机器学习方法:回归(一):线性回归Linear regression

机器学习方法:回归(一):线性回归Linear regression欢迎转载,转载请注明:本文出自Bin的专栏blog.csdn.net/xbinworld。开一个机器学习方法科普系列:做基础回顾之用,学而时习之;也拿出来与大家分享。数学水平有限,只求易懂,学习与工作够用。周期会比较长,因为我还想写一些其他的,呵呵。content:linearregression,Ridge,LassoLogisticRegression,Softmax…

欢迎转载,转载请注明:本文出自Bin的专栏blog.csdn.net/xbinworld

开一个机器学习方法科普系列:做基础回顾之用,学而时习之;也拿出来与大家分享。数学水平有限,只求易懂,学习与工作够用。周期会比较长,因为我还想写一些其他的,呵呵。

content:
linear regression, Ridge, Lasso
Logistic Regression, Softmax
Kmeans, GMM, EM, Spectral Clustering
Dimensionality Reduction: PCA、LDA、Laplacian Eigenmap、 LLE、 Isomap(修改前面的blog)
SVM
ID3、C4.5
Apriori,FP
PageRank
minHash, LSH
Manifold Ranking,EMR
待补充

开始几篇将详细介绍一下线性回归linear regression,以及加上L1和L2的正则的变化。后面的文章将介绍逻辑回归logistic regression,以及Softmax regression。为什么要先讲这几个方法呢?因为它们是机器学习/深度学习的基石(building block)之一,而且在大量教学视频和教材中反复被提到,所以我也记录一下自己的理解,方便以后翻阅。这三个方法都是有监督的学习方法,线性回归是回归算法,而逻辑回归和softmax本质上是分类算法(从离散的分类目标导出),不过有一些场合下也有混着用的——如果目标输出值的取值范围和logistic的输出取值范围一致。

ok,废话不多说。

1、Linear Regression

可以说基本上是机器学习中最简单的模型了,但是实际上其地位很重要(计算简单、效果不错,在很多其他算法中也可以看到用LR作为一部分)。

先来看一个小例子,给一个“线性回归是什么”的概念。图来自[2]。

这里写图片描述这里写图片描述
假设有一个房屋销售的数据如下:
面积(m^2) 销售价钱(万元)
123 250
150 320
87 160
102 220
… …

当我们有很多组这样的数据,这些就是训练数据,我们希望学习一个模型,当新来一个面积数据时,可以自动预测出销售价格(也就是上右图中的绿线);这样的模型必然有很多,其中最简单最朴素的方法就是线性回归,也就是我们希望学习到一个线性模型(上右图中的红线)。不过说是线性回归,学出来的不一定是一条直线,只有在变量x是一维的时候才是直线,高维的时候是超平面。

定义一下一些符号表达,我们通常习惯用 X=(x1,x2,...,xn)TRn×p 表示数据矩阵,其中 xiRp 表示一个p维度长的数据样本; y=(y1,y2,...,yn)TRn 表示数据的label,这里只考虑每个样本一类的情况。

线性回归的模型是这样的,对于一个样本 xi ,它的输出值是其特征的线性组合:

f(xi)=m=1pwmxim+w0=wTxi



其中,

w0
称为截距,或者bias,上式中通过增加

xi0=1


w0
也吸收到向量表达中了,简化了形式,因此实际上

xi


p+1
维度。

线性回归的目标是用预测结果尽可能地拟合目标label,用最常见的Least square作为loss function:

J(w)=1ni=1n(yif(xi))2=1nyXw2

从下图来直观理解一下线性回归优化的目标——图中线段距离(平方)的平均值,也就是最小化到分割面的距离和。
这里写图片描述

也就是很多中文教材中提到的最小二乘;线性回归是convex的目标函数,并且有解析解:

w^=(XTX)1XTy



线性回归到这里就训练完成了,对每一个样本点的预测值是

f(xi)=yi^=w^Txi
。所以:


y^=Xw^=X(XTX)1XTy

接下来看一下我们寻找到的预测值的一个几何解释:从上面的解析解 w^=(XTX)1XTy 可以得到 XT(y^y)=0 (垂直的向量相乘=0),因此实际上 y^ y 在平面

X
(由列向量 x1 x2 张成,假设只有两维)上的投影。
预测值的直观解释

ok,一般介绍线性回归的文章到这里也就结束了,因为实际使用中基本就是用到上面的结果,解析解计算简单而且是最优解;当然如果求逆不好求的话就可以不用解析解,而是通过梯度下降等优化方法来求最优解,梯度下降的内容不在本篇中,后面讲逻辑回归会说到。也可以看我前面写的今天开始学PRML第5章中有写到,或者直接翻阅wikipedia:gradient descent

不过在这里我再稍微提几个相关的分析,可以参考ESL[3]的第3章中的内容。前面我们对数据本身的分布是没有任何假设的,本节下面一小段我们假设观察值 yi 都是不相关的,并且方差都是 σ2 ,并且样本点是已知(且是中心化过了的,均值为0)的。于是我们可以推出协方差矩阵

Var(β^)=(XTX)1σ2

证明:

Var(β^)=(XTX)1XTyytX(XTX)1=(XTX)1σ2

要估计方差 σ2 ,可以用

σ^2=1np1i=1n(yiy^i)2



这里和一般的方差的形式看起来不同,分母是

np1
而不是

n
,是因为这样的估计才是



σ2

的无偏估计。

证明:

E(σ^2)=E(1np1i=1n(yiy^i)2)=E(1np1[yX(XTX)1XTy]T[yX(XTX)1XTy]=E(1np1yT[InX(XTX)1XT]y=nσ2np11np1tr(X(XTX)1XTyyT)=nσ2np1σ2np1tr(X(XTX)1XT)=nσ2np1(p+1)σ2np1=σ2

好,第一篇就写到这里。这个系列是从0开始的基础复习记录,力求清晰易懂。下一篇lasso和ridge regression。

参考资料
[1]http://freemind.pluskid.org/machine-learning/sparsity-and-some-basics-of-l1-regularization/
[2]http://www.cnblogs.com/LeftNotEasy/archive/2010/12/05/mathmatic_in_machine_learning_1_regression_and_gradient_descent.html
[3]The Elements of Statistical Learning,ch3

今天的文章机器学习方法:回归(一):线性回归Linear regression分享到此就结束了,感谢您的阅读。

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