阿基米德螺旋线lisp_阿基米德螺旋线原理及代码

一个点在射线上匀速向外运动，同时射线以w的速度转动，点的轨迹就被称为阿基米德螺旋线或等速螺线。

1.公式

阿基米德螺旋线的极坐标公式可以表示为：

r=a+b∗θr = a+b*\thetar=a+b∗θ

其中a为起始点与极坐标中心的距离，主要负责旋转整个螺线(增加a顺时针旋转)；

b为控制螺线间的螺距，b=rθb = \dfrac{r}{\theta}b=θr,b越大变化越快螺线越密；

θ\thetaθ的范围控制了螺线的大小，θ\thetaθ越大螺线的范围越大。

在直角坐标系下，利用极坐标系到直角坐标的公式，其公式可以被改写为：

x=r∗cosθy=r∗sinθx = r*cos\theta\\

y = r*sin\thetax=r∗cosθy=r∗sinθ

x=(a+b∗θ)∗cosθy=(a+b∗θ)∗sinθx = (a+b*\theta)*cos\theta\\

y = (a+b*\theta)*sin\thetax=(a+b∗θ)∗cosθy=(a+b∗θ)∗sinθ

此外还可以利用角速度和线速度的概念来控制螺线的形状，生成其他螺旋线：

x=vt∗cos(wt)y=vt∗cos(wt)x = vt*cos(wt)\\

y = vt*cos(wt)x=vt∗cos(wt)y=vt∗cos(wt)

上式为关于t的参数方程，其中v为线速度、w为角速度，t为点运动的时间。可以通过上式子得到等角速度、等线速度等各类螺旋

2.程序

首先我们来画出极坐标系下的阿基米德螺线。

%matlab 程序

%不同a和b造成螺线的变化

theta = 0:0.01*pi:20*pi;

r1 = 0 + 0.1*theta;

r2 = 10 + 0.1*theta;

r3 = 20 + 0.1*theta;

polar(r1,theta,'b');hold on;

polar(r2,theta,'g')

polar(r3,theta,'r')

legend('a=0,b=0.1','a=10,b=0.1','a=20,b=0.r')

随后变化b来观察螺距的变化：

theta = 0:0.01*pi:20*pi;

r4 = 10 + 0.03*theta;

r5 = 10 + 0.1*theta;

r6 = 10 + 0.5*theta;

polar(r4,theta,'b');hold on;

polar(r5,theta,'g')

polar(r6,theta,'r')

legend('a=10,b=0.03','a=10,b=0.1','a=10,b=0.5')

随后在直角坐标系中画出螺线：

theta = 0:0.01*pi:20*pi;

r7 = 0 + 0.01*theta;

x = r7.*cos(theta);

y = r7.*sin(theta);

%初始点是0，螺距为0.01

%在直角坐标系下b控制着螺线间距，b越大螺线间距越大

plot(x,y,'r')

hold on;

r8 = 0 + 0.03*theta;

x = r8.*cos(theta);

y = r8.*sin(theta);

plot(x,y,'g')

r9 = 0 + 0.09*theta;

x = r9.*cos(theta);

y = r9.*sin(theta);

plot(x,y,'b')

legend('b=0.01','b=0.03','b=0.05')

另外可以通过引入速度的概念控制螺线的形状：

t = 0:0.01:100;

v = 10; %线速度控制了大小，越大走得越快螺线形状越大

w = 3 ; %角速度控制了疏密，越小越稀疏，单位时间内旋转少。

x = v*t.*cos(w*t);

y = v*t.*sin(w*t);

subplot(2,2,1);

plot(x,y)

title('v=10,w=3')

axis([-1000 1000 -1000 1000])

v = 1; %线速度变小，图形变小

w = 3 ;

x = v*t.*cos(w*t);

y = v*t.*sin(w*t);

subplot(2,2,2)

plot(x,y)

title('v=1,w=3')

axis([-1000 1000 -1000 1000])

v = 10;

w = 0.3 ; %角速度变小，图形变疏

x = v*t.*cos(w*t);

y = v*t.*sin(w*t);

subplot(2,2,3)

plot(x,y)

title('v=10,w=0.3')

axis([-1000 1000 -1000 1000])

v = 10; %变大

w = 10 ; %变密

x = v*t.*cos(w*t);

y = v*t.*sin(w*t);

subplot(2,2,4)

plot(x,y)

title('v=10,w=10')

axis([-1000 1000 -1000 1000])

或者将w变化或者v变化：

%向外渐开线

t = 0:0.01:100;

v = 0:0.001:10; %线速度逐渐加快

w = 1 ; %

x = v.*t.*cos(w*t);

y = v.*t.*sin(w*t);

plot(x,y)

%渐密线

t = 0:0.01:100;

v = 0.1;

w = 0:0.0001:1; ; %角速度逐渐加大变密. tips：一定要注意区分坐标系，以及角速度与b的关系

x = v.*t.*cos(w.*t);

y = v.*t.*sin(w.*t);

plot(x,y)

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阿基米德螺旋线lisp_阿基米德螺旋线原理及代码

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