0+\delta )$ 时，$f^{\prime }(x)<0$，则 $f(x)$ 在 $x_0$ 处取得极大值。
(2). 若 $x\in (x_0-\delta ,x_0)$ 时，$f^{\prime }(x)<0$，而 $x\in (x_0,x_0+\delta )$ 时，$f^{\prime }(x)>0$，则 $f(x)$ 在 $x_0$ 处取得极小值。
(3). 若 $x\in \mathring{U}(x_0,\delta )$ 时，$f^{\prime }(x)$ 的符号保持不变，则 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处没有极值。

2). 第二充分条件

若 $f^{\prime }(x_0)=0$，$f^{\prime \prime }(x_0)\ne 0$，则 $f(x)$ 在 $x_0$ 处取得极值，其中当 $f^{\prime \prime }(x_0)>0$ 时取得极小值，当 $f^{\prime \prime }(x_0)<0$ 时取得极大值。

3). 第三充分条件

若 $f^{\prime }(x_0)=f^{\prime \prime }(x_0)=\cdots =f^{(n-1)}(x_0)=0$，$f^{(n)}(x_0)\ne 0$，则当 $n$ 为偶数时，$f(x)$ 在 $x_0$ 处有极值，其中 $f^{(n)}(x_0)>0$ 时取得极小值，$f^{(n)}(x_0)<0$ 时取得极大值。当 $n$ 为奇数时，$f(x)$ 在 $x_0$ 处无极值（注： 证明见附1）。

二、一函数的最值

1. 最值的定义

设 $f(x)$ 在某区间 $I$ 上有定义，如果存在 $x_0\in I$，使对一切 $x\in I$ 有 $f(x)⩾(⩽)f(x_0)$，称 $f(x_0)$ 为 $f(x)$ 在 $I$ 上的最小（最大）值。

2. 函数的最值

连续函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的最值的求法。
第一步：求出 $f(x)$ 在开区间 $(a,b)$ 内的驻点和不可导点 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$，此过程为极值点的算法;
第二步：求出 $f(x)$ 在点 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$ 和区间端点 $a,b$ 处的函数值 $f(x_1),f(x_2),\cdots ,f(x_n),f(a),f(b)$;
第三步：比较以上各点函数值，其中最大的即为 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的最大值，最小的即为 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的最小值。

三、二函数的极值

1. 极值的定义

定义1：若存在 $M_0(x_0,y_0)$ 点的某邻域 $U_{\delta }(M_0)$，使得 $f(x,y)⩽(⩾)f(x_0,y_0)$，则称 $f(x,y)$ 在点 $M_0(x_0,y_0)$ 取得极大值（极小值）$f(x_0,y_0)$.
定义2：设函数 $z=f(x,y)$ 在点 $P(x_0,y_0)$ 的某邻域内有定义，若对该去心邻域内任意的点 $P(x,y)$ 均有 $f(x,y)<(>)f(x_0,y_0)$，则称 $(x_0,y_0)$ 为 $f(x,y)$ 的极大值点（或极小值点）。

极大（小）值统称为极值，极大（小）值点统称为极值点。

2. 极值判断流程

对 $f(x)$ 的某个邻域内的每个点 $P(x_0,y_0)$，

3. 二函数的泰勒公式

设 $f(x,y)$ 二阶偏导数连续，记 $X_0(x_0,y_0)$，$\Delta X=(\Delta x,\Delta y)=(x-x_0,y-y_0)$，则 $$f(x,y)=f(x_0,y_0)+{\left(\begin{array}{cc}{f}_x^{\prime }& f_y^{\prime }\end{array}\right)}_{X_0}\left(\begin{array}{c}\Delta x\\ \Delta y\end{array}\right)+\frac{1}{2!}\left(\begin{array}{cc}\Delta x& \Delta y\end{array}\right){\left[\begin{array}{cc}{f}_{xx}^{\prime \prime }& f_{xy}^{\prime \prime }\\ f_{yx}^{\prime \prime }& f_{yy}^{\prime \prime }\end{array}\right]}_{X_0}\left(\begin{array}{c}\Delta x\\ \Delta y\end{array}\right)+R_2$$

4. 无条件极值

(1) 取极值的必要条件

${\left(\begin{array}{cc}{f}_x^{\prime }& f_y^{\prime }\end{array}\right)}_{X_0}=0$，$X_0$ 为驻点，即 $\{\begin{array}{ll}{f}_x^{\prime }(x_0,y_0)=0& \\ f_y^{\prime }(x_0,y_0)=0& \end{array}$

(2) 取极值的充分条件

已有 ${\left(\begin{array}{cc}{f}_x^{\prime }& f_y^{\prime }\end{array}\right)}_{X_0}=0$，则有 $$f(x,y)-f(x_0,y_0)=\frac{1}{2!}\left(\begin{array}{cc}\Delta x& \Delta y\end{array}\right){\left[\begin{array}{cc}{f}_{xx}^{\prime \prime }& f_{xy}^{\prime \prime }\\ f_{yx}^{\prime \prime }& f_{yy}^{\prime \prime }\end{array}\right]}_{X_0}\left(\begin{array}{c}\Delta x\\ \Delta y\end{array}\right)+R_2$$
①（正定）当 $f_{xx}^{\prime \prime }{|}_{x_0}>0$ 且 ${\left|\begin{array}{cc}{f}_{xx}^{\prime \prime }& f_{xy}^{\prime \prime }\\ f_{yx}^{\prime \prime }& f_{yy}^{\prime \prime }\end{array}\right|}_{x_0}>0$，即 $$\{\begin{array}{ll}{f}_{xx}^{\prime \prime }(x_0,y_0)\stackrel{记}{=}A>0& \\ f_{xy}^{\prime \prime }(x_0,y_0)=f_{yx}^{\prime \prime }(x_0,y_0)\stackrel{记}{=}B& \\ f_{yy}^{\prime \prime }(x_0,y_0)\stackrel{记}{=}C& \end{array}$$ 且 $\Delta \stackrel{记}{=}AC-B^2>0$ 时，$f(x,y)>f(x_0,y_0)$，$f(x_0,y_0)$ 为极小值。

②（负定）当 $f_{xx}^{\prime \prime }{|}_{x_0}<0$ 且 ${\left|\begin{array}{cc}{f}_{xx}^{\prime \prime }& f_{xy}^{\prime \prime }\\ f_{yx}^{\prime \prime }& f_{yy}^{\prime \prime }\end{array}\right|}_{x_0}>0$，即 $$\{\begin{array}{ll}{f}_{xx}^{\prime \prime }(x_0,y_0)\stackrel{记}{=}A<0& \\ f_{xy}^{\prime \prime }(x_0,y_0)=f_{yx}^{\prime \prime }(x_0,y_0)\stackrel{记}{=}B& \\ f_{yy}^{\prime \prime }(x_0,y_0)\stackrel{记}{=}C& \end{array}$$ 且 $\Delta \stackrel{记}{=}AC-B^2>0$ 时，$f(x,y)<f(x_0,y_0)$，$f(x_0,y_0)$ 为极大值。

③ 当 ${\left|\begin{array}{cc}{f}_{xx}^{\prime \prime }& f_{xy}^{\prime \prime }\\ f_{yx}^{\prime \prime }& f_{yy}^{\prime \prime }\end{array}\right|}_{x_0}<0$，即 $\Delta <0$ 时，二次型变号，非极值点。

5. 有条件极值

对于求 $z=f(x,y)$ 在条件 $\phi (x,y)=0$ 下的条件极值的一般方法为：
① 构造拉格朗日函数 $F(x,y,\lambda )=f(x,y)+\lambda \phi (x,y)$
② 将有条件极值转换为对 $F(x,y,\lambda )=f(x,y)+\lambda \phi (x,y)$ 的无条件极值的求法。

四、二函数的最值

对于连续函数 $f(x,y)$ 在有界闭区域 $D$ 上的最大最小值方法为：
① 求 $f(x,y)$ 在 $D$ 内部可能的极值点；
② 求 $f(x,y)$ 在 $D$ 的边界上的最大最小值；
③ 比较①、②得最值。

总结

极值描述的是函数局部中最突显性态，最值描述的是函数整体中最突显性态。研究极值和最值有助于我们更好的理解函数。如果将某批数据进行处理，然后整理生成某个函数，生成这个函数的过程就等同于将大量信息压缩的过程。而研究函数极值和最值的过程等同于将重点信息还原的过程。掌握了函数的极值和最值就掌握了解密信息的密钥。

附录

附1：

若 $f^{\prime }(x_0)=f^{\prime \prime }(x_0)=\cdots =f^{(n-1)}(x_0)=0$，$f^{(n)}(x_0)\ne 0$，可知 $f(x)$ 在 $x_0$ 处有 $n$ 阶导，根据泰勒定理可得 $f(x)$ 在 $x_0$ 展开的具有拉格朗日余项的泰勒公式为：$$f(x)=f(x_0)+\frac{f^{\prime }(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f^{\prime \prime }(x_0)}{2!}(x-x_0{)}^2+\cdots +\frac{f^{(n-1)}(x_0)}{(n-1)!}(x-x_0{)}^{n-1}+R_{n-1}(x)$$ 其中 $R_{n-1}(x)=\frac{f^n(\xi )}{n!}(x-x_0{)}^n$，$\xi$ 在 $x$ 与 $x_0$ 之间。
因为 $f^{\prime }(x_0)=f^{\prime \prime }(x_0)=\cdots =f^{(n-1)}(x_0)=0$，$f^{(n)}(x_0)\ne 0$，所以 $f(x)=f(x_0)+\frac{f^n(\xi )}{n!}(x-x_0{)}^n$，从而可得 $f(x)-f(x_0)=\frac{f^n(\xi )}{n!}(x-x_0{)}^n=R_{n-1}(x)$，当 $n$ 为偶数时，$(x-x_0{)}^n>=0$，$f(x)-f(x_0)$ 的正负由 $f^n(\xi )$ 决定，因为 $x\in \mathring{U}(x_0,\delta )$ 且 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续，所以当 $x$ 趋于 $x_0$ 时，$f^n(\xi )$ 的正负和 $f^n(x_0)$ 相同。因此，当 $f^n(x_0)>0$ 时，$f^n(\xi )>0$，$f(x)-f(x_0)>0$，$f(x_0)$ 为极小值；当 $f^n(x_0)<0$ 时，$f^n(\xi )<0$，$f(x)-f(x_0)<0$，$f(x_0)$ 为极大值。而若 $n$ 为奇数时，$R_{n-1}(x)$ 的符号不确定，因此无法判断 $f(x)$ 与 $f(x_0)$ 的大小。

附2：

$f$ 正定判断的充要条件：
$f(x_1,x_2,\dots ,x_n)={\mathbf{x}}^T\mathbf{A}\mathbf{x}$ 正定 $\iff$ $\mathbf{A}$ 的全部顺序主子式大于零。
$f$ 负定判断的充要条件：
$f(x_1,x_2,\dots ,x_n)={\mathbf{x}}^T\mathbf{A}\mathbf{x}$ 负定 $\iff$ $\mathbf{A}$ 的顺序主子式负正依次交错，以负开始。