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本系列为吴恩达老师《深度学习专项课程(Deep Learning Specialization)》学习与总结整理所得,对应的课程视频可以在这里查看。
引言
在ShowMeAI前一篇文章 深度学习概论 中我们对深度学习(Deep Learning)进行了简单介绍:
- 我们以房价预测为例,对应讲解了神经网络(Neural Network)模型结构和基础知识。
- 介绍了针对监督学习的几类典型神经网络:Standard NN,CNN和RNN。
- 介绍了「结构化数据」和「非结构化数据」2种不同类型的数据。
- 分析了近些年来深度学习热门,及其性能优于传统机器学习的原因(Data,Computation和Algorithms)。
本节内容我们展开介绍神经网络的基础:逻辑回归(Logistic Regression)。我们将通过对逻辑回归模型结构的分析,过渡到后续神经网络模型。(关于逻辑回归模型,大家也可以阅读ShowMeAI的文章 图解机器学习 | 逻辑回归算法详解 学习)
1.算法基础与逻辑回归
逻辑回归(Logistic regression) 是一个用于二分类的算法。
1.1 二分类问题与机器学习基础
二分类就是输出
只有 {0,1} 两个离散值(也有 {-1,1} 的情况)。我们以一个「图像识别」问题为例,判断图片是否是猫。识别是否是「猫」,这是一个典型的二分类问题——0代表「非猫(not cat)」,1代表「猫(cat)」。(关于机器学习基础知识大家也可以查看ShowMeAI文章 图解机器学习 | 机器学习基础知识)。
从机器学习的角度看,我们的输入
此时是一张图片,彩色图片包含RGB三个通道,图片尺寸为
。
有些神经网络的输入是一维的,我们可以将图片
(维度
)展平为一维特征向量(feature vector),得到的特征向量维度为
。我们一般用列向量表示样本,把维度记为
。
如果训练样本有
张图片,那么我们用矩阵存储数据,此时数据维度变为
。
- 矩阵
的行
代表了每个样本
特征个数 - 矩阵
的列
代表了样本个数。
我们可以对训练样本的标签
也做一个规整化,调整为1维的形态,标签
的维度为
。
1.2 逻辑回归算法
逻辑回归是最常见的二分类算法(详细算法讲解也可阅读ShowMeAI文章 图解机器学习 | 逻辑回归算法详解),它包含以下参数:
- 输入的特征向量:
,其中
是特征数量 - 用于训练的标签:
- 权重:
- 偏置:
- 输出:
输出计算用到了Sigmoid函数,它是一种非线性的S型函数,输出被限定在
之间,通常被用在神经网络中当作激活函数(Activation Function)使用。
Sigmoid函数的表达式如下:
实际上,逻辑回归可以看作非常小的一个神经网络。
1.3 逻辑回归的损失函数
在机器学习中,**损失函数(loss function)**用于量化衡量预测结果与真实值之间的差距,我们会通过优化损失函数来不断调整模型权重,使其最好地拟合样本数据。
在回归类问题中,我们会使用均方差损失(MSE):
但是在逻辑回归中,我们并不倾向于使用这样的损失函数。逻辑回归使用平方差损失会得到非凸的损失函数,它会有很多个局部最优解。梯度下降法可能找不到全局最优值,从而给优化带来困难。
因此我们调整成使用对数损失(二元交叉熵损失):
刚才我们给到的是单个训练样本中定义的损失函数,它衡量了在单个训练样本上的表现。我们定义代价函数(Cost Function,或者称作成本函数)为全体训练样本上的表现,即
个样本的损失函数的平均值,反映了
个样本的预测输出与真实样本输出
的平均接近程度。
成本函数的计算公式如下:
2.梯度下降法(Gradient Descent)
刚才我们了解了损失函数(Loss Function)与成本函数定义,下一步我们就要找到最优的
和
值,最小化
个训练样本的Cost Function。这里用到的方法就叫做梯度下降(Gradient Descent)算法。
在数学上,1个函数的梯度(gradient)指出了它的最陡增长方向。也就是说,沿着梯度的方向走,函数增长得就最快。那么沿着梯度的负方向走,函数值就下降得最快。
(更详细的最优化数学知识可以阅读ShowMeAI文章 图解AI数学基础 | 微积分与最优化)
模型的训练目标是寻找合适的
与
以最小化代价函数值。我们先假设
与
都是一维实数,则代价函数
关于
与
的图如下所示:
上图中的代价函数
是一个凸函数,只有一个全局最低点,它能保证无论我们初始化模型参数如何(在曲面上任何位置),都能够寻找到合适的最优解。
基于梯度下降算法,得到以下参数
的更新公式:
公式中
为学习率,即每次更新的
的步长。
成本函数
中对应的参数
更新公式为:
3.计算图(Computation Graph)
对于神经网络而言,训练过程包含了两个阶段:前向传播(Forward Propagation)和反向传播(Back Propagation)。
- 前向传播是从输入到输出,由神经网络前推计算得到预测输出的过程
- 反向传播是从输出到输入,基于Cost Function对参数
和
计算梯度的过程。
下面,我们结合一个例子用计算图(Computation graph)的形式来理解这两个阶段。
3.1 前向传播(Forward Propagation)
假如我们的Cost Function为
,包含
、
、
三个变量。
我们添加一些中间变量,用
表示
,
表示
,则
。
整个过程可以用计算图表示:
在上图中,我们让
,
,
,则
,
,
。
计算图中,这种从左到右,从输入到输出的过程,就对应着神经网络基于
和
计算得到Cost Function的前向计算过程。
3.2 反向传播(Back Propagation)
我们接着上个例子中的计算图讲解反向传播,我们的输入参数有
、
、
三个。
① 先计算
对参数
的偏导数
从计算图上来看,从右到左,
是
的函数,
是
的函数。基于求导链式法则得到:
② 计算
对参数
的偏导数
从计算图上来看,从右到左,
是
的函数,
是
的函数,
是
的函数。同样可得:
③ 计算
对参数
的偏导数
此时从右到左,
是
的函数,
是
的函数,
是
的函数。可得:
这样就完成了从右往左的反向传播与梯度(偏导)计算过程。
4.逻辑回归中的梯度下降法
回到我们前面提到的逻辑回归问题,我们假设输入的特征向量维度为2(即
),对应权重参数
、
、
得到如下的计算图:
反向传播计算梯度
① 求出
对于
的导数
② 求出
对于
的导数
③ 继续前推计算
④ 基于梯度下降可以得到参数更新公式
前面提到的是对单个样本求偏导和应用梯度下降算法的过程。对于有
个样本的数据集,Cost Function
、
和 权重参数
的计算如图所示。
完整的Logistic回归中某次训练的流程如下,这里仅假设特征向量的维度为2:
J=0; dw1=0; dw2=0; db=0;
for i = 1 to m
z(i) = wx(i)+b;
a(i) = sigmoid(z(i));
J += -[y(i)log(a(i))+(1-y(i))log(1-a(i));
dz(i) = a(i)-y(i);
dw1 += x1(i)dz(i);
dw2 += x2(i)dz(i);
db += dz(i);
J /= m;
dw1 /= m;
dw2 /= m;
db /= m;
接着再对
、
、
进行迭代。
上述计算过程有一个缺点:整个流程包含两个for循环。其中:
- 第一个for循环遍历
个样本 - 第二个for循环遍历所有特征
如果有大量特征,在代码中显示使用for循环会使算法很低效。向量化可以用于解决显式使用for循环的问题。
5.向量化(Vectorization)
继续以逻辑回归为例,如果以非向量化的循环方式计算
,代码如下:
z = 0;
for i in range(n_x):
z += w[i] * x[i]
z += b
基于向量化的操作,可以并行计算,极大提升效率,同时代码也更为简洁: (这里使用到python中的numpy工具库,想了解更多的同学可以查看ShowMeAI的 图解数据分析 系列中的numpy教程,也可以通过ShowMeAI制作的 numpy速查手册 快速了解其使用方法)
z = np.dot(w, x) + b
不用显式for循环,实现逻辑回归的梯度下降的迭代伪代码如下:
参考资料
ShowMeAI系列教程推荐
- 图解Python编程:从入门到精通系列教程
- 图解数据分析:从入门到精通系列教程
- 图解AI数学基础:从入门到精通系列教程
- 图解大数据技术:从入门到精通系列教程
- 图解机器学习算法:从入门到精通系列教程
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今天的文章深度学习教程 | 神经网络基础分享到此就结束了,感谢您的阅读。
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