【沧海拾昧】DSP基础公式（自用待整理）

编程基础 • 2024-12-21 18:27 • 阅读 7

《数字信号处理》重要公式

#C0701

沧海茫茫千钟粟，且拾吾昧一微尘

——《沧海拾昧集》@CuPhoenix

【阅前敬告】 沧海拾昧集仅做个人学习笔记之用，所述内容不专业不严谨不成体系 【如有问题必是本集记录有谬，切勿深究】

一、第一章

1、周期序列

周期公式

$T=\frac{2\pi}{\omega_0}$

2、求DTFT变换

DTFT公式

$X(e^{j\omega})=\sum_{n=-\infty}^\infty x(n)\cdot(e^{-j\omega n})$

欧拉公式

$e^{j\omega}=\mathrm{cos}\ \omega+j\ \mathrm{sin}\ \omega$

3、Z变换

Z变换

$X(z)=\sum_{n=-\infty}^\infty x(n)\cdot z^{-n}$

逆Z变换

$x(n)=\frac 1{2\pi j}\oint_c X(z)z^{n-1}\mathrm dz$

等比级数求和

$\sum_{n=0}^\infty a^n\cdot z^{-n}=\frac{1-(az^{-1})^n}{1-az^{-1}}=\frac1{1-az^{-1}}$

解差分方程

$y(n)-0.7y(n-1)+0.1y(n-2)=0\\ \Downarrow\\ Y(z)-0.7[z^{-1}Y(z)+y(-1)]+0.1[z^{-2}Y(z)+z^{-1}y(-1)+y(-2)]=0$

二、第二章

1、采样与重构

不失真采样频率（奈奎斯特频率）

$f=2f_{max}$

三、第三章

1、DFS和IDFS（周期序列的离散傅里叶级数）

正变

$\widetilde X(n)=DFS[\widetilde x(n)]=\sum_{n=0}^{N-1} \widetilde x(n)\cdot W_N^{kn}=\sum_{n=0}^{N-1} \widetilde x(n)\cdot e^{-j\frac {2\pi}Nkn}$

逆变

$\widetilde x(n)=IDFS[\widetilde X (n)]=\frac 1N\cdot\sum_{n=0}^{N-1} \widetilde X(n)\cdot W_N^{-kn}$

2、DFT和IDFT（有限长非周期序列的离散傅里叶变换）

正变

$X(n)=DFS[x(n)]=\sum_{n=0}^{N-1} x(n)\cdot W_N^{kn}=\sum_{n=0}^{N-1} x(n)\cdot e^{-j\frac {2\pi}Nkn}$

逆变

$(n)]=\frac 1N\cdot\sum_{n=0}^{N-1}X(n)\cdot W_N^{-kn}$

3、循环卷积

DFT变换

$f_N(n)=x(n) * y(n)\ \Rightarrow\ F_N(k)=X(k)Y(k)$

4、冲激函数的DFT

公式

$x(n)=\frac 1N\cdot\sum_{n=0}^{N-1}W_N^{-kn}= \left\{\begin{aligned} &1&n=0\\ &0&n\neq0 \end{aligned} \right. =\delta(0)$

四、第四章

1、幅度平方函数

$A(\Omega^2)$ 和 $H_a(s)$ 的关系

$A(\Omega^2)=H(j\Omega)H(-j\Omega)=H_a(s)H_a(-s)|_{s=j\Omega}$

2、设计数字滤波器

脉冲响应不变法

$H(z)=\sum_{i=1}^N \frac{A_i}{1-e^{s_iT}z^{-1}}\\ H(e^{j\omega})=H(z)|_{z=e^{j\omega}}$

双线性变换法

$H(z)=H_a(s)|_{s=\frac 2T\cdot\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}}\\ H(e^{j\omega})=H(z)|_{z=e^{j\omega}}$

绘制开环概略幅相曲线的规律

敬谢诸君。

金陵中山之阳。

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