个或多个总体比例的相等性的检验
例子：
三个或多个总体比例相等性的卡方检验的一般步骤
由于卡方检验表明总体比例不全相等，因此，我们尝试性地确定哪些总体比例之间存在差异是合理的。为此，我们依靠用于对所有成对的总体比例进行统计检验的多重比较方法。接下来，我们讨论一种多重比较方法—著名的 Marascuilo方法（ Marascuilo procedure）。对所有成对的总体比例，这是一种相对简单的方法。我们将用汽车顾客品牌忠诚度的研究来说明这种多重比较检验方法所需要的计算。
首先，我们计算研究中每一对总体的样本比例之差的绝对值。在三个汽车品牌忠诚度研究的总体中，我们比较总体1和2、总体1和3以及总体2和3的样本比例如下：
第2步，我们选择显著性水平，并用下列表达式计算每一对比较值相对应的临界值。
独立性检验
卡方检验的一个重要应用是利用样本数据检验两个分类变量的独立性，为了这个检验，我们从一个总体中抽取样本，并记录两个分类变量的观测值。我们通过对分类变量1和分类变量2的每一对组合统计回答的个数来汇总数据。检验的原假设是两个分类变量独立。因此，这种检验被称为独立性检验（ test of independence）。
例子：
汇总
汇总：
正态分布
正态分布的拟合优度检验也是基于卡方分布的应用，具体地，在总体服从正态分布的假设下，将样本数据的若干类别的观察频数同期望频数进行比较。因为正态分布是连续型的，我们必须修正定义类别的方式以及计算期望频数的方法。
例子：
点估计值
假设检验
我们进一步考察计算类别边界的方法。当假定为正态分布时，标准正态概率表可以用于确定这些边界。首先考虑最低10%的测验分数的分界值。根据标准正态分布表，我们得到该测验分数对应的z值为-1.28.因此，分数x=68.42-1.28×10.41=55.10是最低10%的分界值。对于最低20%的情形，我们得到z=-0.84，于是x=68.42-0.84×10.41=59.68.用这种方法处理整个正态分布，得到下列测验分数值。
得到期望频数与观察频数
计算卡方得到卡方 = 7.2
汇总：
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