数学史

数学是一门古老的学科，它伴随着人类文明的产生而产生，至少有四、五千年的历史．但它不是某一个民族或某一个地区的产物，而是世界许多民族、诸多地区世世代代的产物，是人们在生产斗争和科学实践中逐渐形成和发展而成的。数学的最初的概念和原理在远古时代就萌芽了，经过四千多年世界许多民族的共同努力，才发展到今天这样内容丰富、分支众多、应用广泛的庞大系统。

第一节 发展历史

一般认为，从远古到现在，数学经历了五个历史阶段．

一、数学萌芽时期(公6世纪以前)

在人类历史上，这是原始社会和奴隶社会的初期。这个时期数学的成就以巴比伦、埃及和中国的数学为代表。古巴比伦是位于幼发拉底河和底格里斯河两河流域的一个文明古国。巴比伦王国形成于约公前19世纪，从出土的古巴比伦的泥板上的楔形文字中发现，古巴比伦人具有算术和代数方面的知识，建立了60进位制的记数系统，掌握了自然数的四则运算，广泛使用了分数，能进行平方、立方和简单的开平方、开立方运算．他们迈出了代数的第一步，能用一些特别的术语和符号代表未知数，能解特殊的几种一一次、二一次方程和一二次方程，甚至某些三次、四次(可化为二次的)和个别指数方程，并且能够把它们应用于天文学和商业等实际问题中去。几何方面掌握了简单平面图形的面积和简单立体体积的计算方法。

中国是最早使用十进位值制记数法的国家。早在三千多年前的商代中期，在甲骨文中产生了一套十进制数字和记数法，最大的数字为三万．与此同时，殷人用十个天干和十二个地支组成六十甲子，用以记日、记月、记年。用阴(——)、阳(一)符号构成八卦表示8种事物，后来发展为64卦。春秋战国之际，筹算已普遍应用，其记数法是十进位值制。数的概念从整数扩充到分数、负数，建立了数的四则运算的算术系统。几何方面，4500年前就有测量工具规、矩、准、绳，有圆方平直的概念。公前1100年左右的商高知道“勾三股四弦五”的勾股定理．春秋末战国初的墨子在《墨经》中给出了一些数学定义，包含有许多算术、几何方面的知识和无穷、极限的概念。

在这个历史时期，由于生产水平很低，商品生产极其有限，社会实践对数学的要求不高．因此只是在长期实践中逐渐形成了数的概念，初步掌握了数的运算方法，积累了几何学的一些知识．但这些知识是片断的、零碎的，没有形成体系，缺少逻辑因素，没有命题的证明．数学这门学科的最显著的特点之一的演绎推理和公理法在这个时期没有出现．

二、初等数学时期(从公前5世纪到公17世纪)

在人类历史上，这是发达的奴隶社会和整个封建社会时期．这个时期外国数学发展的中心先在古希腊，后在印度和阿拉伯国家，之后又转到西欧诸国．这时期的中国数学独立发展，在许多方面居世界领先地位．在数学内容上，2世纪以前是几何优先发展阶段，2世纪以后是代数优先发展阶段．如果说古希腊的几何证明的较突出，则中国和印度的代数计算可与其媲美．这个时期的数学发生了本质的变化，数学(主要是几何学)由具体的、实用阶段发展到抽象的、理论阶段；从以实验和观察为依据的经验学科过渡到演绎的科学，并形成了自己的体系，初等几何、算术、初等代数和三角学都已成为独立的学科．这个时期的研究内容是常量和不变的图形，因此又称为常量数学。

从公前6世纪到公前3世纪是希腊数学的古典时期．这段时期，古希腊形成了很多学派，广泛探讨哲学和自然科学问题，促进了数学理论的建立．在数学方面主要在初等几何取得了辉煌的成就，不仅创造了逻辑推理的演绎方法，而且使几何形成系统的理论．在数的研究方面，使算术应用过渡到理论讨论，建立了整除性理论，产生了数论。数学成就的精华是欧几里得的《几何原本》和阿波罗尼斯的《圆锥曲线论》。希腊数学的第二个时期．即亚历山大里亚时期的数学特点是基础研究与应用紧密结合，几何学开始了定量的研究，阿基米德求面积与体积的计算接近于微积分的计算方法。丢番图发展了巴比伦的代数，采用了一整套符号，使代数发展到一个新阶段。

从9世纪开始，外国数学发展的中心转向了阿拉伯和中亚细亚地区．阿拉伯数学起着承前启后的作用，阿拉伯人大量搜集、翻译古希腊的著作，并把这些著作及印度数码、计数法及中国的四大发明(火药、印刷术、指南针和造纸术)传到欧洲．他们发展了代数，建立了解方程的方法，得到一二次方程的求根公式，并把三角学发展成一门独立的系统的学科。1427年伊朗数学家阿尔·卡西求得圆周率的17位准确值。

中世纪的欧洲，由于罗马和基督教的统治使欧洲数学一直处于落后状态．文艺复兴时期(15-17世纪上半叶)欧洲数学开始繁荣，他们吸取古希腊和东方数学的精华，取得了许多重要成就．在代数方面，韦达等系统地使用符号，使代数产生巨大变革．意大利数学家得到三次、四次方程的公式解法、韦达得到根与系数之间的关系定理、笛卡尔引人了待定系数原理、帕斯卡得到指数是正整数的二项式展开定理，牛顿又把指数推广到分数和实数.17世纪上半叶，初等代数的理论和内容才全部完成了．初等代数的建立，标志着常量数学也就是初等数学时期的结束，接着是向高等数学——变量数学过渡。

三、变量数学时期(17世纪上半叶-19世纪20年代)

这是社会生产力急剧增长，自然科学蓬勃发展的时期。变量数学是以笛卡尔的解析几何为开始的．1637年，笛卡尔通过引进坐标把几何曲线表示成代数方程，然后通过方程的研究来揭示曲线的性质．并把变量、函数引进数学，把几何和代数密切地联系起来，这是数学史上的一个转折点，也是变量数学发展的第一个决定性步骤．第二个决定性步骤是牛顿和莱布尼兹在17世纪后半叶各自独立地建立了微积分，由于力学问题的研究、函数概念的产生和几何问题可以用代数方法来解决等的影响，促使了微积分的产生．17世纪还创立了概率论和射影几何等新的数学学科．17世纪的另一特点是代数化的趋势．古希腊数学的主体是几何学，三角学从属于几何，代数问题也往往要用几何方法论证．17世纪代数比几何占有重要的地位，几何问题常常反过来用代数方法去解决．

18世纪是变量数学发展阶段．在18世纪，微积分产生若干新科目，如微分方程、变分法、级数论、函数论等，形成广阔的分析领域． 18世纪的数学有三个特征：第一是数学家从物理、力学、天文学的研究中发现并创立了许多数学新分支，如变分法、常微分方程、偏微分方程、微分几何和高等代数等．第二个特征是自古以来的几何论证方法在17世纪被代数的方法所代替，到18世纪又被分析方法代替了，代数也变成从属于数学分析．第三个特征是直觉性和经验性．因为缺乏严密逻辑和理论基础，由物理见解所指引，所以是直观的，又因为领域太广阔，还来不及打基础，因而是不严密的．数学分析中任何一个比较细微的问题，如级数和积分的收敛性、微分积分的次序交换、高阶微分的使用，以及微分方程解的存在性问题，结果出现谬误越来越多的混乱局面．为此，到19世纪在德国数学家的倡导下，对数学进行了一场批判性的检查运动．这场运动不仅使数学奠定了坚实的基础，而且产生了公理化方法和许多新颖学科．

四、近代数学时期(19世纪20年代-20世纪40年代)

近代数学时期是数学的全面发展和成熟阶段，数学的面貌发生了深刻的变化，数学绝大多数分支在这个时期都已形成，整个数学呈现全面繁荣的景象。

变量数学时期兴起的许多数学分支，蓬勃地向前发展，内容不断充实、扩大，方法不断地更新． 19世纪是几何复兴时期，继罗巴切夫斯基几何之后，又出现了更广泛的一类非欧几何——黎曼几何，并产生拓扑流形的概念．克莱因提出爱尔朗根纲领，用群的观点统一了各种度量几何．在这个时期还产生了一系列新的几何分支——画法几何、射影几何、微分几何和拓扑学．在代数方面，不仅开创了抽象代数，而且产生了以方程论为主要内容的、包括行列式与矩阵理论、二次型和线性变换在内的高等代数．分析的严格化是从波尔察诺和柯西开始的，他们用极限概念给出了导数和连续的定义。19世纪末，关于数学基础的讨论形成了三大学派，以罗素为代表的逻辑主义学派、以布劳维尔为代表的直觉主义学派和以希尔伯特为代表的形式主义学派，三大学派激烈论战，对数学基础进行了深入的考察．集合论的建立、数理逻辑、罗素悖论、哥德尔定理的出现更深化了数学基础的研究．

五、现代数学时期(20世纪40年代以来)

第二次世界大战以后，科学技术突飞猛进，原子能的利用、电子计算机的发明、空间技术的发展，促使数学发生剧烈的变化．数学的三大特点：高度的抽象性、体系的严谨性和应用的广泛性更明显地表露出来．纯粹数学不断向纵深发展，集合论的观点渗透到各个领域，公理化方法日臻完善，数理逻辑和数学基础已成为整个数学大厦的基础，而现代数学理论的三大支柱是泛函分析，抽象代数和拓扑学，代数拓扑和微分拓扑成为数学的主流．

20世纪的数学出现了三种新趋势：一是不同分支交错发展．多种理论高度综合，数学逐步走向统一的趋势．自从克莱因用“群”的观点统一了当时的各种度量几何以后，许多数学家试图提出各种不同的方案来统一整个数学． 1938年法国布尔巴基学派提出“数学结构”的观点来统一整个数学，1948年爱伦伯克和桑·麦克伦提出用范畴和函子理论作为统一数学的基础．二是边缘学科、综合性学科和交叉学科与日俱增的趋势．现代数学在代数、几何、分析等原有基础学科的邻接领域产生出一系列的边缘学科．综合性学科是以多学科的理论知识和方法对特定的数学对象进行研究．数学与其他学科产生许多交叉学科，如计算物理学、生物数学、经济数学，数理语言学等．正是科学研究的不断深人、扩大所引起的，也是现代数学进展的重大标志．

60年代以后数学界的思想异常活跃，出现了多种新思潮一一非标准分析、模糊数学、突变理论和泛系理论等．非标准分析使无穷小重返数坛，微积分的基础又得到新发展．突变理论使数学由研究连续变量和平滑过程发展到研究不连续(突变)过程．模糊数学使数学由研究精确领域发展到研究模糊领域和模拟人脑功能的领域．泛系理论应用广泛，在科学方法、思维科学数学化方面有重要意义．现代科学技术和生产实践将向数学提出更多、更复杂的新课题，必将产生许多更深刻的数学思想和更强有力的数学方法，数学将向更高、更广、更深的领域去探索、去开发，成为分析和理解世界上各种现象的工具和手段．

第二节 数学发展的内在机制

数学发展的内在机制, 实际上就是数学内部各要素之间的相互作用怎样推动数学发展的机制。 对怀尔德所述的关于数学发展的11种力量进行综合分析，容易看出，这一论述在整体上存在有一定的缺陷和不足。特别是，怀尔德在此首先强调了关于数学发展的外部力量（“环境力量”)与内在力量(“遗传力量”)的区分，但在后面的讨论中却未能把这种“二分”的思想贯彻到底，从而在整体上就造成了一定的混乱。怀尔德所谓的“一体化”，不仅是指数学不同分支之间的相互渗透，而且也是指数学与外部成分的相互渗透.类似地，所谓的“文化阻滞”不仅是指一般文化传统对于数学发展的消极影响，而且是指已有的数学传统也可能阻碍数学的发展，从而在此就无法把这两者明确地归结到环境力量或遗传力量中去。另外，怀尔德在讨论中还常常把“抽象”、“一般化”等说成是与“遗传力量”相并列的内在力量，从而也就造成了一定的层次混乱。

正是出于上述的考虑，就要对怀尔德所说的各种力量重新进行整理和归类。 无论就数学发展的外部力量或内在力量而言，它们既可能促进数学的发展，也可能阻碍数学的发展。好的数学传统可以促进数学的发展，不好的数学传统(特别是思想的僵化)则就会阻碍数学的发展。由于以往的研究往往只是注意到了各种因素对于数学发展的促进作用，而怀尔德则十分明确地指出了两个方向上的作用，因此，这就是一个重要的进步。

就数学发展的外部力量、也即怀尔德所谓的“环境力量”而言，我们不仅应当看到“物质成分”的作用，而且也应看到“文化成分”的作用。就后者而言，除去其他科学，特别是物理学研究的需要以外，我们又应清楚地看到整个文化环境对于数学发展的重大影响。例如，古希腊数学的发展即是与古希腊社会在整体上的繁荣相适应的，更受到了古希腊哲学的直接影响。另外，政治上的封闭则就可能成为数学发展的“文化阻滞”。

我们可对数学发展的内在力量，也即怀尔德所谓的“遗传力量”作出如下的进一步分析：我们不仅应当看到已有的数学工作与已有的数学传统(这即是“数学活动”的两个组成部分)，对于数学发展的作用，而且应当看到在这两者之间所存在的辩证关系。

具体地说，由数学的历史可以看出，处于一定数学传统之下的数学家并不是盲目地去从事符号化、一般化、严格化、系统化等方面的研究的；恰恰相反，这种研究在很大程度上是由数学发展的现状所决定的。例如，矛盾(悖论)的发现就将促使数学家去从事严格化的工作；理论的多样化则将直接导致统一性的研究；某个领域中长期未能得到解决的问题的存在为不同学科的渗透(“一体化”)提供了直接的动力；理论在数量上的增长则又必然会引起系统化和严格化的任务，等等。

由此可见，在数学活动的这两种成分，即已有的数学工作与已有的数学传单之间事实上存在着相互促进、互相依赖的辩证关系，而这种辩证关系也就为数学的进一步发展提供了必要的内在机制。

依据上面的分析，我们就可以把数学发展的内在力量归结为“知识成分”与“数学传统”这样两种成分。从而，从整体上说，对于导致数学发展的各种力量就可归结如下：环境力量(外部力量)包括物质成分和文化成分; 遗传力量(内在力量)包括知识成分和文化传统. 另外，如果对问题作广义的理解，即不仅是指已有的数学理论中所存在的、尚未得到的问题，包括已有数学工作中的种种不足之处，而且也是指由数学外部所提出的问题，那么，数学发展的主要形式就可归结为以下的模式：

第三节 数学认识论

一、数形概念的深化 数学的发展是以数和形两个基本概念为主干的，整个数学就是围绕数与形两个概念的提炼、演变和发展而发展的．数学发展史中一直存在着数与形两条并行不悖的发展路线，一条以发展计算为中心的算术代数路线，一条以发展形为主的几何路线．前者有两个源头，一个源头是独立发展的中国数学，另一源头是古巴比伦数学．这一路线在古希腊亚里山大里亚时期进一步得到发展，在中国、印度和阿拉伯国家发扬光大，到17世纪的欧洲才形成完整的初等代数学．这两种数学在17世纪在欧洲汇合，经过进一步发展，导致了解析几何的产生，产生了变量数学．随后由于微积分的产生，开始了数学的巨大变革，产生了数学分析这一广阔的领域，形成了代数、几何、分析三足鼎立的形势．18、19世纪由于数学的不断分化，代数、几何、分析形成了各自不同的研究领域．数学研究的对象日益彰、展，数与形的概念不断扩大，日趋抽象化，以至不再有任何原始计算与简单图形的踪影了。

几何不仅研究物质世界的空间形式，而且研究同空间形式和关系相似的其他形式和关系，产生了各种新“空间”：罗巴切夫斯基空间、射影空间、四维的黎曼空间、各种拓扑空间等都成为几何研究的对象。现代化数学所考察的对象是具有更普遍的“量”，如向量、矩阵、张量、旋量、超复数、群等，并且研究这些量的运算．这些运算在某种程度上和算术中的四则运算类似，但复杂得多．矢量是简单的例子，矢量的加法是按照平行四边形法则相加的．在现代代数中进行的抽象达到这样的程度。以致“量”这个术语也失去本身的意义，而一般地变成讨论“对象”了．对于这种“对象”可以进行同普通代数运算相似的运算．不但“数”是变的，在泛函分析中，函数本身也被看作是变的．某一给定函数的性质在这里不能单独地确定，而是在这个函数对另外一些函数的关系上确定的．因此考察的已经不是一些单个的函数，而是所有以这种或那种共同性质作为特征的函数的集合．函数的这种集合结合成“函数空间”．现代数学的发展促使数和形的概念不断深化，形成了多种多样的边缘学科．这些学科不仅没有加深各学科间的分离，而且导致了各学科的互相联系和渗透，使以前基本分离的领域互相沟通了起来，并且填满了基本学科之间中断了的部分．各门学科形成了一个牢固联系的有机整体．各门科学的数学化，使得数学和其他学科交叉结合，产生许多交叉学科

二、数学思想的演变

数学思想的发展大致可划分为常量数学思想、变量数学思想、随机数学思想三个阶段．每个阶段不仅体现数学思想发生质的变化，而且标志着数学研究对象和方法的重大变化．

常量数学思想阶段即初等数学时期，数学研究的对象是不变的数量关系和固定的空间形式，数与形是分开研究的．研究数的学科是算术和代数，算术是研究离散固定的数，代数研究方程的固定解，几何则是研究平面或空间的固定图形．常量数学思想是与当时的生产和科学发展的水平相适应的，是对现实世界固定的数与形关系的抽象，是孤立、静止地研究现实世界的数量关系．

变量数学思想阶段是从17世纪上半叶开始的，这时资本主义处于上升时期，天体运行轨道推算、航海导航，抛射体弹道曲线的计算，力学中对变速运动规律的描述等等，使数学突破常量数学传统研究范围，开始了数学发展的一个本质不同的崭新时期．数学研究对象从常量转到变量，这是数学发展史上的一个转折点，数学发展到用运动、发展和联系的辩证观点来分析把握对象的数与形的统一关系，其主要标志是解析几何和微积分的诞生．解析几何在数学概念思维领域里实现了数与形关系的沟通，微积分使人类思维进入无限小分析领域，使人类视野由有限发展到无限，由静止发展到运动，微积分为人们描述宇宙运动及变化过程提供了简明而精确的数学语言和工具，成为自然科学和技术发展中精确表述它们规律和解决它们问题的有力武器．

随机数学思想阶段是以概率论为其标志的．概率论使数学研究的领域由确定性领域进人非确定性领域．如果初等数学和数学分析称为研究确定性现象的数学的话，概率论则是研究非确定性(随机性)现象的数学，这是近代数学发展的一个转折点．它标志着直接以不确定性现象为研究对象，并提供把握“大势所趋”的途径，为偶然性和必然性之间的转化提供了数学刻划的手段．

数学思想从常量数学——变量数学——随机数学的演进，与人类实践活动水平的提高，认识活动中心的转移，以及科学数学化的过程，存在着某种同步发展的内在统一性．当人类认识以自然为中心时，精确的经典数学(包括常量与变量数学)在自然科学中取得巨大的成就．当人们的视野重心转向社会规律考察时，随机数学向社会科学渗透．当人们注意到自身思维机制的研究时，近来的模糊数学又为思维科学的发展提供有效的社会工具．

第四节 数学方法论

定理证明和数值计算是数学中两项最主要的活动形式．证明主要是用演绎法，以公理化思想为主；计算若是按一定程序，即按一种机械的过程进行就叫做机械化思想的算法．贯穿在整个数学发展历史过程中，有两个中心思想，一个是公理化思想，另一个是机械化思想．公理化思想导源于古希腊，欧几里得的《几何原本》是公理化思想的代表．机械化思想则贯穿于整个中国古代数学，《九章算术》为其代表．作为数学两种主流的公理化思想和机械化思想都对数学的发展起过巨大的作用．现在我们从思想方法论的角度，即从数学发展中以公理化思想为主的演绎倾向和以机械化思想为主的算法倾向交替取得主导地位的线索来描述整个数学发展史．

古代巴比伦和埃及的原始算法最早占主导地位，后来被希腊式的演绎几何所接替．19世纪初，特别是70年代起，几何演绎倾向又重新在比古希腊几何高得多的水准上占优势．近代数学时期的演绎倾向是从19世纪20至30年代开始，在70年代以后进入全盛时期．这个新的演绎时代与古希腊一个显著的不同是演绎方法的运用远远超出了几何而扩展到其他领域，首先是数学分析．探讨微积分运算的严格的逻辑基础，导致了从柯西极限论到外尔斯特拉斯的极限算术化和康托尔集合论贯穿了整个19世纪的分析严格化运动．如果说，17世纪将代数算法运用于几何而发展出解析几何，19世纪则反过来，将几何演绎运用于代数而产生抽象代数．抽象代数则充满了演绎精神．19世纪开辟的新的演绎数学，在几何领域本身也是远远超过了古希腊时代，对欧几里得公理系统的内部结构的掌握，导致了希尔伯特公理化方法．这种公理化方法，不仅严格了各个几何分支的逻辑基础，而且渗透到几乎所有的纯数学及某些物理的领域．

直到20世纪前半叶，数学中演绎倾向有增无减，数学变成研究任意结构的学问．抽象代数从局部性研究转向系统结构的整体性分析研究．布尔巴基学派用公理化的结构主义观点看待整个数学，认为整个数学可以建立在不求助于直观的彻底公理化基础上．综上所述，整个数学史又可看成一部算法倾向与演绎倾向交替繁荣的历史．

第五节 对数学史的见解

数学史是研究数学发展历史的学科，是数学的一个分支，也是自然科学史研究下属的一个重要分支。和所有的自然科学史一样，数学史也是自然科学和历史科学之间的交叉学科，在很多方面都有重要的意义

（一）科学意义及作用 每一门科学都有其发展的历史，作为历史上的科学，既有其历史性又有其现实性。其现实性首先表现在科学概念与方法的延续性方面，今日的科学研究在某种程度上是对历史上科学传统的深化与发展，或者是对历史上科学难题的解决，因此我们无法割裂科学现实与科学史之间的联系。数学科学具有悠久的历史，与自然科学相比，数学更是积累性科学，其概念和方法更具有延续性，比如古代文明中形成的十进位值制记数法和四则运算法则。

（二）文化意义及作用 “数学不仅是一种方法、一门艺术或一种语言，数学更主要是一门有着丰富内容的知识体系，其内容对自然科学家、社会科学家、哲学家、逻辑学家和艺术家十分有用，同时影响着政治家和神学家的学说”。数学已经广泛地影响着人类的生活和思想，是形成现代文化的主要力量。因而数学史是从一个侧面反映的人类文化史，又是人类文明史的最重要的组成部分。

中国数学有着悠久的历史，14世纪以前一直是世界上数学最为发达的国家，出现过许多杰出数学家，取得了很多辉煌成就。由于教育上的失误，致使接受现代数学文明熏陶的我们，往往数典忘祖，对祖国的传统科学一无所知。数学史可以使我们了解中国古代数学的辉煌成就，了解中国近代数学落后的原因，中国现代数学研究的现状以及与发达国家数学的差距，以激发学生的爱国热情，振兴民族科学。