首先介绍一下什么是阿波罗尼斯圆:
已知平面上两点 A , B A, B A,B, 则所有满足 P A P B = k \frac{PA}{PB}=k PBPA=k 且不等于 1 1 1 的点 P P P 的轨迹是一个以定比 m : n m:n m:n 内分和外分定线段 A B AB AB 的两个分点的连线为直径的圆. 这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现, 故称作阿氏圆.
我翻了半天知乎, 发现没有人写阿波罗尼斯圆在最一般的情况下方程的推导, 遂作此文. 当然, 很大一部分原因是我下边写的这种推导十分麻烦, 不如以所给的两定点为 x x x 轴来研究.
那么下边我将以最一般的情况, 用解析几何的方法来推导.
在平面直角坐标系中，已知 A A A 的坐标为 ( x 1 , y 1 ) (x_1,y_1) (x1,y1)， B B B 的坐标为 ( x 2 , y 2 ) (x_2,y_2) (x2,y2) （ A , B A,B A,B 互异），设动点 P P P 的坐标为 ( x , y ) (x,y) (x,y), 满足 ∣ P A ∣ ∣ P B ∣ = k ( k > 0 且 k ≠ 1 ) \frac{|{PA}|}{|{PB}|}=k \quad (k>0 且 k\neq1) ∣PB∣∣PA∣=k(k>0且k=1). 易得
∣ P A ∣ = ( x − x 1 ) 2 + ( y − y 1 ) 2 , ∣ P B ∣ = ( x − x 2 ) 2 + ( y − y 2 ) 2 . \begin{gather*} |PA| = \sqrt{(x-x_1)^2+(y-y_1)^2} ,\\ |PB| = \sqrt{(x-x_2)^2+(y-y_2)^2} . \end{gather*} ∣PA∣=(x−x1)2+(y−y1)2,∣PB∣=(x−x2)2+(y−y2)2.
由 ∣ P A ∣ ∣ P B ∣ = k \frac{|{PA}|}{|{PB}|}=k ∣PB∣∣PA∣=k, 即 ∣ P A ∣ = k ∣ P B ∣ |PA| = k|PB| ∣PA∣=k∣PB∣, 对两边平方后将上一行的两式带入得
( x − x 1 ) 2 + ( y − y 1 ) 2 = k 2 [ ( x − x 2 ) 2 + ( y − y 2 ) 2 ] , (x-x_1)^2+(y-y_1)^2=k^2[(x-x_2)^2+(y-y_2)^2] , (x−x1)2+(y−y1)2=k2[(x−x2)2+(y−y2)2],
展开整理后得到
( 1 − k 2 ) x 2 + ( 1 − k 2 ) y 2 + 2 ( k 2 x 2 − x 1 ) x + 2 ( k 2 y 2 − y 1 ) y + x 1 2 − k 2 x 2 2 + y 1 2 − k 2 y 2 2 = 0 , (1-k^2)x^2+(1-k^2)y^2+2(k^2x_2-x_1)x+2(k^2y_2-y_1)y+x_1^2-k^2x_2^2+y_1^2-k^2y_2^2=0 , (1−k2)x2+(1−k2)y2+2(k2x2−x1)x+2(k2y2−y1)y+x12−k2x22+y12−k2y22=0,
等号两边同除以 ( 1 − k 2 ) (1-k^2) (1−k2), 得到
x 2 + y 2 + 2 ( k 2 x 2 − x 1 ) 1 − k 2 x + 2 ( k 2 y 2 − y 1 ) 1 − k 2 y + x 1 2 − k 2 x 2 2 + y 1 2 − k 2 y 2 2 1 − k 2 = 0. x^2+y^2+\frac{2(k^2x_2-x_1)}{1-k^2}x+\frac{2(k^2y_2-y_1)}{1-k^2}y+\frac{x_1^2-k^2x_2^2+y_1^2-k^2y_2^2}{1-k^2}=0 . x2+y2+1−k22(k2x2−x1)x+1−k22(k2y2−y1)y+1−k2x12−k2x22+y12−k2y22=0.
可以配一下方，那么可以得到
( x + k 2 x 2 − x 1 1 − k 2 ) 2 + ( y + k 2 y 2 − y 1 1 − k 2 ) 2 = ( k 2 x 2 − x 1 ) 2 + ( k 2 y 2 − y 1 ) 2 + ( k 2 − 1 ) ( x 1 2 − k 2 x 2 2 + y 1 2 − k 2 y 2 2 ) ( 1 − k 2 ) 2 = k 4 x 2 2 − 2 k 2 x 1 x 2 + x 1 2 + k 4 y 2 2 − 2 k 2 y 1 y 2 + y 1 2 + ( k 2 − 1 ) x 1 2 + ( 1 − k 2 ) k 2 x 2 2 + ( k 2 − 1 ) y 1 2 + ( 1 − k 2 ) k 2 y 2 2 ( 1 − k 2 ) 2 = k 2 x 1 2 + k 2 x 2 2 − 2 k 2 x 1 x 2 + k 2 y 1 2 + k 2 y 2 2 − 2 k 2 y 1 y 2 ( 1 − k 2 ) 2 = k 2 ( 1 − k 2 ) 2 [ ( x 1 − x 2 ) 2 + ( y 1 − y 2 ) 2 ] , \begin{equation}\notag \begin{split} &\ \left(x+\frac{k^2x_2-x_1}{1-k^2}\right)^2+\left(y+\frac{k^2y_2-y_1}{1-k^2}\right)^2 \\ =&\ \frac{(k^2x_{2}-x_{1})^2+(k^2y_{2}-y_{1})^2+(k^2-1)(x_{1}^2-k^2x_{2}^2+y_{1}^2-k^2y_{2}^2)}{(1-k^2)^2} \\ =&\ \frac{k^4x_{2}^2-2k^2x_{1}x_{2}+x_{1}^2+k^4y_{2}^2-2k^2y_{1}y_{2}+y_{1}^2+(k^2-1)x_{1}^2+(1-k^2)k^2x_{2}^2+(k^2-1)y_{1}^2+(1-k^2)k^2y_{2}^2}{(1-k^2)^2} \\ =&\ \frac{k^2 x_{1}^2+k^2x_{2}^2-2 k^2x_{1} x_{2}+k^2 y_{1}^2+k^2y_{2}^2-2k^2y_{1}y_{2}}{(1-k^2)^2} \\ =&\ \frac{k^2}{(1-k^2)^2}[(x_{1}-x_{2})^2+(y_{1}-y_{2})^2] ,\\ \end{split} \end{equation} ==== (x+1−k2k2x2−x1)2+(y+1−k2k2y2−y1)2 (1−k2)2(k2x2−x1)2+(k2y2−y1)2+(k2−1)(x12−k2x22+y12−k2y22) (1−k2)2k4x22−2k2x1x2+x12+k4y22−2k2y1y2+y12+(k2−1)x12+(1−k2)k2x22+(k2−1)y12+(1−k2)k2y22 (1−k2)2k2x12+k2x22−2k2x1x2+k2y12+k2y22−2k2y1y2 (1−k2)2k2[(x1−x2)2+(y1−y2)2],
即
( x + k 2 x 2 − x 1 1 − k 2 ) 2 + ( y + k 2 y 2 − y 1 1 − k 2 ) 2 = k 2 ( 1 − k 2 ) 2 [ ( x 1 − x 2 ) 2 + ( y 1 − y 2 ) 2 ] . (x+\frac{k^2x_{2}-x_{1}}{1-k^2})^2+(y+\frac{k^2y_{2}-y_{1}}{1-k^2})^2=\frac{k^2}{(1-k^2)^2}[(x_{1}-x_{2})^2+(y_{1}-y_{2})^2] . (x+1−k2k2x2−x1)2+(y+1−k2k2y2−y1)2=(1−k2)2k2[(x1−x2)2+(y1−y2)2].
由于 k > 0 k>0 k>0 且 k ≠ 1 k\neq 1 k=1, 并且 A , B A,B A,B 两点互异, 所以等号右边的式子始终大于 0 0 0 , 所以这便是圆的标准方程.
这样我们就得到了阿波罗尼斯圆的方程. 实际上, 也就证明了阿波罗尼斯圆的命题.
由上式可知此情况下圆心为
( k 2 x 2 − x 1 1 − k 2 , k 2 y 2 − y 1 1 − k 2 ) . \left(\frac{k^2x_{2}-x_{1}}{1-k^2},\frac{k^2y_{2}-y_{1}}{1-k^2}\right) . (1−k2k2x2−x1,1−k2k2y2−y1).
观察最后得到的这个式子, 不难发现
( x 1 − x 2 ) 2 + ( y 1 − y 2 ) 2 = ∣ A B ∣ 2 . (x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2=|AB|^2 . (x1−x2)2+(y1−y2)2=∣AB∣2.
那么, 阿波罗尼斯圆的半径可以表示为
R = ∣ k 1 − k 2 ∣ ⋅ ∣ A B ∣ . R=\left|\frac{k}{1-k^2}\right|\cdot|AB| . R=
1−k2k
⋅∣AB∣.
综上
在平面直角坐标系中, 已知 A A A 的坐标为 ( x 1 , y 1 ) (x_1,y_1) (x1,y1), B B B 的坐标为 ( x 2 , y 2 ) (x_2,y_2) (x2,y2) ( A , B A,B A,B 互异), 设动点 P P P 的坐标为 ( x , y ) (x,y) (x,y), 满足 ∣ P A ∣ ∣ P B ∣ = k ( k > 0 且 k ≠ 1 ) \frac{|PA|}{|PB|}=k \quad (k>0且k\neq 1) ∣PB∣∣PA∣=k(k>0且k=1), 那么点 P P P 的轨迹是阿波罗尼斯圆, 方程为
( x + k 2 x 2 − x 1 1 − k 2 ) 2 + ( y + k 2 y 2 − y 1 1 − k 2 ) 2 = ( k 1 − k 2 ∣ A B ∣ ) 2 , \left(x+\frac{k^2x_{2}-x_{1}}{1-k^2}\right)^2+\left(y+\frac{k^2y_{2}-y_{1}}{1-k^2}\right)^2=\left(\frac{k}{1-k^2}|AB|\right)^2 , (x+1−k2k2x2−x1)2+(y+1−k2k2y2−y1)2=(1−k2k∣AB∣)2,
圆心为
( k 2 x 2 − x 1 1 − k 2 , k 2 y 2 − y 1 1 − k 2 ) , \left(\frac{k^2x_{2}-x_{1}}{1-k^2},\frac{k^2y_{2}-y_{1}}{1-k^2}\right) , (1−k2k2x2−x1,1−k2k2y2−y1),
半径为
∣ k 1 − k 2 ∣ ⋅ ∣ A B ∣ . \left|\frac{k}{1-k^2}\right|\cdot|AB| .
1−k2k
⋅∣AB∣.
以上.
今天的文章 一般情况下的阿波罗尼斯圆的方程的推导过程分享到此就结束了，感谢您的阅读。原文：
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博客园 - 一般情况下的阿波罗尼斯圆的方程的推导过程
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