假设检验的几种典型应用场景和计算方法

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今天我们复习一下假设检验几种典型应用场景和计算方法。

一、假设检验的概念

假设检验，就是通过分析样本数据来检验某一个针对总体的论断是否成立。

• 待检验的针对总体的论断叫做零假设，一般用
  $H_0$ 表示。
• 与零假设相对立的假设叫做备选假设，一般用
  $H_a$ 表示。

一般来说，在假设检验过程中，会先预设
$H_0$ 假设是成立的，从这里出发进行分析，直到有证据（样本数据和样本统计值）表明其不成立，才会拒绝该假设。

二、假设检验的一般步骤

1. 建立零假设
   $H_0$ 和备选假设
   $H_a$

2. 从总体中随机选取出来一个样本集合，并针对样本集合计算出来一些样本统计值（如均值、标准差等）

3. 根据不同场景，调用相应方法从样本统计值计算出检验值（具体方法见下节）

   • 检验值是归一化以后的数据，表示的是当前样本统计值距离目标值相差几个标准差

   • 检验值越远离中心点，则说明其发生的概率越小，如下图示（这里
     $\pm2$就是检验值）：

     

4. 通过查表等方式，由检验值得到 p 值

   • p 值表示在
     $H_0$ 成立时样本发生的概率

5. 根据 p 值大小决定是否拒绝零假设
   $H_0$

   • 如果 p 值小于一定的阈值，则认为在
     $H_0$ 假设下发生了不太可能发生的事，以此为依据来拒绝
     $H_0$

三、应用场景 & 检验值计算方法

1. 场景一：检验一个总体的均值大小

例如：某人声称成年人体重平均值为 70 公斤，现在我们要来检验这一论断的正确性，则有如下假设：

• 假设

  • 
    $H_0: \mu=\mu_0$

  • 
    $H_a: \mu>\mu_0$

  其中：

  • 
    $\mu$ 表示真正的总体均值（所有成年人的体重均值）
  • 
    $\mu_0$ 表示
    $H_0$ 中假设的总体均值（
    $\mu_0 = 70$）

• 检验值计算公式

  
  $$Z = \frac{\bar{x} – \mu_0}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$$

  其中：

  • n 表示样本个数；
  • 
    $\bar{x}$ 表示样本的平均值；
  • 
    $\sigma$ 表示总体的标准差；

  如果采样了 100 个样本，分别为
  $x_1, x_2, …, x_{100}$，则有：

  • 
    $n=100$
  • 
    $\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + … + x_{100}}{100}$
  • 如果不知道总体标准差，可用样本标准差来代替：
    • 
      $\sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{100}(x_i – \bar{x})^2}{n-1}}$
    • 使用样本标准差时需要使用 t 分布，而不是 Z 分布

  最后根据公式算出的 Z 就是检验值。

2. 场景二：检测一个总体中符合某条件的部分的占比

例如：某人声称所有成年人中体重大于70公斤的占比为 50%，我们要检验这个论断是否正确。

• 假设

  • 
    $H_0:p = p_0$

  • 
    $H_a:p \neq p_0$

  其中：

  • 
    $p_0$ 表示声称中所假设的目标比例，这里就是 50%

• 检验值计算公式

  
  $$\frac{\hat{p}-p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}}$$

  其中：

  • 
    $\hat{p}$ 代表符合条件（即体重大于70公斤）的个体在样本集合中的实际占比；
  • n 表示样本个数

3. 场景三：比较两个总体的平均值

例如：某人声称成年人中吸烟与不吸烟者体重均值相同。

• 假设

  • 
    $H_0: \mu_x – \mu_y = 0$

  • 
    $H_a:\mu_x – \mu_y \neq 0$

  其中：

  • 
    $\mu_x$ 和
    $\mu_y$ 分别表示总体
    $x$（吸烟者）和总体
    $y$ （不吸烟者）的体重平均值

• 检验值计算公式

  
  $$\frac{(\bar{x}-\bar{y})-0}{\sqrt{\frac{s_x^2}{n_1}+\frac{s_y^2} {n_2}}}$$

  其中：

  • 
    $\bar{x}$ 表示从总体
    $x$（吸烟者）中取出的样本的均值（平均体重）
  • 
    $\bar{y}$ 表示从总体
    $y$（不吸烟者）中取出的样本的均值（平均体重）
  • 
    $s_x^2$ 表示总体
    $x$（吸烟者）的方差
  • 
    $s_y^2$ 表示总体
    $y$（吸烟者）的方差
  • 
    $n1$ 表示从总体
    $x$（吸烟者）中取出的样本个数
  • 
    $n2$ 表示从总体
    $y$（吸烟者）中取出的样本个数 注意：
  • 如果不知道总体
    $x$、
    $y$ 的方差，可用样本方差代替
    • 这时需要使用自由度为
      $n_1+n_2-1$ 的 t 分布，而不是使用 Z 分布

4. 场景四：检验两个变量之差的平均值：两个变量为成对数据

例如：某人声称成年人早晨起床后与晚上睡觉前的体重相等。

遇到这种需要比较成对数据之差时，先将每个样本中的两个数据相减，得到一个新的样本集合，后续的分析基于这个新样本集合。此例中新样本集合包含的是原样本中每个人的早晚体重差。

• 假设

  • 
    $H_0: \mu_d = 0$

  • 
    $H_a: \mu_d \neq 0$

  其中：

  • 
    $\mu_d$ 表示所有成年人（总体）早晚体重差的平均值

• 检验值计算公式

  
  $$\frac{\bar{d}-\mu_d}{\frac{s_d}{\sqrt{n}}}$$

  其中：

  • 
    $\bar{d}$ 为样本集合中早晚体重差的均值
  • 
    $s_d$ 为总体的标准差
    • 得不到总体标准差时，可用样本标准差代替
      • 这时需使用自由度为
        $n-1$ 的 t 分布
  • 
    $n$ 表示样本个数

5. 场景五：检验两个总体中符合某条件的部分的占比差异

例如：某人声称成年男性与成年女性中吸烟者的比例相同。

这里就有两个总体——男性与女性；各自抽样后得到的样本集合也有两个——男性样本与女性样本。

• 假设

  • 
    $H_0: p_1 – p_2 = 0$

  • 
    $H_a: p_1 – p_2 \neq 0$

• 检验值计算公式

  
  $$\frac{(\hat{p_1}-\hat{p_2})-0}{\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2})}}$$

  其中：

  • 
    $\hat{p}$ 是将所有样本（包括男、女）混合后，吸烟者占总人数的比例
  • 
    $\hat{p_1}$ 表示男性样本中抽烟人数的占比
  • 
    $\hat{p_2}$ 表示女性样本中抽烟人数的占比
  • 
    $n1$ 表示男性样本的人数
  • 
    $n2$ 表示女性样本的人数

四、检验方式

有了上一步计算出的检验统计值后，就可以查表得到 p 值了：

• 当样本数
  $n$ 较大时，在 Z 分布表中查询算出来的检验统计值，得到 p 值
  • 对于均值的检验，如果检验值是由总体标准差算出来的，则使用 Z 分布；如果是由样本标准差算出来的，或样本数 n < 30，则需使用自由度为 n-1 的 t 分布（要查下面的 t 分布表）

p 值代表的是当前样本在
$H_0$ 成立的情况下发生的概率：

• 如果在某个场景下我们得到的 p 值太小（小于目标阈值），说明
  $H_0$ 假设成立的条件下发生了小概率事件，于是可以由此来拒绝
  $H_0$ 的假设。

• 如果 p 值 > 显著性水平，则说明样本代表的事件发生的概率不低，没有足够的证据拒绝
  $H_0$ 的假设。

• Z 分布表：

  

• t 分布表：