读完本文你将了解：

• B 树
  • 对比平衡二叉树和 B 树
  • B 树中如何查找数据
  • B 树如何保证平衡
  • 使用场景
• B+ 树
• Thanks

大家好，前面那篇文章《3 分钟理解完全二叉树、平衡二叉树、二叉查找树》中我们了解了几种特殊的二叉树的功能及特点，知道了它们在进行查找数据时可以提高效率，但需要注意的是，这是指在内存中进行查找。如果有海量的数据，不可能一次性读取到内存中，这时候就要考虑的是，如何在磁盘中快速找到需要的数据。

今天这篇文章中要介绍的“B 树、B+ 树”，他们的使用场景是：查找磁盘中的大量数据。

B 树

B 树就是常说的“B 减树（B- 树）”，又名平衡多路（即不止两个子树）查找树，它和平衡二叉树的不同有这么几点：

1. 平衡二叉树节点最多有两个子树，而 B 树每个节点可以有多个子树，M 阶 B 树表示该树每个节点最多有 M 个子树
2. 平衡二叉树每个节点只有一个数据和两个指向孩子的指针，而 B 树每个中间节点有 k-1 个关键字（可以理解为数据）和 k 个子树（ **k 介于阶数 M 和 M/2 之间，M/2 向上取整）
3. B 树的所有叶子节点都在同一层，并且叶子节点只有关键字，指向孩子的指针为 null

和平衡二叉树相同的点在于：B 树的节点数据大小也是按照左小右大，子树与节点的大小比较决定了子树指针所处位置。

看着概念可能有点难理解，来看看图对比下平衡二叉树和 B 树。

对比平衡二叉树和 B 树

首先是节点， 平衡二叉树的节点如下图所示，每个节点有一个数据和最多两个子树：

B 树中的每个节点由两部分组成：

1. 关键字（可以理解为数据）
2. 指向孩子节点的指针

B 树的节点如下图所示，每个节点可以有不只一个数据，同时拥有数据数加一个子树，同时每个节点左子树的数据比当前节点都小、右子树的数据都比当前节点的数据大：

上图是为了方便读者理解 B 树每个节点的内容，实际绘制图形还是以圆表示每个节点。

了解了节点的差异后，来看看 B 树的定义，一棵 B 树必须满足以下条件：

1. 若根结点不是终端结点，则至少有2棵子树
2. 除根节点以外的所有非叶结点至少有 M/2 棵子树，至多有 M 个子树（关键字数为子树减一）
3. 所有的叶子结点都位于同一层

用一张图对比平衡二叉树和 B 树：

可以看到，B 树的每个节点可以表示的信息更多，因此整个树更加“矮胖”，这在从磁盘中查找数据（先读取到内存、后查找）的过程中，可以减少磁盘 IO 的次数，从而提升查找速度。

B 树中如何查找数据

因为 B 树的子树大小排序规则，因此在 B 树中查找数据时，一般需要这样：

1. 从根节点开始，如果查找的数据比根节点小，就去左子树找，否则去右子树
2. 和子树的多个关键字进行比较，找到它所处的范围，然后去范围对应的子树中继续查找
3. 以此循环，直到找到或者到叶子节点还没找到为止

B 树如何保证平衡

我们知道，平衡的树之所以能够加快查找速度，是因为在添加、删除的时候做了某些操作以保证平衡。

平衡二叉树的平衡条件是：左右子树的高度差不大于 1；而 B 树的平衡条件则有三点：

1. 叶子节点都在同一层
2. 每个节点的关键字数为子树个数减一（子树个数 k 介于树的阶 M 和它的二分之一
3. 子树的关键字保证左小右大的顺序

也就是说，一棵 3 阶的 B 树（即节点最多有三个子树），每个节点的关键字数最少为 1，最多为 2，如果要添加数据的子树的关键字数已经是最多，就需要拆分节点，调整树的结构。

网上找到一张很不错的动图，我们来根据它分析下 B 树添加元素时如何保证平衡。

这个图用以表示往 4 阶 B 树中依次插入下面这组数据的过程：

6 10 4 14 5 11 15 3 2 12 1 7 8 8 6 3 6 21 5 15 15 6 32 23 45 65 7 8 6 5 4

建议放大图查看。

由于我比较懒，我们来根据前几步分析下 B 树的添加流程：

1. 首先明确：4 阶 B 树表示每个节点最多有 4 个子树、3 个关键字，最少有 2 个子树、一个关键字
2. 添加 6，第一个节点，没什么好说的
3. 添加 10，根节点最多能放三个关键字，按顺序添到根节点中
4. 添加 4，还能放到根节点中
5. 添加 14，这时超出了关键字最大限制，需要把 14 添加为子树，同时为了保证“所有叶子节点在同一层”，就需要拆几个关键字作为子树：

拆为：

这个拆的过程比较复杂，首先要确定根节点保留几个关键字，由于“非叶子节点的根节点至少有 2 棵子树”的限制，那就至少需要两个关键字分出去，又因为“子树数是关键字数+1”，如果根节点有两个关键字，就得有三个子树，无法满足，所以只好把除 6 以外的三个关键字都拆为子树。

谁和谁在一个子树上呢，根据“左子树比关键字小、右子树比关键字大”的规律，4 在左子树，10 和 14 在右子树。

继续添加 ：

1. 添加 5，放到 4 所在的子树上
2. 添加 11，放在 10 和 14 所在的右子树上
3. 添加 15，按大小应该放到 10、11 和 14 所在的子树上，但因为超过了关键字数限制，又得拆分

因为“根节点必须都在同一层”，因此我们不能给现有的左右子树添加子树，只能添加给 6 了；但是如果 6 有三个子树，就必须得有 2 个关键字，提升谁做关键字好呢，这得看谁做 6 中间的子树，因为右子树的所有关键字都得比父节点的关键字大，所以这个提升的关键字只能比未来右子树中的关键字都小，那就只有 10 和 11 可以考虑了。

提升 10 吧，没有比它小的做子树，那就只能提升 11 了：

再添加元素也是类似的逻辑：

1. 首先考虑要插入的子树是否已经超出了关键字数的限制
2. 超出的话，如果要插入的位置是叶子节点，就只能拆一个关键字添加到要插入位置的父节点
3. 如果非叶子节点，就得从其他子树拆子树给新插入的元素做孩子

删除也是一样的，要考虑删除孩子后，父节点是否还满足子树 k 介于 M/2 和 M 的条件，不满足就得从别的节点拆子树甚至修改相关子树结构来保持平衡。

总之添加、删除的过程很复杂，要考虑的条件很多，具体实现就不细追究了，这里我们有个基本认识即可。

正是这个复杂的保持平衡操作，使得平衡后的 B 树能够发挥出磁盘中快速查找的作用。

使用场景

这部分摘自：浅谈算法和数据结构：平衡查找树之B树

文件系统和数据库系统中常用的B/B+ 树，他通过对每个节点存储个数的扩展，使得对连续的数据能够进行较快的定位和访问，能够有效减少查找时间，提高存储的空间局部性从而减少IO操作。他广泛用于文件系统及数据库中，如：

• Windows：HPFS 文件系统

• Mac：HFS，HFS+ 文件系统

• Linux：ResiserFS，XFS，Ext3FS，JFS 文件系统

• 数据库：ORACLE，MYSQL，SQLSERVER 等中

• 数据库：ORACLE，MYSQL，SQLSERVER 等中

B+ 树

这部分主要学习自“程序员小灰”的 漫画：什么是B+树？

了解了 B 树后再来了解下它的变形版：B+ 树，它比 B 树的查询性能更高。

一棵 B+ 树需要满足以下条件：

1. 节点的子树数和关键字数相同（B 树是关键字数比子树数少一）
2. 节点的关键字表示的是子树中的最大数，在子树中同样含有这个数据
3. 叶子节点包含了全部数据，同时符合左小右大的顺序

简单概括下 B+ 树的三个特点：

1. 关键字数和子树相同
2. 非叶子节点仅用作索引，它的关键字和子节点有重复元素
3. 叶子节点用指针连在一起

首先第一点不用特别介绍了，在 B 树中，节点的关键字用于在查询时确定查询区间，因此关键字数比子树数少一；而在 B+ 树中，节点的关键字代表子树的最大值，因此关键字数等于子树数。

第二点，除叶子节点外的所有节点的关键字，都在它的下一级子树中同样存在，最后所有数据都存储在叶子节点中。

根节点的最大关键字其实就表示整个 B+ 树的最大元素。

第三点，叶子节点包含了全部的数据，并且按顺序排列，B+ 树使用一个链表将它们排列起来，这样在查询时效率更快。

由于 B+ 树的中间节点不含有实际数据，只有子树的最大数据和子树指针，因此磁盘页中可以容纳更多节点元素，也就是说同样数据情况下，B+ 树会 B 树更加“矮胖”，因此查询效率更快。

B+ 树的查找必会查到叶子节点，更加稳定。

有时候需要查询某个范围内的数据，由于 B+ 树的叶子节点是一个有序链表，只需在叶子节点上遍历即可，不用像 B 树那样挨个中序遍历比较大小。

B+ 树的三个优点：

1. 层级更低，IO 次数更少
2. 每次都需要查询到叶子节点，查询性能稳定
3. 叶子节点形成有序链表，范围查询方便

添加过程就不深入研究了，后面用到再看吧，这里先贴一个 B+ 树动态添加元素图：

Thanks

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