聚点定理证明其他实数完备性定理

聚点定理证明其他实数完备性定理1、聚点定理证明确界原理证设SSS是一个有上界数集,则∃b∈R\existsb\inR∃b∈R使得∀x∈S\forallx\inS∀x∈S有x<bx<bx<b,取a∈Sa\inSa∈S构造区间[a,b][a,b][a,b]。定义性质PPP:区间中至少有一个数属于SSS且区间的右端点为SSS的一个上界。利用二等分法容易构造出满足性质PPP的区间套{[an,bn]}\left\{\left[a_{n},b_{n}\right]\right\}{[an​,bn​]}定义性质

1、聚点定理证明确界原理

S S S是一个有上界数集,则 ∃ b ∈ R \exists b\in R bR使得 ∀ x ∈ S \forall x\in S xS x < b x< b x<b,取 a ∈ S a\in S aS构造区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]

定义性质 P P P:区间中至少有一个数属于 S S S且区间的右端点为 S S S的一个上界。

利用二等分法容易构造出满足性质 P P P区间套 { [ a n , b n ] } \left\{\left[a_{n},b_{n}\right]\right\} {
[an,bn]}

定义性质 P P P:不能用 H H H中有限个开区间覆盖。

( 1 ) (1) (1) [ a , b ] [a,b] [a,b]等分为两个子区间,则至少有一个具有性质 P P P,不妨记该区间为 [ a 1 , b 1 ] \left[a_{1},b_{1}\right] [a1,b1],则 [ a 1 , b 1 ] ⊂ [ a , b ] \left[a_{1},b_{1}\right]\subset[a,b] [a1,b1][a,b]

( 2 ) (2) (2) [ a 1 , b 1 ] \left[a_{1},b_{1}\right] [a1,b1]等分为两个子区间,则至少有一个具有性质 P P P,不妨记该区间为 [ a 2 , b 2 ] \left[a_{2},b_{2}\right] [a2,b2],则 [ a 2 , b 2 ] ⊂ [ a 1 , b 1 ] \left[a_{2},b_{2}\right]\subset\left[a_{1},b_{1}\right] [a2,b2][a1,b1]

⋯ \cdots

( n ) (n) (n) [ a n − 1 , b n − 1 ] \left[a_{n-1},b_{n-1}\right] [an1,bn1]等分为两个子区间,则至少有一个具有性质 P P P,不妨记该区间为 [ a n , b n ] \left[a_{n},b_{n}\right] [an,bn],则 [ a n , b n ] ⊂ [ a n − 1 , b n − 1 ] \left[a_{n},b_{n}\right]\subset\left[a_{n-1},b_{n-1}\right] [an,bn][an1,bn1]

由此可得一个区间套 { [ a n , b n ] } \left\{\left[a_{n},b_{n}\right]\right\} {
[an,bn]}
且满足

b n − a n = b − a 2 n → 0 → ( 1 ) b_{n}-a_{n}=\frac{b-a}{2^{n}}\rightarrow 0\rightarrow (1) bnan=2nba0(1)

显然 { b n } ⊂ [ a , b ] \left\{b_{n}\right\}\subset[a,b] {
bn}
[a,b]
且单调递减有下界。我们证明 ∃ ξ ∈ R \exists\xi\in R ξR b n → ξ b_{n}\rightarrow\xi bnξ ( n → ∞ ) (n\rightarrow\infty) (n)。事实上,不妨设 { b n } \left\{b_{n}\right\} {
bn}
有无穷个数,由聚点原理 { b n } \left\{b_{n}\right\} {
bn}
有聚点 ξ \xi ξ

因此 ∀ ε > 0 \forall\varepsilon> 0 ε>0, ∃ N > 0 \exists N> 0 N>0,使得 b N ∈ U ( ξ , ε ) b_{N}\in U(\xi,\varepsilon) bNU(ξ,ε) b N > ξ b_{N}> \xi bN>ξ。由于 { b n } \left\{b_{n}\right\} {
bn}
单调递减,则易证 ∀ n > N \forall n> N n>N b n ∈ U ( ξ , ε ) b_{n}\in U(\xi,\varepsilon) bnU(ξ,ε)

由于 b n b_{n} bn都为 S S S的上界, ( ξ ∈ U ( ξ , ε ) ) (\xi\in U(\xi,\varepsilon)) (ξU(ξ,ε))所以 ξ \xi ξ也为 S S S的上界。

( 1 ) (1) (1)易证 a n → ξ a_{n}\rightarrow\xi anξ ( n → ∞ ) (n\rightarrow\infty) (n)。故 ∀ ε > 0 \forall\varepsilon> 0 ε>0 ∃ N 1 > 0 \exists N_{1}> 0 N1>0, ∀ n > N 1 \forall n> N_{1} n>N1 a n ∈ U ( ξ , ε ) a_{n}\in U(\xi,\varepsilon) anU(ξ,ε)

从而可知 ∀ n > N + N 1 \forall n> N+N_{1} n>N+N1, ∃ x ∈ S \exists x\in S xS, x ∈ [ a n , b n ] ⊂ U ( ξ , ε ) x\in\left[a_{n},b_{n}\right]\subset U(\xi,\varepsilon) x[an,bn]U(ξ,ε)

ξ − ε < x ≤ ξ \xi-\varepsilon< x\leq\xi ξε<xξ

故多为 S S S的上确界。

2、聚点定理证明单调有界定理→设单调有界无穷数列

不妨设 { x n } \left\{x_{n}\right\} {
xn}
是单调有上界无穷数列,即 ∃ a , b ∈ R \exists a,b\in R a,bR,使得 { x n } ⊂ [ a , b ] \left\{x_{n}\right\}\subset[a,b] {
xn}
[a,b]

故由聚点原理可知 ∃ ξ ∈ R \exists\xi\in R ξR ξ \xi ξ { x n } \left\{x_{n}\right\} {
xn}
的聚点,即 ∀ ε > 0 \forall\varepsilon> 0 ε>0 U ( ξ , ε ) U(\xi,\varepsilon) U(ξ,ε)含有 { x n } \left\{x_{n}\right\} {
xn}
中的无限多项。

单调性易得知 U ( ξ , ε ) U(\xi,\varepsilon) U(ξ,ε)外最多有 { x n } \left\{x_{n}\right\} {
xn}
中的有限项,因此又极限的一种等价定义得:

lim ⁡ n → ∞ x n = ξ \lim_{
{n}\rightarrow\infty}x_{n}=\xi
nlimxn=ξ

3、聚点定理证明区间套定理

即若 { [ a n , b n ] } \{[a_n,b_n]\} {
[an,bn]}
是一闭区间套,则存在唯一 ξ \xi ξ属于所有的闭区间 [ a n , b n ] [a_n,b_n] [an,bn], n = 1 , 2 , ⋯ n=1,2,\cdots n=1,2,

证:
存在性

S = { a n } ∪ { b n } S=\{
{a_n}\}\cup\{
{b_n}\}
S={
an}
{
bn}
S S S是有界无限点集,由聚点定理得数集 S S S聚点 ζ \zeta ζ,若存在一个 a n a_n an,使 b n > a n > ζ ( n = 1 , 2 , … ) b_n> {a}_{n}> \zeta({n}=1,2,\ldots) bn>an>ζ(n=1,2,)

再取 ε = 1 2 ( a n − ζ ) \varepsilon=\frac{1}{2}({a}_{n}-\zeta) ε=21(anζ),由 { a n } \left\{
{a}_{
{n}}\right\}
{
an}
的单调性,当 n > N {n}>{N} n>N时, a n > a N > ζ + ε {a}_{n}> {a}_{N}> \zeta+\varepsilon an>aN>ζ+ε这样, ( ζ − ε , ξ + ε ) (\mathcal{\zeta}-\varepsilon,\xi+\varepsilon) (ζεξ+ε)内至多有 S S S中的有限多个点这与 ξ \xi ξ是聚点矛盾,于是得到 ζ ⩾ a n ( n = 1 , 2 , ⋯   ) \zeta\geqslant{a}n(n=1,2,\cdots) ζann=1,2,)

同理可证, ζ ⩽ b n ( n = 1 , 2 , ⋯   ) \zeta\leqslant{b}_{
{n}}({n}=1,2,\cdots)
ζbn(n=1,2,)
因此,有 ζ ∈ ∩ n = 1 ∞ [ a n , b n ] \zeta\in\cap_{
{n}=1}^{\infty}\left[a_n,b _n\right]
ζn=1[an,bn]

唯一性

最后证明满足 ξ \xi ξ是唯一的.设数 ξ ′ \xi’ ξ也满足

a n ⩽ ξ ′ ⩽ b n , n = 1 , 2 , ⋯ → ( 1 ) {a}_{
{n}}\leqslant\xi^{\prime}\leqslant{b}_{
{n}},{n}=1,2,\cdots\rightarrow(1)
anξbn,n=1,2,(1)

因为 a n ⩽ ξ ⩽ b n , n = 1 , 2 , ⋯   , → ( 2 ) {a}_{
{n}}\leqslant\xi\leqslant{b}_{
{n}},{n}=1,2,\cdots, \rightarrow(2)
anξbn,n=1,2,,(2)

则由 ( 1 ) ( 2 ) (1)(2) (1)(2)式有

∣ ξ − ξ ′ ∣ ⩽ b n − a n , n = 1 , 2 , ⋯ \left|\xi-\xi^{\prime}\right|\leqslant b_{n}-a_{n},n=1,2,\cdots ξξbnan,n=1,2,

由区间套的条件得

∣ ξ − ξ ′ ∣ ≤ lim ⁡ n → ∞ ( b n − a n ) = 0 \left|\xi-\xi^{\prime}\right|\leq\lim_{n\rightarrow\infty}\left(b_{n}-a_{n}\right)=0 ξξnlim(bnan)=0

故有 ξ ‘ = ξ \xi‘=\xi ξ=ξ.唯一性即证。

4、聚点定理证明有限覆盖定理

即闭区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]的任一开覆盖 H H H都有有限的子覆盖.

( 1 ) (1) (1)找一个使它具有与性质 p p p相反的性质 p − 1 p^{-1} p1的数集 S S S;

为此我们先证明 δ > 0 \delta> 0 δ>0, x ∈ [ a , b ] x\in[{a},b] x[a,b],有开区间 ( α 0 , β 0 ) ∈ H (\alpha_{0},\beta_{0})\in{H} (α0,β0)H,使 ( x − δ , x + δ ) ⊂ ( a 0 , β 0 ) (x-\delta,x+\delta)\subset\left(a_{0},\beta_{0}\right) (xδ,x+δ)(a0,β0).

否则,

∃ x 1 ∈ [ a , b ] \exists x_{1}\in[{a},b] x1[a,b]对任意的 ( α , β ) ∈ H (\alpha,\beta)\in{H} (α,β)H,都有

( x 1 − 1 , x 1 + 1 ) ⊄ ( α , β ) \left({x}_{1}-1,{x}_{1}+1\right)\not\subset(\alpha,\beta) (x11,x1+1)(α,β)

∃ x 2 ∈ [ a , b ] − { x 1 } \exists{x}_{2}\in[{a},{b}]-\left\{
{x}_{1}\right\}
x2[a,b]{
x1}
,对任意的 ( α , β ) ∈ H (\alpha,\beta)\in{H} (α,β)H,都有

( x 2 − 1 2 , x 2 + 1 2 ) ⊄ ( α , β ) ({x}_{2}-\frac{1}{2},{x}_{2}+\frac{1}{2})\not\subset(\alpha,\beta) (x221,x2+21)(α,β)

如此继续得一数列 { x n } \{
{x}_{n}\}
{
xn}
, x n ∈ [ a , b ] − { x 1 , x 2 , ⋯   , x n − 1 } x_{n}\in[a,b]-\left\{x_{1},x_{2},\cdots,x_{n-1}\right\} xn[a,b]{
x1,x2,,xn1}
,对任意的 ( α , β ) ∈ H (\alpha,\beta)\in{H} (α,β)H,都有

( x n − 1 n , x n + 1 n ) ⊄ ( a , β ) \left(x_{n}-\frac{1}{n},x_{n}+\frac{1}{n}\right)\not\subset(a,\beta) (xnn1,xn+n1)(a,β)

( 2 ) (2) (2)显然数集 { x n } \{x_n\} {
xn}
是有界无限点集;

( 3 ) (3) (3)聚点定理,数列 { x n } \{x_n\} {
xn}
有聚点 ζ \zeta ζ;

( 4 ) (4) (4) { x n } ⊂ [ a , b ] \left\{x_{n}\right\}\subset[{a},b] {
xn}
[a,b]
,得 ζ ∈ [ a , b ] \zeta\in[{a},{b}] ζ[a,b],故存在一个开区间 ( α 1 , β 1 ) ∈ H (\alpha_{1},\beta_{1})\in{H} (α1,β1)H,使 ζ ∈ ( α 1 , β 1 ) \zeta\in\left(\alpha_{1},\beta_{1}\right) ζ(α1,β1)

δ 1 = m i n { ζ − a 1 , β 1 − ζ } \delta_{1}={m}{i}{n}\left\{\zeta-{a}_{1},\beta_{1}-\zeta\right\} δ1=min{
ζa1,β1ζ}
,则存在自然数 N {N} N,使

N > 2 δ 1 , x N ∈ ( ξ − δ 1 2 , ζ + δ 1 2 ) {N}> \frac{2}{\delta_{1}},{x}_{N}\in\left(\xi-\frac{\delta_{1}}{2},\zeta+\frac{\delta_{1}}{2}\right) N>δ12xN(ξ2δ1,ζ+2δ1)

从而, ( ζ − 1 N , ζ + 1 N ) ⊂ ( a 1 , β 1 ) \left(\zeta-\frac{1}{
{N}},\zeta+\frac{1}{
{N}}\right)\subset\left({a}_{1},\beta_{1}\right)
(ζN1,ζ+N1)(a1,β1)
矛盾

现在,我们取

n = [ b − a δ 1 ] + 1 , x i = a + 2 i + 1 2 n ( b − a ) , i = 0 , 1 , 2 , ⋯ {n}=\left[\frac{
{b}-{a}}{\delta_{1}}\right]+1,{x}_{
{i}}={a}+\frac{2{i}+1}{2{n}}({b}-{a}),{i}=0,1,2,\cdots
n=[δ1ba]+1xi=a+2n2i+1(ba),i=0,1,2,

( x i − δ , x i + δ ) ⊂ ( a i , b i ) ∈ H , i = 0 , 1 , 2 , ⋯ \left(x_{i}-\delta,x_{i}+\delta\right)\subset\left(a_{i},b_{i}\right)\in H,i=0,1,2,\cdots (xiδ,xi+δ)(ai,bi)H,i=0,1,2,

U i = 0 n − 1 ( a i , b i ) ⊃ U i = 0 n − 1 ( x i − δ , x i + δ ) ⊃ [ a , b ] U_{i=0}^{n-1}\left(a_{i},b_{i}\right)\supset U_{i=0}^{n-1}\left(x_{i}-\delta,x_{i}+\delta\right)\supset[a,b] Ui=0n1(ai,bi)Ui=0n1(xiδ,xi+δ)[a,b]

因此所需结论成立。

5、聚点定理证明Cauchy收敛准则→柯西列

证明:

{ x n } \{x_n\} {
xn}
是一 C a u c h y Cauchy Cauchy列,则知 { x n } \{x_n\} {
xn}
是有界的。若 { x n } \{x_n\} {
xn}
中只有有限多个项不相同,那么必有一项譬如 x n o x_{no} xno出现无限多次,这时就得到 { x n } \{x_{n}\} {
xn}
的一个收敛子列 { x n k } \{x_{nk}\} {
xnk}

又因为 { x n } \{x_{n}\} {
xn}
C a u c h y Cauchy Cauchy列,故对 ε > 0 \varepsilon> 0 ε>0,存在自然数 N N N,当 n > m > N {n}> {m}> {N} n>m>N

∣ x n − x m ∣ < ε \left|x_{n}-x_{m}\right|< \varepsilon xnxm<ε

特别地,当 n > N n> {N} n>N, k > N {k}> {N} k>N时由于 n k > k > N {n}_{k}> {k}> {N} nk>k>N,从而

∣ x n − x n k ∣ < ε \left|x_{n}-x_{nk}\right|< \varepsilon xnxnk<ε

k → ∞ {k}\rightarrow\infty k,得 ∣ x n − x n 0 ∣ ⩽ ε \left|{x}_{n}-{x}_{n0}\right|\leqslant\varepsilon xnxn0ε

lim ⁡ n → ∞ x n = x n 0 \lim_{
{n}\rightarrow\infty}{x}_{n}={x}_{
{n}_{0}}
nlimxn=xn0

{ x n } \{x_{n}\} {
xn}
中有无限多项互不相同,则数集 S = { x n } S=\{
{x}_{n}\}
S={
xn}
是一有界无限点集,

根据聚点定理 S S S至少有一聚点 ξ \xi ξ

聚点的定义,对任意的自然数 k k k,在 U ( ζ , 1 k ) U(\zeta,\frac{1}{k}) U(ζk1)中,必含有 { x n } \{x_{n}\} {
xn}
的无限多项,

从而在 U ( ζ , 1 k ) U(\zeta,\frac{1}{k}) U(ζk1)中可选出一项 x n k x_{nk} xnk x n k ≠ ξ x_{nk}\ne \xi xnk=ξ,由于 k k k的任意性,所以

lim ⁡ n → ∞ x n k = ζ \lim_{
{n}\rightarrow\infty}{x}_{nk}=\zeta
nlimxnk=ζ

同上可知, lim ⁡ n → ∞ x n = ζ \lim_{
{n}\rightarrow\infty}{x}_{
{n}}=\zeta
limnxn=ζ

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