如图，大圆⊙(O;R)，小圆⊙(O’;r)，
小圆沿着大圆内边滚动，保持相切，推导小圆上一特定点p的轨迹参数方程。
p’点坐标 ( x , y ) (x,y) (x,y)表示为：
{ x = ( R − r ) cos α + r cos θ y = ( R − r ) sin α − r sin θ \begin{cases} x=(R-r)\cos\alpha + r\cos\theta \\ y=(R-r)\sin\alpha - r\sin\theta \end{cases} {
x=(R−r)cosα+rcosθy=(R−r)sinα−rsinθ
其中， θ , α ≥ 0 \theta,\alpha\ge0 θ,α≥0，由滚动时的路程关系得： ( α + θ ) r = α R (\alpha+\theta)r=\alpha R (α+θ)r=αR
代入上式得：
{ x = ( R − r ) cos α + r cos R − r r α y = ( R − r ) sin α − r sin R − r r α \begin{cases} x=(R-r)\cos\alpha + r\cos\dfrac{R-r}{r}\alpha\\ y=(R-r)\sin\alpha - r\sin\dfrac{R-r}{r}\alpha \end{cases} ⎩
⎨
⎧x=(R−r)cosα+rcosrR−rαy=(R−r)sinα−rsinrR−rα
此即p点轨迹的参数方程。
当 R r = 4 \cfrac{R}{r}=4 rR=4 时，
{ x = 3 R 4 cos α + R 4 cos 3 α = R cos 3 α y = 3 R 4 sin α − R 4 sin 3 α = R sin 3 α \begin{cases} x=\cfrac{3R}{4}\cos\alpha + \dfrac{R}{4}\cos3\alpha &=R\cos^3\alpha\\ y=\cfrac{3R}{4}\sin\alpha - \dfrac{R}{4}\sin3\alpha &=R\sin^3\alpha \end{cases} ⎩
⎨
⎧x=43Rcosα+4Rcos3αy=43Rsinα−4Rsin3α=Rcos3α=Rsin3α
即为星形线，或称为四尖瓣线，是一个有四个尖点的内摆线
直角坐标方程是：
x 2 / 3 + y 2 / 3 = R 2 / 3 x^{2/3}+y^{2/3}=R^{2/3} x2/3+y2/3=R2/3
性质： 若星形线上某一点（参数 α = α 0 \alpha=\alpha_0 α=α0处）切线为 L ( x , y ) L(x,y) L(x,y)，其方向向量为 ( d x d α , d y d α ) ∣ α = α 0 (\cfrac{dx}{d\alpha},\cfrac{dy}{d\alpha})\bigg|_{\alpha=\alpha_0} (dαdx,dαdy)
α=α0，相应的切线方程为
L ( x , y ) : x sin α 0 + y cos α 0 = R sin α 0 cos α 0 L(x,y): x\sin\alpha_0+y\cos\alpha_0=R\sin\alpha_0\cos\alpha_0 L(x,y):xsinα0+ycosα0=Rsinα0cosα0
如果切线 L ( x , y ) L(x,y) L(x,y)分别交x、y轴于点 A ( R cos α 0 , 0 ) 、 B ( 0 , R sin α 0 ) \mathbf{A}(R\cos\alpha_0,0)、\mathbf{B}(0,R\sin\alpha_0) A(Rcosα0,0)、B(0,Rsinα0)，则线段 A B ≡ R \mathbf{AB}~\equiv~ R AB ≡ R.故星形线可看作由一个线段包络而成。
星形线在公共汽车门中也有应用
一扇折叠式车门所占的地方约占普通车门的3/16 ，大大节约了空间，使车辆能载更多的乘客。
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