算法分析课之汉诺塔问题（Hanoi）递归思想

问题：

汉诺塔问题（Hanoi），又称河内塔问题，是一个经典的数学游戏和益智玩具。它起源于印度，传说中一个古老的庙里，有一个柱子，在柱子上，有三个针，最左边的针上套着 64 个圆盘，大小不等，大的在下，小的在上。有一个和尚想把这 64 个圆盘从最左边的针上移到最右边的针上，但必须遵循以下规则：

每次只能移动一个圆盘；
每个圆盘只能放到比它大的圆盘上面。
问该如何移动圆盘，才能既按规定完成移动，且在移动圆盘的过程中始终保持稳定状态？

递归解法思路

我们定义一个 move 函数来实现盘子移动的逻辑。函数有四个参数：n 表示移动的盘子数量，a、b 和 c 分别表示三根柱子（起始柱、辅助柱和目标柱）。

当 n 等于 1 时，表示只剩下一个盘子需要移动，那么直接将该盘子从起始柱 a 移动到目标柱 c 上，并输出移动的步骤和总步数。

否则，我们将问题拆分为三个步骤：

将 n-1 个盘子从起始柱 a 通过辅助柱 c 移动到目标柱 b 上。

将剩下的最后一个盘子从起始柱 a 直接移动到目标柱 c 上。

将之前移动到辅助柱 b 上的 n-1 个盘子通过起始柱 a 移动到目标柱 c 上。

这样，我们通过递归调用 move 函数实现了将 n 个盘子从柱子 A 移动到柱子 C 上的过程。

move函数代码：

// 定义递归移动函数 void move(int n, int a, int b, int c) { if (n == 1) { cout << a << "->" << c << endl; // 输出移动路径 sum++; // 步数+1 } else { move(n - 1, a, c, b); // 将 n-1 个圆盘从柱子a经过柱子c移动到柱子b上（递归调用） move(1, a, b, c); // 将最下面的一个圆盘从柱子a直接移动到柱子c上（递归调用） move(n - 1, b, a, c); // 将 n-1 个圆盘从柱子b经过柱子a移动到柱子c上（递归调用） } }

主程序：

#include<iostream> using namespace std; void move(int n, int a, int b, int c);// 定义移动函数， //参数包括圆盘数量n以及三个柱子的编号a、b、c int sum = 0; // 记录移动步数 int main() { while (1) { int n; cout << "请输入要移动的个数: "; cin >> n; move(n, 1, 2, 3); // 调用移动函数 cout << "总步骤：" << sum << "步" << endl; sum = 0; // 重置步数为0 } return 0; }

尾递归优化（参考其它博客）：

修改后的move函数：

// 尾递归移动函数的实现 void move(int n, int a, int b, int c, int &sum) { if (n == 1) { cout << a << "->" << c << endl; // 将编号为a的柱子上的圆盘移动到编号为c的柱子上（输出移动路径） sum++; // 步数+1 return; // 返回，结束递归调用 } move(n - 1, a, c, b, sum); // 将 n-1 个圆盘从柱子a经过柱子c移动到柱子b上（尾递归调用） cout << a << "->" << c << endl; // 将编号为a的柱子上的圆盘移动到编号为c的柱子上 //（直接输出移动路径） sum++; // 步数+1 move(n - 1, b, a, c, sum); // 将 n-1 个圆盘从柱子b经过柱子a移动到柱子c上（尾递归调用） }

注：其中move（1，a，b，c）由 cout << a << "->" << c << endl;替换

尾递归优化的原理：

是通过将递归调用放置在函数的最后一个操作，从而达到减少函数调用开销和避免栈溢出的目的。

在普通的递归中，每次递归调用都需要在内存中创建一个新的函数调用栈帧，用于保存函数的局部变量、参数以及返回地址等信息。递归的深度增加时，这些栈帧会不断累积，导致内存消耗过大，甚至发生栈溢出。

而尾递归优化则在递归的最后一步操作完成后，直接返回结果，而不再进行额外的递归调用。这样，当前函数调用的栈帧就可以被重用，不再需要保留，从而减少了内存的使用。同时，由于没有新的函数调用，也就不会进一步增加递归的深度，避免了栈溢出的风险。

在汉诺塔问题中，尾递归优化的实现思路是将移动操作放置在进行递归调用之后，确保在递归过程中每一步的移动路径都会被立即输出，并累加步数。这样，在递归回溯的过程中，不会出现过多的函数调用栈帧，从而达到优化的效果。

总结起来，尾递归优化的原理是通过将递归调用放置在函数的最后一个操作，减少了函数调用开销和递归深度，提高了程序的效率和性能。

时间复杂度：

假设总的移动步数为 sum，每次移动时 sum 自增 1。经过分析可得总的移动步数为 sum = 2 * sum(n-1) + 1。递归深度为 n，总步数和n的关系为 T（n）=2^n-1,所以时间复杂度为O（2^n）。

部分数目的递归过程：

今天的文章算法分析课之汉诺塔问题（Hanoi）递归思想分享到此就结束了，感谢您的阅读。