原文见https://mathoverflow.net/questions//reasons-behind-assuming-the-existence-of-siegel-zeros-can-be-used-to-prove-somet
假设存在西格尔零点的原因可以用来证明比假设格拉斯哥更强的东西？
|
8
最喜爱的
|
|||||||||
|
1答案
|
23
|
粗略地说，GRH声称Möbius函数与所有Dirichlet字符是“正交的” ，在这种意义上，非常小。这是莫比乌斯函数的预期行为，通过各种标准的分析数字理论操作，人们还可以使用GRH来控制冯·曼戈尔德函数（其基本上编码素数）和各种其他函数之间的相关性，例如线性相位。另一方面，GRH努力控制自相关，例如或 μ χ Σñ ≤ Xμ （n ）× （n ）¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ Λ(n) e(αn) ∑n≤xμ(n)μ(n+2) ∑n≤xΛ(n)Λ(n+2) （后者被用来计算孪生素数）。例如，在函数场中，GRH是一个已知的定理，但对于孪生素数，我们仍然无法获得渐近的（甚至是正确的数量级的下界），尽管可以建立孪生子的无限性在这种情况下通过更多的代数手段来引发。 相反，西格尔零的存在意味着有一个二次Dirichlet特征与具有非常高的相关性（这可以精确地使用“造作”的方法来通过威和Soundararajan开发解析数论来量化）。对于，这是非常不寻常的行为，因此实际上是一个相当强大的信息。为粗制的第一近似中，西格尔零允许一个替换与与可接受的误差（在实践中，人们必须在小的素数更加小心，但是，例如通过施加一个合适的初步筛）。因此，例如人们可能希望近似为 χ μ μ μ χ ∑n≤xμ(n)μ(n+2) 通过类似于，这是相对容易的非平凡的约束。 非常粗略地讲，希斯-Brown的处理参数，通过类似地更换冯曼戈尔特功能与所述变体，这与divisor函数大致相同。特别是诸如和可以通过已知方法（例如Kloosterman和界）足够容易地使它们对于难以处理的。 ∑n≤xχ(n)χ(n+2) Λ(n)=∑d|nμ(d)lognd f(n):=∑d|nχ(d)lognd ∑n≤xf(n)f(n+2) ∑n≤xΛ(n)Λ(n+2) |
