如果函数 x = f ( y ) x = f(y) x=f(y)在区间 I y I_y Iy内单调、可导且 f ′ ( y ) ≠ 0 f'(y) \neq 0 f′(y)̸=0，那么它的反函数 y = f − 1 ( x ) y = f^{-1}(x) y=f−1(x)在区间 I x = { x ∣ x = f ( y ) ， y ∈ I y } I_x = \{x | x = f(y)，y \in I_y\} Ix={
x∣x=f(y)，y∈Iy}内也可导，且 [ f − 1 ( x ) ] ′ = 1 f ′ ( y ) 或 d y d x = 1 d x d y [f^{-1}(x)]' = \frac{1}{f'(y)} 或 \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}} [f−1(x)]′=f′(y)1或dxdy=dydx1
这个结论可以简单表达为：反函数的导数等于直接函数导数的倒数。
例：
设 x = sin y ， y ∈ ( − π 2 , π 2 ) x = \sin y，y \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) x=siny，y∈(−2π,2π)为直接导数，则 y = arcsin x y = \arcsin x y=arcsinx是它的反函数，求反函数的导数.
解：函数 x = sin y x = \sin y x=siny在区间内单调可导， f ′ ( y ) = cos y ≠ 0 f'(y) = \cos y \neq 0 f′(y)=cosy̸=0
因此，由公式得 ( arcsin x ) ′ = 1 ( sin y ) ′ (\arcsin x)' = \frac{1}{(\sin y)'} (arcsinx)′=(siny)′1 = 1 cos y = 1 1 − sin 2 y = 1 1 − x 2 = \frac{1}{\cos y} = \frac{1}{\sqrt{1 - \sin^2 y}} = \frac{1}{\sqrt{1- x^2}} =cosy1=1−sin2y1=1−x21
如果在求解过程中遇到不好直接求出的三角函数，可以使用画三角形法求解
今天的文章 反函数的求导法则分享到此就结束了，感谢您的阅读。
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