机器数、真值、原码、反码和补码

文中所有二进制为了表示方便皆采用1字节来表示

一. 机器数、真值

1. 机器数

机器数就是一个数在计算机中的二进制表示，计算机中机器数的最高位是符号位，正数符号位为0，负数符号位为1。机器数包含原码、反码和补码三种表示形式，后文会具体进行解释。

例如：

十进制中的+2在计算机中的字长为8，转换成二进制为 0000 0010
十进制中的-2在计算机中的字长为8，转换成二进制为 1000 0010

上文例子中的0000 0010和1000 0010就是机器数

2. 机器数的真值

真值就是带符号位的机器数对应的真正数值，个人理解就是用正负号来代替符号位来表示机器数 例如:

机器数 0000 0010 的真值为 +000 0010 也就是+2
机器数 1000 0010 的真值为 -000 0010 也就是-2

二. 机器数的三种表示形式：原码、反码、补码

1. 原码

原码就是加了一位符号位的二进制数，正数符号位为0，负数符号位为1，符号位为最高位。 个人理解就是将真值里面的”+”转换为0，”-“转换为1。

由此可以得出8位的二进制数的大小范围为[1111 1111, 0111 1111]，也就是[-127, 127]对应java中byte数据类型的大小范围

2. 反码

正数的反码就是其原码，负数的反码则是符号位不变，其他位取反（0变1，1变0）

3. 补码

正数的补码就是其原码，负数的补码则是反码+1

4. 为何使用反码、补码

使用原码进行计算的时候，对于人而言能够很轻易的辨别出符号位，然后直接对其他位数值进行计算。然而对于计算机的设计而言辨别出符号位就是一项非常复杂的工程，所以设计的时候就考虑让符号位直接参与计算，这样设计计算机就十分简单了。 对于加法而言符号位对于计算并没有影响，对于减法而言则考虑通过加上负数来转换为加法的方式进行计算。 如果通过原码来直接进行减法计算：

  3 - 2 
= 3 + (-2)
= 0000 0011(原) + 1000 0010(原)
= 1000 0101
= -5

结果显而易见，如果通过原码来直接让符号位参与运算的话是不正确的，所以为了解决减法的问题引入了反码的概念。如果通过反码来进行减法计算：

   3 - 2
 = 3 + (-2)   
 = 0000 0011(原) + 1000 0010(原)
 = 0000 0011(反) + 1111 1101(反)
 = 1 0000 0000(反) -- 最高位产生进位，结果+1
 = 0000 0001(反)
 = 0000 0001(原)
 = 1

结果正确，从上面例子看来如果通过反码进行减法运算的话是没有问题的，那为什么又需要补码呢，我们一起来看下面这个特殊的例子：

  2 - 2
= 2 + (-2)
= 0000 0010(原) + 1000 0010(原)
= 0000 0010(反) + 1111 1101(反)
= 1111 1111(反)
= 1000 0000(原)
= -0

  0 + 0
= 0000 0000(原) + 0000 0000(原)
= 0000 0000(反) + 0000 0000(反)
= 0000 0000(反)
= 0000 0000(原)
= 0

由于对于0这个数字而言，正负号没有任何意义，但是经过计算却有可能出现[0000 0000]和[1000 0000]这两种不同的原码表示同一个数字0，这显然是不合理的，所以此时就引入了补码的概念。 如果通过补码来进行上述例子的计算：

  2 - 2
= 2 + (-2)
= 0000 0010(原) + 1000 0010(原)
= 0000 0010(反) + 1111 1101(反)
= 0000 0010(补) + 1111 1110(补)
= 1 0000 0000(补) -- 最高位产生进位，进位舍弃
= 0000 0000(补)
= 0000 0000(反)
= 0000 0000(原)
= 0

  0 + 0
= 0000 0000(原) + 0000 0000(原)
= 0000 0000(反) + 0000 0000(反)
= 0000 0000(补) + 0000 0000(补)
= 0000 0000(反)
= 0000 0000(原)
= 0

由上述例子可以看出，补码完美的解决了0的符号问题以及0有两个不同原码表示的问题。而且[10000 0000]也可以用来表示-128：

  -1 - 127
= -1 + (-127)
= 1000 0001(原) + 1111 1111(原)
= 1111 1110(反) + 1000 0000(反)
= 1111 1111(补) + 1000 0001(补)
= 1 1000 0000(补) --最高位产生进位，进位舍弃
= 1000 0000(补)

-1 – 127的结果为-128，上面例子中-1和-127补码相加后得出的补码也是-128。但是这个1000 0000(补)实际上对应的是之前的-0，所以这个补码是没有反码和原码的。 综上可以看出使用补码的话不仅0的符号问题和多原码问题可以解决，还可以多表示一个最小数。因此对于1字节而言，原码和反码的范围是[-127, 127]，而补码的范围是[-128, 127]，也可以解释java中int的范围是[-2, 2-1]。