多项式
多项式（Polynomial）是数学中一种表达式，由变量和系数组成，通过加、减和乘运算结合而成。多项式的一般形式如下：
P ( x ) = a n x n + a n − 1 x n − 1 + ⋯ + a 1 x + a 0 P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0 P(x)=anxn+an−1xn−1+⋯+a1x+a0
其中：
- x x x 是变量；
- a n , a n − 1 , … , a 1 , a 0 a_n, a_{n-1}, \ldots, a_1, a_0 an,an−1,…,a1,a0 是系数，可以是任意数（实数、复数、甚至是其他多项式）；
- n n n 是非负整数，表示多项式的最高次幂。
多项式的基本概念
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次数（Degree）：多项式中最高次幂的指数。例如， P ( x ) = 4 x 3 + 3 x 2 + 2 x + 1 P(x) = 4x^3 + 3x^2 + 2x + 1 P(x)=4x3+3x2+2x+1 的次数为 3。
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系数（Coefficient）：多项式中各项的常数因子。例如，在 4 x 3 + 3 x 2 + 2 x + 1 4x^3 + 3x^2 + 2x + 1 4x3+3x2+2x+1 中，4 是 x 3 x^3 x3 项的系数，3 是 x 2 x^2 x2 项的系数，2 是 x x x 项的系数，1 是常数项的系数。
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常数项（Constant Term）：不含变量的项。例如，在 P ( x ) = 4 x 3 + 3 x 2 + 2 x + 1 P(x) = 4x^3 + 3x^2 + 2x + 1 P(x)=4x3+3x2+2x+1 中，常数项是 1。
多项式的运算
- 加法和减法：将两个多项式相加或相减时，只需将相同次幂的项系数相加或相减。例如：
( 3 x 2 + 2 x + 1 ) + ( 2 x 2 + x + 4 ) = 5 x 2 + 3 x + 5 (3x^2 + 2x + 1) + (2x^2 + x + 4) = 5x^2 + 3x + 5 (3x2+2x+1)+(2x2+x+4)=5x2+3x+5
- 乘法：多项式乘法遵循分配律，每一项都要与另一多项式的每一项相乘，并将结果合并。例如：
( 2 x + 1 ) ( x − 3 ) = 2 x ( x − 3 ) + 1 ( x − 3 ) = 2 x 2 − 6 x + x − 3 = 2 x 2 − 5 x − 3 (2x + 1)(x - 3) = 2x(x - 3) + 1(x - 3) = 2x^2 - 6x + x - 3 = 2x^2 - 5x - 3 (2x+1)(x−3)=2x(x−3)+1(x−3)=2x2−6x+x−3=2x2−5x−3
- 除法：多项式的除法类似于整数的长除法。将被除多项式逐步减去除多项式的倍数，直到剩余部分的次数小于除多项式的次数。例如，将 4 x 3 + 2 x 2 − x − 1 4x^3 + 2x^2 - x - 1 4x3+2x2−x−1 除以 2 x + 1 2x + 1 2x+1。
多项式的应用
多项式在数学、工程、物理等领域中有广泛的应用。例如：
- 插值法：通过已知数据点构造一个多项式来估计中间值。
- 信号处理：在数字信号处理中，多项式用于表示信号的滤波器。
- 控制理论：在控制系统中，多项式用于描述系统的动态特性。
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