由递推关系到通项公式

编程基础 • 2024-12-26 17:40 • 阅读 4

由递推关系求通项公式的类型与方法

利用不动点求出：

x = p x + q

$x=px+q$
的根

x=−qp−1 $x=-\frac q{p-1}$ ，利用递归关系（等式两边同时减去

x $x$ ）可化为，

a n + 1 + q p - 1 = p (a n + q p - 1)

$a_{n+1}+\frac{q}{p-1}=p\left(a_n+\frac q{p-1}\right)$
构成等比数列，然后求解；

例：设数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=a,a_{n+1}=ca_{n}+1-c$ ，求 $\{a_n\}$ 的递归公式；

$x=cx+1-c ⇒ x=1$

所以有：

a n + 1 - 1 = c (a n - 1) \Rightarrow a n - 1 = c n - 1 (a - 1)

$a_{n+1}-1=c\left(a_n-1\right) ⇒ a_{n}-1=c^{n-1}\left(a-1\right)$

待定系数法构造：

a n + 2 - λ a n + 1 = χ (a n + 1 - λ a n)

$a_{n+2}-\lambda a_{n+1}=\chi\left(a_{n+1}-\lambda a_n\right)$

例： $a_1=2,a_2=3,2a_n=a_{n-1}+a_{n+1}$ ，求 $a_n$

a n + 1 - a n = a n - a n - 1

$a_{n+1}-a_n=a_n-a_{n-1}$

⇒ $a_n=n+1$

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