1、聚点定理证明确界原理
证
设 S S S是一个有上界数集，则 ∃ b ∈ R \exists b\in R ∃b∈R使得 ∀ x ∈ S \forall x\in S ∀x∈S有 x < b x< b x<b,取 a ∈ S a\in S a∈S构造区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]。
定义性质 P P P:区间中至少有一个数属于 S S S且区间的右端点为 S S S的一个上界。
利用二等分法容易构造出满足性质 P P P的区间套 { [ a n , b n ] } \left\{\left[a_{n},b_{n}\right]\right\} {
[an,bn]}
定义性质 P P P:不能用 H H H中有限个开区间覆盖。
( 1 ) (1) (1)将 [ a , b ] [a,b] [a,b]等分为两个子区间，则至少有一个具有性质 P P P，不妨记该区间为 [ a 1 , b 1 ] \left[a_{1},b_{1}\right] [a1,b1],则 [ a 1 , b 1 ] ⊂ [ a , b ] \left[a_{1},b_{1}\right]\subset[a,b] [a1,b1]⊂[a,b]
( 2 ) (2) (2)将 [ a 1 , b 1 ] \left[a_{1},b_{1}\right] [a1,b1]等分为两个子区间，则至少有一个具有性质 P P P，不妨记该区间为 [ a 2 , b 2 ] \left[a_{2},b_{2}\right] [a2,b2],则 [ a 2 , b 2 ] ⊂ [ a 1 , b 1 ] \left[a_{2},b_{2}\right]\subset\left[a_{1},b_{1}\right] [a2,b2]⊂[a1,b1]
⋯ \cdots ⋯
( n ) (n) (n)将 [ a n − 1 , b n − 1 ] \left[a_{n-1},b_{n-1}\right] [an−1,bn−1]等分为两个子区间，则至少有一个具有性质 P P P,不妨记该区间为 [ a n , b n ] \left[a_{n},b_{n}\right] [an,bn],则 [ a n , b n ] ⊂ [ a n − 1 , b n − 1 ] \left[a_{n},b_{n}\right]\subset\left[a_{n-1},b_{n-1}\right] [an,bn]⊂[an−1,bn−1]
由此可得一个区间套 { [ a n , b n ] } \left\{\left[a_{n},b_{n}\right]\right\} {
[an,bn]}且满足
b n − a n = b − a 2 n → 0 → ( 1 ) b_{n}-a_{n}=\frac{b-a}{2^{n}}\rightarrow 0\rightarrow (1) bn−an=2nb−a→0→(1)
显然 { b n } ⊂ [ a , b ] \left\{b_{n}\right\}\subset[a,b] {
bn}⊂[a,b]且单调递减有下界。我们证明 ∃ ξ ∈ R \exists\xi\in R ∃ξ∈R， b n → ξ b_{n}\rightarrow\xi bn→ξ， ( n → ∞ ) (n\rightarrow\infty) (n→∞)。事实上,不妨设 { b n } \left\{b_{n}\right\} {
bn}有无穷个数，由聚点原理知 { b n } \left\{b_{n}\right\} {
bn}有聚点 ξ \xi ξ。
因此 ∀ ε > 0 \forall\varepsilon> 0 ∀ε>0, ∃ N > 0 \exists N> 0 ∃N>0,使得 b N ∈ U ( ξ , ε ) b_{N}\in U(\xi,\varepsilon) bN∈U(ξ,ε)且 b N > ξ b_{N}> \xi bN>ξ。由于 { b n } \left\{b_{n}\right\} {
bn}单调递减，则易证 ∀ n > N \forall n> N ∀n>N有 b n ∈ U ( ξ , ε ) b_{n}\in U(\xi,\varepsilon) bn∈U(ξ,ε)
由于 b n b_{n} bn都为 S S S的上界， ( ξ ∈ U ( ξ , ε ) ) (\xi\in U(\xi,\varepsilon)) (ξ∈U(ξ,ε))所以 ξ \xi ξ也为 S S S的上界。
由 ( 1 ) (1) (1)易证 a n → ξ a_{n}\rightarrow\xi an→ξ， ( n → ∞ ) (n\rightarrow\infty) (n→∞)。故 ∀ ε > 0 \forall\varepsilon> 0 ∀ε>0， ∃ N 1 > 0 \exists N_{1}> 0 ∃N1>0, ∀ n > N 1 \forall n> N_{1} ∀n>N1有 a n ∈ U ( ξ , ε ) a_{n}\in U(\xi,\varepsilon) an∈U(ξ,ε)。
从而可知 ∀ n > N + N 1 \forall n> N+N_{1} ∀n>N+N1, ∃ x ∈ S \exists x\in S ∃x∈S, x ∈ [ a n , b n ] ⊂ U ( ξ , ε ) x\in\left[a_{n},b_{n}\right]\subset U(\xi,\varepsilon) x∈[an,bn]⊂U(ξ,ε)即
ξ − ε < x ≤ ξ \xi-\varepsilon< x\leq\xi ξ−ε<x≤ξ
故多为 S S S的上确界。
2、聚点定理证明单调有界定理→设单调有界无穷数列
证
不妨设 { x n } \left\{x_{n}\right\} {
xn}是单调有上界无穷数列，即 ∃ a , b ∈ R \exists a,b\in R ∃a,b∈R,使得 { x n } ⊂ [ a , b ] \left\{x_{n}\right\}\subset[a,b] {
xn}⊂[a,b]。
故由聚点原理可知 ∃ ξ ∈ R \exists\xi\in R ∃ξ∈R， ξ \xi ξ为 { x n } \left\{x_{n}\right\} {
xn}的聚点，即 ∀ ε > 0 \forall\varepsilon> 0 ∀ε>0， U ( ξ , ε ) U(\xi,\varepsilon) U(ξ,ε)含有 { x n } \left\{x_{n}\right\} {
xn}中的无限多项。
由单调性易得知 U ( ξ , ε ) U(\xi,\varepsilon) U(ξ,ε)外最多有 { x n } \left\{x_{n}\right\} {
xn}中的有限项，因此又极限的一种等价定义得:
lim n → ∞ x n = ξ \lim_{
{n}\rightarrow\infty}x_{n}=\xi n→∞limxn=ξ
3、聚点定理证明区间套定理
即若 { [ a n , b n ] } \{[a_n,b_n]\} {
[an,bn]}是一闭区间套，则存在唯一 ξ \xi ξ属于所有的闭区间 [ a n , b n ] [a_n,b_n] [an,bn], n = 1 , 2 , ⋯ n=1,2,\cdots n=1,2,⋯
证:
存在性
设 S = { a n } ∪ { b n } S=\{
{a_n}\}\cup\{
{b_n}\} S={
an}∪{
bn}则 S S S是有界无限点集,由聚点定理得数集 S S S聚点 ζ \zeta ζ，若存在一个 a n a_n an,使 b n > a n > ζ ( n = 1 , 2 , … ) b_n> {a}_{n}> \zeta({n}=1,2,\ldots) bn>an>ζ(n=1,2,…)
再取 ε = 1 2 ( a n − ζ ) \varepsilon=\frac{1}{2}({a}_{n}-\zeta) ε=21(an−ζ),由 { a n } \left\{
{a}_{
{n}}\right\} {
an}的单调性，当 n > N {n}>{N} n>N时, a n > a N > ζ + ε {a}_{n}> {a}_{N}> \zeta+\varepsilon an>aN>ζ+ε这样, ( ζ − ε ， ξ + ε ) (\mathcal{\zeta}-\varepsilon，\xi+\varepsilon) (ζ−ε，ξ+ε)内至多有 S S S中的有限多个点这与 ξ \xi ξ是聚点矛盾,于是得到 ζ ⩾ a n （ n = 1 , 2 , ⋯ ) \zeta\geqslant{a}n（n=1,2,\cdots) ζ⩾an（n=1,2,⋯)
同理可证， ζ ⩽ b n ( n = 1 , 2 , ⋯ ) \zeta\leqslant{b}_{
{n}}({n}=1,2,\cdots) ζ⩽bn(n=1,2,⋯)因此，有 ζ ∈ ∩ n = 1 ∞ [ a n , b n ] \zeta\in\cap_{
{n}=1}^{\infty}\left[a_n,b _n\right] ζ∈∩n=1∞[an,bn]
唯一性
最后证明满足 ξ \xi ξ是唯一的.设数 ξ ′ \xi’ ξ′也满足
a n ⩽ ξ ′ ⩽ b n , n = 1 , 2 , ⋯ → ( 1 ) {a}_{
{n}}\leqslant\xi^{\prime}\leqslant{b}_{
{n}},{n}=1,2,\cdots\rightarrow(1) an⩽ξ′⩽bn,n=1,2,⋯→(1)
因为 a n ⩽ ξ ⩽ b n , n = 1 , 2 , ⋯ , → ( 2 ) {a}_{
{n}}\leqslant\xi\leqslant{b}_{
{n}},{n}=1,2,\cdots, \rightarrow(2) an⩽ξ⩽bn,n=1,2,⋯,→(2)
则由 ( 1 ) ( 2 ) (1)(2) (1)(2)式有
∣ ξ − ξ ′ ∣ ⩽ b n − a n , n = 1 , 2 , ⋯ \left|\xi-\xi^{\prime}\right|\leqslant b_{n}-a_{n},n=1,2,\cdots ∣ξ−ξ′∣⩽bn−an,n=1,2,⋯
由区间套的条件得
∣ ξ − ξ ′ ∣ ≤ lim n → ∞ ( b n − a n ) = 0 \left|\xi-\xi^{\prime}\right|\leq\lim_{n\rightarrow\infty}\left(b_{n}-a_{n}\right)=0 ∣ξ−ξ′∣≤n→∞lim(bn−an)=0
故有 ξ ‘ = ξ \xi‘=\xi ξ‘=ξ.唯一性即证。
4、聚点定理证明有限覆盖定理
即闭区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]的任一开覆盖 H H H都有有限的子覆盖.
证
( 1 ) (1) (1)找一个使它具有与性质 p p p相反的性质 p − 1 p^{-1} p−1的数集 S S S;
为此我们先证明 δ > 0 \delta> 0 δ>0, x ∈ [ a , b ] x\in[{a},b] x∈[a,b],有开区间 ( α 0 , β 0 ) ∈ H (\alpha_{0},\beta_{0})\in{H} (α0,β0)∈H,使 ( x − δ , x + δ ) ⊂ ( a 0 , β 0 ) (x-\delta,x+\delta)\subset\left(a_{0},\beta_{0}\right) (x−δ,x+δ)⊂(a0,β0).
否则,
∃ x 1 ∈ [ a , b ] \exists x_{1}\in[{a},b] ∃x1∈[a,b]对任意的 ( α , β ) ∈ H (\alpha,\beta)\in{H} (α,β)∈H,都有
( x 1 − 1 , x 1 + 1 ) ⊄ ( α , β ) \left({x}_{1}-1,{x}_{1}+1\right)\not\subset(\alpha,\beta) (x1−1,x1+1)⊂(α,β)
∃ x 2 ∈ [ a , b ] − { x 1 } \exists{x}_{2}\in[{a},{b}]-\left\{
{x}_{1}\right\} ∃x2∈[a,b]−{
x1},对任意的 ( α , β ) ∈ H (\alpha,\beta)\in{H} (α,β)∈H,都有
( x 2 − 1 2 , x 2 + 1 2 ) ⊄ ( α , β ) ({x}_{2}-\frac{1}{2},{x}_{2}+\frac{1}{2})\not\subset(\alpha,\beta) (x2−21,x2+21)⊂(α,β)
如此继续得一数列 { x n } \{
{x}_{n}\} {
xn}, x n ∈ [ a , b ] − { x 1 , x 2 , ⋯ , x n − 1 } x_{n}\in[a,b]-\left\{x_{1},x_{2},\cdots,x_{n-1}\right\} xn∈[a,b]−{
x1,x2,⋯,xn−1},对任意的 ( α , β ) ∈ H (\alpha,\beta)\in{H} (α,β)∈H,都有
( x n − 1 n , x n + 1 n ) ⊄ ( a , β ) \left(x_{n}-\frac{1}{n},x_{n}+\frac{1}{n}\right)\not\subset(a,\beta) (xn−n1,xn+n1)⊂(a,β)
( 2 ) (2) (2)显然数集 { x n } \{x_n\} {
xn}是有界无限点集;
( 3 ) (3) (3)由聚点定理，数列 { x n } \{x_n\} {
xn}有聚点 ζ \zeta ζ;
( 4 ) (4) (4)由 { x n } ⊂ [ a , b ] \left\{x_{n}\right\}\subset[{a},b] {
xn}⊂[a,b],得 ζ ∈ [ a , b ] \zeta\in[{a},{b}] ζ∈[a,b],故存在一个开区间 ( α 1 , β 1 ) ∈ H (\alpha_{1},\beta_{1})\in{H} (α1,β1)∈H,使 ζ ∈ ( α 1 , β 1 ) \zeta\in\left(\alpha_{1},\beta_{1}\right) ζ∈(α1,β1)
令 δ 1 = m i n { ζ − a 1 , β 1 − ζ } \delta_{1}={m}{i}{n}\left\{\zeta-{a}_{1},\beta_{1}-\zeta\right\} δ1=min{
ζ−a1,β1−ζ},则存在自然数 N {N} N,使
N > 2 δ 1 ， x N ∈ ( ξ − δ 1 2 , ζ + δ 1 2 ) {N}> \frac{2}{\delta_{1}}，{x}_{N}\in\left(\xi-\frac{\delta_{1}}{2},\zeta+\frac{\delta_{1}}{2}\right) N>δ12，xN∈(ξ−2δ1,ζ+2δ1)
从而， ( ζ − 1 N , ζ + 1 N ) ⊂ ( a 1 , β 1 ) \left(\zeta-\frac{1}{
{N}},\zeta+\frac{1}{
{N}}\right)\subset\left({a}_{1},\beta_{1}\right) (ζ−N1,ζ+N1)⊂(a1,β1)矛盾
现在，我们取
n = [ b − a δ 1 ] + 1 ， x i = a + 2 i + 1 2 n ( b − a ) , i = 0 , 1 , 2 , ⋯ {n}=\left[\frac{
{b}-{a}}{\delta_{1}}\right]+1，{x}_{
{i}}={a}+\frac{2{i}+1}{2{n}}({b}-{a}),{i}=0,1,2,\cdots n=[δ1b−a]+1，xi=a+2n2i+1(b−a),i=0,1,2,⋯
设 ( x i − δ , x i + δ ) ⊂ ( a i , b i ) ∈ H , i = 0 , 1 , 2 , ⋯ \left(x_{i}-\delta,x_{i}+\delta\right)\subset\left(a_{i},b_{i}\right)\in H,i=0,1,2,\cdots (xi−δ,xi+δ)⊂(ai,bi)∈H,i=0,1,2,⋯则
U i = 0 n − 1 ( a i , b i ) ⊃ U i = 0 n − 1 ( x i − δ , x i + δ ) ⊃ [ a , b ] U_{i=0}^{n-1}\left(a_{i},b_{i}\right)\supset U_{i=0}^{n-1}\left(x_{i}-\delta,x_{i}+\delta\right)\supset[a,b] Ui=0n−1(ai,bi)⊃Ui=0n−1(xi−δ,xi+δ)⊃[a,b]
因此所需结论成立。
5、聚点定理证明Cauchy收敛准则→柯西列
证明:
设 { x n } \{x_n\} {
xn}是一 C a u c h y Cauchy Cauchy列，则知 { x n } \{x_n\} {
xn}是有界的。若 { x n } \{x_n\} {
xn}中只有有限多个项不相同，那么必有一项譬如 x n o x_{no} xno出现无限多次，这时就得到 { x n } \{x_{n}\} {
xn}的一个收敛子列 { x n k } \{x_{nk}\} {
xnk}
又因为 { x n } \{x_{n}\} {
xn}是 C a u c h y Cauchy Cauchy列，故对 ε > 0 \varepsilon> 0 ε>0,存在自然数 N N N,当 n > m > N {n}> {m}> {N} n>m>N时
∣ x n − x m ∣ < ε \left|x_{n}-x_{m}\right|< \varepsilon ∣xn−xm∣<ε
特别地，当 n > N n> {N} n>N, k > N {k}> {N} k>N时由于 n k > k > N {n}_{k}> {k}> {N} nk>k>N,从而
∣ x n − x n k ∣ < ε \left|x_{n}-x_{nk}\right|< \varepsilon ∣xn−xnk∣<ε
令 k → ∞ {k}\rightarrow\infty k→∞,得 ∣ x n − x n 0 ∣ ⩽ ε \left|{x}_{n}-{x}_{n0}\right|\leqslant\varepsilon ∣xn−xn0∣⩽ε即
lim n → ∞ x n = x n 0 \lim_{
{n}\rightarrow\infty}{x}_{n}={x}_{
{n}_{0}} n→∞limxn=xn0
若 { x n } \{x_{n}\} {
xn}中有无限多项互不相同，则数集 S = { x n } S=\{
{x}_{n}\} S={
xn}是一有界无限点集,
根据聚点定理， S S S至少有一聚点 ξ \xi ξ，
由聚点的定义，对任意的自然数 k k k，在 U ( ζ ， 1 k ) U(\zeta，\frac{1}{k}) U(ζ，k1)中，必含有 { x n } \{x_{n}\} {
xn}的无限多项，
从而在 U ( ζ ， 1 k ) U(\zeta，\frac{1}{k}) U(ζ，k1)中可选出一项 x n k x_{nk} xnk且 x n k ≠ ξ x_{nk}\ne \xi xnk=ξ，由于 k k k的任意性，所以
lim n → ∞ x n k = ζ \lim_{
{n}\rightarrow\infty}{x}_{nk}=\zeta n→∞limxnk=ζ
同上可知, lim n → ∞ x n = ζ \lim_{
{n}\rightarrow\infty}{x}_{
{n}}=\zeta limn→∞xn=ζ
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