为什么要用补码？

学习是循序渐进的，在明白补码的秘密之前，我们得先了解真值、机器码、原码、反码。

1. 真值与机器码

   真值：二进制数也有正负之分，书写时用‘+’和’-‘来表示数据的符号，这种数据书写格式称为真值。如：+1101，-1101

   机器码：把符号位和数值一起编码表示的二进制数称为机器码或机器数。 常用的定点数机器码有：原码，反码，补码，移码等，不同的机器码有不同的特点。

2. 原码

   原码就是符号化的数值，其编码规则是用1代表负号，用0代表正号。如：+1101的原码是[0000 1101]，-1101的原码是[1000 1101]。

   能用原码作为机器码能正确的进行运算码？

   其一，先讨论原码的符号位是否能参与运算。先假设原码符号位能够参与运算。 那么

    例如1+（-5）
    [0000 0001]原+[1000 0101]原=[1000 0110]原=-6
    很明显，显然是错误的。
   

   所以我们得出一个观点：原码的符号位不参与运算。

   其二，若符号位不参与运算，那么要使得原码正确的计算出结果，加法需要“同号求和，异号求差”，减法需要“同号求差，异号求和”，求差时还要比较大小，用大数减去小数，最后的符合判断也相对复杂。

   其三，原码对0的编码不唯一。在原码表示中，[0000 0000]和[1000 0000]分别表示+0和-0，我的认识是0并无正负之分，这不符合规定。

   显然，用原码作运算是不方便的，原码在计算机中目前仅仅用于表示浮点数的尾码。 原码的优点在于，表示简单直观。

3. 反码

   反码又称1的补码，其符号位与原码相同。当真值为正时，原码反码相同，当真值为负时，反码数值位为原码数值位取反。

   反码的符号位参与运算，但是运算结果不一定准确，同时也存在两个机器码0（1111 1111 and 0111 1111）

   我在学习过程中，看到大多关于反码的作用就是：反码只是用于求补码的一个中间码而已，在计算机中不用反码作运算。

4. 补码

   补码其符号位与原码相同。当真值为正时，原码反码相同，当真值为负时，补码的数值为反码数值加1。

   那么能用补码作为机器码参与运算吗？

   其一，补码的符号位参与运算。

    例如：1+（-5）
    [0000 0001]补+[1111 1011]补=[1111 1100]补=-4。
    显然，补码带符号运算是正确的。而且我们发现：
    [1111 1100]按权展开-1*2^7+1*2^6+1*2^5+···+0*2^1+0*2^0=-4。
    则得出：补码符号位参与运算，并且可以按权展开。
    
   

   其二，补码能够正确的计算出结果。

    例如：8-5的计算。那么怎么进行减法运算呢？
   
    方法1：由补码性质知道：[-X]补=-[X]补，所以[Y]补-[X]补=[Y]补+[-X]补,既通过补码可以把减法变为加法。
   
    那么8-5=[0000 1000]补+(-5)补码
   
    在计算机里，负数的补码怎么求呢？
   
    我们知道5和(-5)是一对相反数
   
    相反数的求法：X+(-X)=0，可以联想到，[1111 1111]+1=0，那么只需把X各个位取反得到X0，那么，X0+X=[1111 1111]，这时再加1就可以得到0，即X0+X+1=0。这里面，X加了X0和1，所以求相反数的步骤就是全位取反再加1。
    例如：
        5的补码：[0000 0101]
   
    所以已知5的补码[0000 0101]，得出-5的补码[1111 1011]，那么8-5=8+(-5)=[0000 1000]+[1111 1011]=[0000 0011]=3。
   
    方法2：
   
    在这里引入模的概念，模是一个数值计量系统的计量范围。既超过模的部分将被舍弃。在计算机中，二进制数据都有字长的限制，数据最高位的位权值就是模数。
   
    负数的补码=模数+该负数。
    对于8位二进制来说模数为2^8。
    那么8-5=8+2^8+(-5)=259（mod2^8)。
   

   其三，补码的0唯一。

        +0=[0000 0000]原=[0111 1111]反=[1000 0000]补=-128
        -0=[1000 0000]原=[1111 1111]反=[0000 0000]补=0。
   

   由上两式可以知道，对于±0来说，+0对应补码的值为-128，而-0对于补码的值为0，所以补码的0是唯一的，而且相同位数二进制下，补码比原码和反码能多表示一个数，既-128。

   以上三点就是我们选择补码的原因。第一，符号位参与运算减少了硬件设计的成本和难度；第二，补码运算结果正确。第三，补码由唯一的0且能多表示一个数。