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物理法求阿基米德螺旋线曲率半径

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物理法求阿基米德螺旋线曲率半径一种求解阿基米德螺线曲率半径的物理方法 主要运用了运动学定理和小量分析 阿基米德螺线的曲率

一、问题描述

已知阿基米德螺旋线在极坐标平面可以表示为r = \alpha \theta，其中\alpha为常实数。求任意角度\theta处的曲率半径。

阿基米德螺旋线

二、曲率半径的求解思路

当一质点沿着任意曲线运动并运动到曲线上A点时，其在A点的加速度可分解为切向和方向。法向加速度满足

a=v^{2} / \rho

其中v为质点沿着曲线运动的速率，\rho即为曲率半径。

构造一个运动，使质点以恒定且已知的速率v沿着阿基米德螺旋线运动，设法求出其在任意角度\theta的加速度，便能导出在任意任意角度的曲率半径。

这个运动是具有现实意义的，是符合事实的。试想，若存在一个阿基米德形的管道，从管道的一端以某一速率射入一个小球。那么，小球将以恒定的速率在管道中运动。

三、加速度的求解思路

思路和圆周运动一样。由于速度为矢量，将t时刻和t+dt时刻的速度矢量的起点平移到一起，并作差，将得到了速度的改变量dv。dv与dt的商（矢量）即为加速度矢量。

在我们预设的阿基米德螺旋线运动中，由于速率不变，也即速度矢量的模长不变，考察速度矢量方向改变的快慢即可。

四、绘制出小量三角形进行分析

某时刻，小球（质点）运动到A点，角位置为\theta 。经过dt的时间，小球运动的B点，角位置改变量为d\theta ，如下图所示。

 由此，我们能推出一下结论：

  1. r=\alpha \theta=OA=OC
  2. AC=d \theta OA=\theta d\theta r
  3. OB=\alpha (\theta+d \theta)
  4. BC=\alpha d \theta

注意到\angle CBA ，将其设为\angle a 。那么有：

\tan a = \frac{AC}{BC} =\theta 

由于A和B非常接近，可以认为AB的方向即为A点速度的方向（参考速度的定义）。那么，速度的角度\beta可以表示为

\beta = \theta + arctan(\theta)

同样，速度的模可以表示为AB的长度和时间微分dt的商，也即

v=\frac{AB}{dt}=\frac{BC}{dt \cos a } = \frac{\alpha d \theta}{dt \cos a }

其中，\cos a可以表示为

\cos a = \frac{1 } {​{({\theta}^{2}+1)}^{\frac{1}{2}}}

这样可以得出

\frac{d\theta}{dt}=\frac{v}{\alpha {({\theta}^{2}+1)}^{\frac{1}{2}}}

如果小球速率不变，那么其加速度的模等于其速度的模和角度变化率的乘积，如下图所示。

注意，小球速度矢量和极轴的夹角为\beta，对其关于时间求导

\frac{d\beta}{dt}=(1+\frac{1}{1+\theta ^2})\frac{d\theta}{dt}

于是，加速度可以求

a=v\cdot \frac{d\beta}{dt}=v^{2}\frac{\theta^2+2}{\alpha (\theta^2+1)^{\frac{3}{2}}}

所以，曲率半径可以表示为

\rho =\frac{v^2}{a}=\frac{\alpha(\theta ^2 +1)^{\frac{3}{2}}}{\theta ^2+2}

今天的文章 物理法求阿基米德螺旋线曲率半径分享到此就结束了，感谢您的阅读。
编程小号
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