计算机组成原理——-补码知多少

  在计算机系统中，有符号数是如何表示和存储的？如何进行有符号数的加减运算？下面的内容将详细介绍。

1.原码的局限性

    人们想在计算机内部表示有符号数时，最简单和最直接的想法是将数的符号用一个比特来表示，后面加上真值的绝对值。这就是原码的定义，即符号位为0表示正数，为1表示负数。例如，用8比特来表示+1和-1的原码：[+1]原=0000 0001， [-1]原=1000 0001。原码的表示虽然简单直观，但实现加减法较为复杂，符号位不能直接参与运算。例如，如果用上述原码进行+1加上-1的运算，则得到的结果为000 000 01+100 000 01 = 100 000 10，计算后结果为-2，显然是不正确的。因此，实际中没有采用原码进行有符号数的表示和运算。目前原码主要用于表示浮点数的尾码。

2．补码

    为了解决原码不能直接进行加减运算的问题，提出了补码的概念。首先通过时钟的例子来理解补码的由来：假设时钟上的时间为上午10点，为了将时间调整到8点，既可以沿逆时针方向拨2个小时，也可以沿顺时针方向拨10个小时。如果逆时针拨动表示减法，顺时针方向拨动表示加法，那么上述两种操作可以分别表示为：10-2=8，10+10=8(mod 12)，即-2和10是等价的，10就是(-2)对12的补码，用公式表示为：-2≡+10（mod 12）。这里mod 12表示“模12”，12表示模数。

    从时钟的例子可以看出，当负数用补码表示时，可以把减法转换成加法。在计算机系统中，由于机器码的位数是有限的，所以它可以表示的数的个数也是有限的，即系统是有模数的，模数可以认为是最高位进位的权值。当有n个比特时，这个模就是2^n。

·对于定点整数，设补码的形式为xnxn-1…x1x0,其中xn为符号位，则补码的定义是：

当0<=x<2^n时 [x]补 = x

当-2^n<=x<=0时 [x]补=2^(n+1)+x=2^(n+1)-|x|

    定点整数补码可表示的真值范围是[-2^n, 2^n-1],相比原码来说，补码可表示的真值在负方向上多了一个数-2^n，这是由于原码表示中+0和-0的编码不同，而在补码中0的表示唯一，因此补码中会“多出来”一个编码序列，这个序列就用来表示-2^n。

    根据补码的定义，+1和-1的补码（假设为8位）分别为：[+1]补=0000 0001，[-1]补 = 1111 1111，则[+1]补+[-1]补=0000 0000（最高位的1舍弃），即结果是0的补码。可以看出补码进行减法运算时，符号位可以直接参与运算。

·对于定点小数来说，设补码的形式为x0.x1x2…xn，其中x0为符号位，模为最高位进位的权值，故其模为2，则补码的公式为：

当0<=x<1时 [x]补 = x

当-1<=x<=0时 [x]补 = 2+x=2-|x|

    定点小数补码可表示的真值范围是[-1,1-2^(-n)]。类似的，相比原码来说，定点小数补码可表示的真值在负方向上多了一个数-1。

需要注意的是，定点整数和定点小数的补码定义中，都包含了数值-1（定点小数里应该认为是-1.0），两种情况下的补码是不同的。假设用8比特来表示，对于定点整数的-1，其补码为： [-1]补 = 1111 1111；而对于定点小数的-1.0,根据定义，其补码为：[-1.0]补=2+(-1.0)=1.0=1.000 0000。

    目前计算机中普遍采用补码表示有符号整数，如C语言中的char、short、int、long型整数都是采用补码进行表示的。

3.负数补码的求解

    对于正数来说，其补码就是其本身，求解简单。对于负数来说，除了按照上面的公式进行求解以外，还可以用以下两种方法来求解：反码法和扫描法。

    反码法：在原码的基础上，符号位保持1不变，数值位按位取反，末位加1。这种方法可以通过反码和补码的公式进行证明。该方法非常适合利用硬件求补码。

    扫描法：已知原码时，符号位保持1不变，对数值位从右到左扫描，右起第一个1及其右边的0保持不变，其余数值位按位求反。这种方法非常适合手动计算。扫描法的硬件实现（对二求补电路）如下：

对二求补电路

    其中E表示原码符号位，a3a2a1a0表示原码的数值位，带星号的四个输出表示补码的数值位（由于符号位不变，所以输出中不体现）

4.变形补码

    变形补码也称为双符号补码，采用两个二进制位来表示数据的符号，其余与补码相同。符号位为00时表示正数，为11时表示负数。对定点小数而言，采用变形补码后，其模为4。因此，变形补码也称为“模4补码”。对定点整数而言，采用变形补码后，其模为2^(n+2)(n表示数值位的位数)。

    变形补码主要用于补码加减法中的溢出检测，当得到的结果中两个符号位的结果相同时，代表没有溢出，当两个符号位不同时，表示发生了溢出。

5.C程序验证有符号整数在计算机内部的存储

    在C语言程序中，整形数据在计算机内部就是用补码形式来存储的。下面通过程序验证-3和+3在计算机内部的存储。

    根据补码求解方法，假设用32位来表示，则+3的补码为：00000000 00000000 00000000 00000011（30个0后面加上两个1），-3的补码为：11111111 11111111 11111111 11111101（30个1后面加上01）

以下通过C语言程序验证+3和-3在计算机内部的存储：

运行结果如下：

    分析：C语言的int型有32位，程序中的两个for 循环分别把+3和-3在计算机内部存储的二进制序列和1对应的二进制序列移位后的结果相与，根据结果输出1或者0，相当于把+3和-3在计算机内部存储的二进制序列的每一位取出来并输出。将程序的运行结果和前面手工计算得到的+3和-3的补码相比较，可以证明程序输出的结果就是两个数的补码，从而验证了int型数据在计算机内部是以补码的形式存储的。

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