机器学习基础：高等数学

1.导数定义：

导数和微分的概念

或者：

2.左右导数导数的几何意义和物理意义

函数
$f(x)$在
$x_0$处的左、右导数分别定义为：

左导数：

右导数：

3.函数的可导性与连续性之间的关系

Th1: 函数
$f(x)$在
$x_0$处可微
$\Leftrightarrow f(x)$在
$x_0$处可导

Th2: 若函数在点
$x_0$处可导，则
$y=f(x)$在点
$x_0$处连续，反之则不成立。即函数连续不一定可导。

Th3:
${f}'({{x}_{0}})$存在
$\Leftrightarrow {{{f}’}_{-}}({{x}_{0}})={{{f}’}_{+}}({{x}_{0}})$

4.平面曲线的切线和法线

切线方程 :
$y-{{y}_{0}}=f'({{x}_{0}})(x-{{x}_{0}})$

法线方程：
$y-{{y}_{0}}=-\frac{1}{f'({{x}_{0}})}(x-{{x}_{0}}),f'({{x}_{0}})\ne 0$

5.四则运算法则

设函数
$u=u(x)，v=v(x)$]在点
$x$可导则

(1)
$(u\pm v{)}’={u}’\pm {v}’$
$d(u\pm v)=du\pm dv$

(2)
$(uv{)}’=u{v}’+v{u}’$
$d(uv)=udv+vdu$

(3)
$(\frac{u}{v}{)}’=\frac{v{u}’-u{v}’}{{{v}^{2}}}(v\ne 0)$
$d(\frac{u}{v})=\frac{vdu-udv}{{{v}^{2}}}$

6.基本导数与微分表

(1)
$y=c$（常数）
${y}’=0$
$dy=0$

(2)
$y={{x}^{\alpha }}$(
$\alpha$为实数)
${y}’=\alpha {{x}^{\alpha -1}}$
$dy=\alpha {{x}^{\alpha -1}}dx$

(3)
$y={{a}^{x}}$
${y}’={{a}^{x}}\ln a$
$dy={{a}^{x}}\ln adx$ 特例:
$({{{e}}^{x}}{)}’={{{e}}^{x}}$
$d({{{e}}^{x}})={{{e}}^{x}}dx$

(4)
$y={{\log }_{a}}x$
${y}’=\frac{1}{x\ln a}$

$dy=\frac{1}{x\ln a}dx$ 特例:
$y=\ln x$
$(\ln x{)}’=\frac{1}{x}$
$d(\ln x)=\frac{1}{x}dx$

(5)
$y=\sin x$

${y}’=\cos x$
$d(\sin x)=\cos xdx$

(6)
$y=\cos x$

${y}’=-\sin x$
$d(\cos x)=-\sin xdx$

(7)
$y=\tan x$

${y}’=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}={{\sec }^{2}}x$
$d(\tan x)={{\sec }^{2}}xdx$

(8)
$y=\cot x$
${y}’=-\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}=-{{\csc }^{2}}x$
$d(\cot x)=-{{\csc }^{2}}xdx$

(9)
$y=\sec x$
${y}’=\sec x\tan x$

$d(\sec x)=\sec x\tan xdx$ (10)
$y=\csc x$
${y}’=-\csc x\cot x$

$d(\csc x)=-\csc x\cot xdx$ (11)
$y=\arcsin x$

${y}’=\frac{1}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}$

$d(\arcsin x)=\frac{1}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}dx$ (12)
$y=\arccos x$

${y}’=-\frac{1}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}$
$d(\arccos x)=-\frac{1}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}dx$

(13)
$y=\arctan x$

${y}’=\frac{1}{1+{{x}^{2}}}$
$d(\arctan x)=\frac{1}{1+{{x}^{2}}}dx$

(14)
$y=\operatorname{arc}\cot x$

${y}’=-\frac{1}{1+{{x}^{2}}}$

$d(\operatorname{arc}\cot x)=-\frac{1}{1+{{x}^{2}}}dx$ (15)
$y=shx$

${y}’=chx$
$d(shx)=chxdx$

(16)
$y=chx$

${y}’=shx$
$d(chx)=shxdx$

7.复合函数，反函数，隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法

(1) 反函数的运算法则: 设
$y=f(x)$在点
$x$的某邻域内单调连续，在点
$x$处可导且
${f}'(x)\ne 0$，则其反函数在点
$x$所对应的
$y$处可导，并且有
$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}$

(2) 复合函数的运算法则:若
$\mu =\varphi (x)$在点
$x$可导,而
$y=f(\mu )$在对应点
$\mu$(
$\mu =\varphi (x)$)可导,则复合函数
$y=f(\varphi (x))$在点
$x$可导,且
${y}’={f}'(\mu )\cdot {\varphi }'(x)$

(3) 隐函数导数
$\frac{dy}{dx}$的求法一般有三种方法：

1)方程两边对
$x$求导，要记住
$y$是
$x$的函数，则
$y$的函数是
$x$的复合函数.例如
$\frac{1}{y}$，
${{y}^{2}}$，
$ln y$，
${{{e}}^{y}}$等均是
$x$的复合函数. 对
$x$求导应按复合函数连锁法则做.

2)公式法.由
$F(x,y)=0$知
$\frac{dy}{dx}=-\frac{{{{{F}’}}_{x}}(x,y)}{{{{{F}’}}_{y}}(x,y)}$,其中，
${{{F}’}_{x}}(x,y)$，
${{{F}’}_{y}}(x,y)$分别表示
$F(x,y)$对
$x$和
$y$的偏导数

3)利用微分形式不变性

8.常用高阶导数公式

（1）
$({{a}^{x}}){{\,}^{(n)}}={{a}^{x}}{{\ln }^{n}}a\quad (a>{0})\quad \quad ({{{e}}^{x}}){{\,}^{(n)}}={e}{{\,}^{x}}$

（2）
$(\sin kx{)}{{\,}^{(n)}}={{k}^{n}}\sin (kx+n\cdot \frac{\pi }{{2}})$

（3）
$(\cos kx{)}{{\,}^{(n)}}={{k}^{n}}\cos (kx+n\cdot \frac{\pi }{{2}})$

（4）
$({{x}^{m}}){{\,}^{(n)}}=m(m-1)\cdots (m-n+1){{x}^{m-n}}$

（5）
$(\ln x){{\,}^{(n)}}={{(-{1})}^{(n-{1})}}\frac{(n-{1})!}{{{x}^{n}}}$

（6）莱布尼兹公式：若
$u(x)\,,v(x)$均
$n$阶可导，则
${{(uv)}^{(n)}}=\sum\limits_{i={0}}^{n}{c_{n}^{i}{{u}^{(i)}}{{v}^{(n-i)}}}$，其中
${{u}^{({0})}}=u$，
${{v}^{({0})}}=v$

9.微分中值定理，泰勒公式

Th1:(费马定理)

若函数
$f(x)$满足条件：

(1)函数
$f(x)$在
${{x}_{0}}$的某邻域内有定义，并且在此邻域内恒有
$f(x)\le f({{x}_{0}})$或
$f(x)\ge f({{x}_{0}})$,

(2)
$f(x)$在
${{x}_{0}}$处可导,则有
${f}'({{x}_{0}})=0$

Th2:(罗尔定理)

设函数
$f(x)$满足条件：

(1)在闭区间
$[a,b]$上连续；

(2)在
$(a,b)$内可导；

(3)
$f(a)=f(b)$；

则在
$(a,b)$内一存在个
$\xi$，使
${f}'(\xi )=0$

Th3: (拉格朗日中值定理)

设函数
$f(x)$满足条件：

(1)在
$[a,b]$上连续；

(2)在
$(a,b)$内可导；

则在
$(a,b)$内一存在个
$\xi$，使
$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}={f}'(\xi )$

Th4: (柯西中值定理)

设函数
$f(x)$，
$g(x)$满足条件： (1) 在
$[a,b]$上连续；

(2) 在
$(a,b)$内可导且
${f}'(x)$，
${g}'(x)$均存在，且
${g}'(x)\ne 0$

则在
$(a,b)$内存在一个
$\xi$，使
$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{{f}'(\xi )}{{g}'(\xi )}$

10.洛必达法则

法则 Ⅰ (
$\frac{0}{0}$型)

设函数
$f\left( x \right),g\left( x \right)$

满足条件：

$\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=0,\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=0$;

$f\left( x \right),g\left( x \right)$在
${{x}_{0}}$的邻域内可导，(在
${{x}_{0}}$处可除外)且
${g}’\left( x \right)\ne 0$;

$\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}’\left( x \right)}{{g}’\left( x \right)}$存在(或
$\infty$)。

则:
$\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}’\left( x \right)}{{g}’\left( x \right)}$。 法则
${{I}’}$ (
$\frac{0}{0}$型)

设函数
$f\left( x \right),g\left( x \right)$

满足条件：

$\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,f\left(x \right)=0,\underset{x \to \infty}{\mathop{\lim}}\,g\left(x \right)=0$;

存在一个
$X>0$,当
$\left| x \right|>X$时,
$f\left( x \right),g\left( x \right)$可导,且
${g}’\left( x \right)\ne 0$;
$\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim}}\,\frac{{f}’\left(x \right)}{{g}’\left(x \right)}$存在(或
$\infty$)。

则:
$\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}’\left( x \right)}{{g}’\left( x \right)}$

法则 Ⅱ(
$\frac{\infty }{\infty }$型)

设函数
$f\left( x \right),g\left( x \right)$满足条件：
$\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\infty ,\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=\infty$;

$f\left( x \right),g\left( x \right)$在
${{x}_{0}}$ 的邻域内可导(在
${{x}_{0}}$处可除外)且
${g}’\left( x \right)\ne 0$;
$\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}’\left( x \right)}{{g}’\left( x \right)}$存在(或
$\infty$)。

则

$\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}’\left( x \right)}{{g}’\left( x \right)}.$

同理法则
${I{I}’}$(
$\frac{\infty }{\infty }$型)仿法则
${{I}’}$可写出。

11.泰勒公式

设函数
$f(x)$在点
${{x}_{0}}$处的某邻域内具有
$n+1$阶导数，则对该邻域内异于
${{x}_{0}}$的任意点
$x$，在
${{x}_{0}}$与
$x$之间至少存在 一个
$\xi$，使得：

$f(x)=f({{x}_{0}})+{f}'({{x}_{0}})(x-{{x}_{0}})+\frac{1}{2!}{f}”({{x}_{0}}){{(x-{{x}_{0}})}^{2}}+\cdots$

$+\frac{{{f}^{(n)}}({{x}_{0}})}{n!}{{(x-{{x}_{0}})}^{n}}+{{R}_{n}}(x)$

其中
${{R}_{n}}(x)=\frac{{{f}^{(n+1)}}(\xi )}{(n+1)!}{{(x-{{x}_{0}})}^{n+1}}$称为
$f(x)$在点
${{x}_{0}}$处的
$n$阶泰勒余项。

令
${{x}_{0}}=0$，则
$n$阶泰勒公式
$f(x)=f(0)+{f}'(0)x+\frac{1}{2!}{f}”(0){{x}^{2}}+\cdots +\frac{{{f}^{(n)}}(0)}{n!}{{x}^{n}}+{{R}_{n}}(x)$……(1)

其中
${{R}_{n}}(x)=\frac{{{f}^{(n+1)}}(\xi )}{(n+1)!}{{x}^{n+1}}$，
$\xi$在 0 与
$x$之间.(1)式称为麦克劳林公式

常用五种函数在
${{x}_{0}}=0$处的泰勒公式

(1)
${{{e}}^{x}}=1+x+\frac{1}{2!}{{x}^{2}}+\cdots +\frac{1}{n!}{{x}^{n}}+\frac{{{x}^{n+1}}}{(n+1)!}{{e}^{\xi }}$

或
$=1+x+\frac{1}{2!}{{x}^{2}}+\cdots +\frac{1}{n!}{{x}^{n}}+o({{x}^{n}})$

(2)
$\sin x=x-\frac{1}{3!}{{x}^{3}}+\cdots +\frac{{{x}^{n}}}{n!}\sin \frac{n\pi }{2}+\frac{{{x}^{n+1}}}{(n+1)!}\sin (\xi +\frac{n+1}{2}\pi )$

或
$=x-\frac{1}{3!}{{x}^{3}}+\cdots +\frac{{{x}^{n}}}{n!}\sin \frac{n\pi }{2}+o({{x}^{n}})$

(3)
$\cos x=1-\frac{1}{2!}{{x}^{2}}+\cdots +\frac{{{x}^{n}}}{n!}\cos \frac{n\pi }{2}+\frac{{{x}^{n+1}}}{(n+1)!}\cos (\xi +\frac{n+1}{2}\pi )$

或
$=1-\frac{1}{2!}{{x}^{2}}+\cdots +\frac{{{x}^{n}}}{n!}\cos \frac{n\pi }{2}+o({{x}^{n}})$

(4)
$\ln (1+x)=x-\frac{1}{2}{{x}^{2}}+\frac{1}{3}{{x}^{3}}-\cdots +{{(-1)}^{n-1}}\frac{{{x}^{n}}}{n}+\frac{{{(-1)}^{n}}{{x}^{n+1}}}{(n+1){{(1+\xi )}^{n+1}}}$

或
$=x-\frac{1}{2}{{x}^{2}}+\frac{1}{3}{{x}^{3}}-\cdots +{{(-1)}^{n-1}}\frac{{{x}^{n}}}{n}+o({{x}^{n}})$

(5)
${{(1+x)}^{m}}=1+mx+\frac{m(m-1)}{2!}{{x}^{2}}+\cdots +\frac{m(m-1)\cdots (m-n+1)}{n!}{{x}^{n}}$
$+\frac{m(m-1)\cdots (m-n+1)}{(n+1)!}{{x}^{n+1}}{{(1+\xi )}^{m-n-1}}$

或
${{(1+x)}^{m}}=1+mx+\frac{m(m-1)}{2!}{{x}^{2}}+\cdots$
$+\frac{m(m-1)\cdots(m-n+1)}{n!}{{x}^{n}}+o({{x}^{n}})$

12.函数单调性的判断

Th1:

设函数
$f(x)$在
$(a,b)$区间内可导，如果对
$\forall x\in (a,b)$，都有f\,'(x)>0（或f\,'(x)<0），则函数
$f(x)$在
$(a,b)$内是单调增加的（或单调减少）

Th2:

（取极值的必要条件）设函数
$f(x)$在
${{x}_{0}}$处可导，且在
${{x}_{0}}$处取极值，则f\,'({{x}_{0}})=0。

Th3:

（取极值的第一充分条件）设函数
$f(x)$在
${{x}_{0}}$的某一邻域内可微，且f\,'({{x}_{0}})=0（或
$f(x)$在
${{x}_{0}}$处连续，但f\,'({{x}_{0}})不存在。）

(1)若当
$x$经过
${{x}_{0}}$时，f\,'(x)由“+”变“-”，则
$f({{x}_{0}})$为极大值；

(2)若当
$x$经过
${{x}_{0}}$时，f\,'(x)由“-”变“+”，则
$f({{x}_{0}})$为极小值；

(3)若f\,'(x)经过
$x={{x}_{0}}$的两侧不变号，则
$f({{x}_{0}})$不是极值。

Th4:

(取极值的第二充分条件)设
$f(x)$在点
${{x}_{0}}$处有
$f”(x)\ne 0$，且f\,'({{x}_{0}})=0，则 当f’\,'({{x}_{0}})<0时，
$f({{x}_{0}})$为极大值； 当f’\,'({{x}_{0}})>0时，
$f({{x}_{0}})$为极小值。 注：如果f’\,'({{x}_{0}})<0，此方法失效。

13.渐近线的求法

(1)水平渐近线 若
$\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=b$，或
$\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=b$，则

$y=b$称为函数
$y=f(x)$的水平渐近线。

(2)铅直渐近线 若
$\underset{x\to x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\infty$，或
$\underset{x\to x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\infty$，则

$x={{x}_{0}}$称为
$y=f(x)$的铅直渐近线。

(3)斜渐近线 若
$a=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{x},\quad b=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,[f(x)-ax]$，则
$y=ax+b$称为
$y=f(x)$的斜渐近线。

14.函数凹凸性的判断

Th1: (凹凸性的判别定理）若在 I 上
$f”(x)<0$（或
$f”(x)>0$），则
$f(x)$在 I 上是凸的（或凹的）。

Th2: (拐点的判别定理 1)若在
${{x}_{0}}$处
$f”(x)=0$，（或
$f”(x)$不存在），当
$x$变动经过
${{x}_{0}}$时，
$f”(x)$变号，则
$({{x}_{0}},f({{x}_{0}}))$为拐点。

Th3: (拐点的判别定理 2)设
$f(x)$在
${{x}_{0}}$点的某邻域内有三阶导数，且
$f”(x)=0$，
$f”'(x)\ne 0$，则
$({{x}_{0}},f({{x}_{0}}))$为拐点。

15.弧微分

$dS=\sqrt{1+y{{‘}^{2}}}dx$

16.曲率

曲线
$y=f(x)$在点
$(x,y)$处的曲率
$k=\frac{\left| y” \right|}{{{(1+y{{‘}^{2}})}^{\tfrac{3}{2}}}}$。 对于参数方程
$x=\varphi (t)\ y=\psi (t)$,
$k=\frac{\left| \varphi ‘(t)\psi ”(t)-\varphi ”(t)\psi ‘(t) \right|}{{{[\varphi {{‘}^{2}}(t)+\psi {{‘}^{2}}(t)]}^{\tfrac{3}{2}}}}$。

17.曲率半径

曲线在点
$M$处的曲率
$k(k\ne 0)$与曲线在点
$M$处的曲率半径
$\rho$有如下关系：
$\rho =\frac{1}{k}$。