matlab-非线性拟合函数lsqcurvefit的使用和初值选取

所解决问题：
我们知道我们的表达式是y=A+B*exp(-x.^2)-C./log(x), 而且现在我们手里面有x与y对应的一大把数据。

我们需要根据x, y的值找出最佳的A、B、C值。则我们现在借助Matlab的函数lsqcurvefit，当然你也可以使用nlinfit、lsqnonlin甚至cftool拟合工具箱.其具体用法请自己用Matlab的帮助命令进行查看。这里仅简单介绍一下常用的函数lsqcurvefit。

正文：
格式:lsqcurvefit(f,a,x,y)

f: 符号函数句柄,如果是以m文件的形式调用的时候,别忘记加@.这里需要注意,f函数的返回值是和y匹对的,即拟合参数的标准是(f-y)^2取最小值,具体看下面的例子

a:最开始预估的值(预拟合的未知参数的估计值)。如上面的问题如果我们预估A为1,B为2,C为3,则a=[1 2 3]

x:我们已经获知的x的值

y:我们已经获知的x对应的y的值

例：
问题:对于函数y=a*sin(x)*exp(x)-b/log(x)我们现在已经有多组(x,y)的数据,我们要求最佳的a,b值

答案是 A = 8.0000 12.0000 resnorm =7.7179e-20

问题：我们知道函数是 y=A+B*exp(-(x/C).^2), 以及x y的数据

关于这个问题，我们发现它的初值设置的非常巧妙，对于初值的选取，我在大佬的一篇文章(http://blog.163.com/shikang999@126/blog/static/172624896201463111856714/)阅读到：

拟合初值的选取问题

因为初值对拟合速度甚至结果有一定影响，因此这里就简单说一下确定数学模型后,拟合非线性问题时,初值的选取的问题。

1、如果已知数学模型，有一定物理意义，则建议根据物理意义选取。
2、当无法确定初值时，且你的数学模型有导数（如果求导模型很复杂甚至没有导数，则可进行简单的差分构造），则可以采用如下的办法进行

步骤:
(1)求出拟合函数的一阶导数【如果有必要可求更高阶导数】
(2)使用已知数据求出近似点的一阶导数
(3)代入一阶导数函数以及原函数求得初值近似值

例子:
已知一组数据x、y满足如下关系式，求拟合数据a、b、c、d的初始近似值
y = a + b * (x – c) ^ d

步骤:
(1) y’ = b * d * (x – c) ^ (d – 1)
(2)因为已知x、y数据,则根据差分法( y’=(y2-y1)/(x2-x1) )求得一组x、y’ 的近似值,这里记 f = y’
(3)将x、y’ 代入(1)式的方程得到如下三个方程进而求解出b、c、d
f[1] = b * d * (x[1] – c) ^ (d – 1) ①
f[2] = b * d * (x[2] – c) ^ (d – 1) ②
f[3] = b * d * (x[3] – c) ^ (d – 1) ③
(4)取任意一组x、y然后将b、c、d一起代入原方程 y = a + b * (x – c) ^ d 进而可以求得近似值 a
(5)至此 a、b、c、d初始近似值确定完毕！

**例：(**多元的情况,注意看格式)

问题:我们已知z=a*(exp(y)+1)-sin(x)*b且有多组(x,y,z)的值,现在求最佳系数a,b

ans =4.5000 13.8000