[数学学习笔记]极限的概念.

百科上的定义：

极限是微积分中的基础概念，它指的是变量在一定的变化过程中，从总的来说逐渐稳定的这样一种变化趋势以及所趋向的值（极限值）。极限的概念最终由柯西和魏尔斯特拉斯等人严格阐述。在现代的数学分析教科书中，几乎所有基本概念（连续、微分、积分）都是建立在极限概念的基础之上。

取极限： $\lim_{n \to \infty } \frac{1}{n} = 0$ 表示当n无限趋近于正无穷时。 $\frac{1}{n}$ 趋近于0.

数列极限：

$y_{1},y_{2} ,y_{3} ,...,y_{n},...$

简记为 $\{y_{n}\}$ ,其中数列第n项， $y_{n}$ 为该数列的通项。

而我们要研究的是，当 $\{y_{n}\}$ 的项数n无限增大时， $\{y_{n}\}$ 的变化趋势？

给定一个数列 $\{y_{n}\}$ ，如果当n无限增大时，其通项 $y_{n}$ 无限的趋近于某个常数A，则称数列 $\{y_{n}\}$ 以A为极限，记作: $\lim_{n \to \infty } y_{n} = A$ 或 $y_{n} \to A(n \to \infty )$ .

当数列 $\{y_{n}\}$ 以A为极限时，称数列 $\{y_{n}\}$ 收敛于A，此时也称数列 $\{y_{n}\}$ 收敛于A，如果 $\{y_{n}\}$ 不收敛于任何常数，则称数列 $\{y_{n}\}$ 是发散数列。

例子： $\{y_{n}\} = \frac{1}{n}$ 收敛于0， $\{y_{n}\} = \frac{n}{n+1}$ 收敛于1.

$\{y_{n}\} = (-1)^{n+1}$ 没有极限，数列 $\{y_{n}\}$ 是发散的。

对于函数的极限，根据自变量的变化过程可以分为两种情形：

（一）自变量趋于无穷大的极限：

设函数在区间 $[a,+\infty)$ 上有定义，A为常数，如果当 $x \to +\infty$ 时，函数值无限趋近于常数A，则称当 $x \to +\infty$ 时，以A为极限。记作 $\lim_{x \to +\infty } f(x) = A$ 或 $f(x) \to A(x \to +\infty )$ ;
设函数在区间 $(-\infty,a]$ 上有定义，A为常数，如果当 $x \to -\infty$ 时，函数值无限趋近于常数A，则称当 $x \to -\infty$ 时，以A为极限。记作 $\lim_{x \to -\infty } f(x) = A$ 或 $f(x) \to A(x \to -\infty )$ ;
设函数在区间上有定义，A为常数，如果当 $x \to \infty$ 时，函数值无限趋近于常数A，则称当 $x \to \infty$ 时，以A为极限。记作 $\lim_{x \to \infty } f(x) = A$ 或 $f(x) \to A(x \to \infty )$ ;（应当注意， $\infty$ 包含+ $\infty$ 和- $\infty$ 两种情况讨论.如 $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^3} = 0$ ）

由如上定义可知： $\lim_{x \to \infty } f(x) = A$ 存在的条件为： $\lim_{x \to \infty } f(x) = \lim_{x \to +\infty } f(x) = \lim_{x \to -\infty } f(x) = A$

（二）自变量趋于定点的极限：

注意：

例题：

1.讨论当 $x \to 1$ 时，y = 3x-1的变化趋势:

解法很简单，由于是一个一次函数，可以直接得出， $(3x-1)\to 2,x \to 1$

2.讨论当 $x \to 1$ 时， $y = \frac{x^2-1}{x-1}$ 的变化趋势：

解法：由于 $x \to 1$ 可以得到 $x-1 \to 0$ ,但 $x-1 \neq 0$ ,所以 $\because x+1 \neq 0 \therefore y =\frac{x^2-1}{x-1} = \frac{(x+1)(x-1)}{x-1} = x+1$ .

故 $\lim_{x \to 1} (\frac{x^2-1}{x-1}) = 2$ .

设函数在x的邻域有定义(无所谓x是否有 $x = x_{0}$ 的定义)，A为常数，如果当 $x \to x_{0},x \neq x_{0}$ 时，函数值无限趋近于常数A，则称当 $x \to x_{0}$ 时，以A为极限。记作 $\lim_{x \to x_{0} } f(x) = A$ 或 $f(x) \to A(x \to x_{0} )$ ;

左、右极限：

A为常数，如果当 $x \to x^{-}_{0},x \neq x_{0}$ 时，函数值无限趋近于常数A，则称当 $x \to x_{0}$ 时，以A为左极限。记作 $\lim_{x \to x^{-}_{0} } f(x) = A$ 或 $f(x) \to A(x \to x^-_{0} )$ ;
A为常数，如果当 $x \to x^{+}_{0},x \neq x_{0}$ 时，函数值无限趋近于常数A，则称当 $x \to x_{0}$ 时，以A为右极限。记作 $\lim_{x \to x^{+}_{0} } f(x) = A$ 或 $f(x) \to A(x \to x^+_{0} )$ ;