二叉查找树与平衡二叉树

二叉查找树

　　二叉查找树，也称二叉搜索树，或二叉排序树。其定义也比较简单，要么是一颗空树，要么就是具有如下性质的二叉树：

（1）若任意节点的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；

（2） 若任意节点的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；

（3） 任意节点的左、右子树也分别为二叉查找树；

（4） 没有键值相等的节点。

　　如上图所示，是不同形态的二叉查找树。二叉查找树是对要查找的数据进行生成树，左支的值小于右支的值。在查找的时候也是一样的思路，从根节点开始，比节点大进入右支，比节点小进入左支，直到查找到目标值。

　　二叉查找树的插入算法比较简单：空树，就首先生成根节点；不是空树就按照查找的算法，找到父节点，然后作为叶子节点插入，如果值已经存在就插入失败。

　　删除操作稍微复杂一点，有如下几种情况：

​ （1）如果删除的是叶节点，可以直接删除；

​ （2）如果被删除的元素有一个子节点，可以将子节点直接移到被删除元素的位置；

​ （3）如果有两个子节点，这时候就采用中序遍历，找到待删除的节点的后继节点，将其与待删除的节点互换，此时待删除节点的位置已经是叶子节点，可以直接删除。如下图：

将待删除节点与后继节点互换，变成如下图所示：

将待删除元素删除，如下图所示：

　　另外，二叉查找树还有一个性质，即对二叉查找树进行中序遍历，即可得到有序的数列。

​　　二叉查找树的查询复杂度，和二分查找一样，插入和查找的时间复杂度均为 O(logn) ，但是在最坏的情况下仍然会有 O(n) 的时间复杂度。原因在于插入和删除元素的时候，树没有保持平衡（如上不同形态的二叉树图中的b）。

平衡二叉树

​　　平衡二叉搜索树，又被称为AVL树，且具有以下性质：它是一棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1，并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树。 —-来自百度百科

​　　由于普通的二叉查找树会容易失去”平衡“，极端情况下，二叉查找树会退化成线性的链表，导致插入和查找的复杂度下降到 O(n) ，所以，这也是平衡二叉树设计的初衷。那么平衡二叉树如何保持”平衡“呢？根据定义，有两个重点，一是左右两子树的高度差的绝对值不能超过1，二是左右两子树也是一颗平衡二叉树。

　　如下图所示，左图是一棵平衡二叉树，根节点10，左右两子树的高度差是1，而右图，虽然根节点左右两子树高度差是0，但是右子树15的左右子树高度差为2，不符合定义，所以右图不是一棵平衡二叉树。

​　　由此可以看出平衡二叉树是一棵高度平衡的二叉查找树。所以，要构建跟维系一棵平衡二叉树就比普通的二叉树要复杂的多。在构建一棵平衡二叉树的过程中，当有新的节点要插入时，检查是否因插入后而破坏了树的平衡，如果是，则需要做旋转去改变树的结构。

　　关于旋转，这东西不拿动态图将还真很难讲明白。所以我就借一下 最容易懂得红黑树 这篇文章中左旋右旋的图来讲。

​ 左旋：

​

​ 右旋：

　　不同于顺时针跟逆时针变换这种方式去记忆，上面两个动态图特别方便记忆跟理解：

　　左旋就是将节点的右支往左拉，右子节点变成父节点，并把晋升之后多余的左子节点出让给降级节点的右子节点；

　　而右旋就是反过来，将节点的左支往右拉，左子节点变成了父节点，并把晋升之后多余的右子节点出让给降级节点的左子节点。

　　即左旋就是往左变换，右旋就是往右变换。不管是左旋还是右旋，旋转的目的都是将节点多的一支出让节点给另一个节点少的一支。

​　　举个例子，像上图是否平衡二叉树的图里面，左图在没插入前”19“节点前，该树还是平衡二叉树，但是在插入”19“后，导致了”15“的左右子树失去了”平衡“，所以此时可以将”15“节点进行左旋，让”15“自身把节点出让给”17“作为”17“的左树，使得”17“节点左右子树平衡，而”15“节点没有子树，左右也平衡了。如下图，

　　由于在构建平衡二叉树的时候，当有新节点插入时，都会判断插入后时候平衡，这说明了插入新节点前，都是平衡的，也即高度差绝对值不会超过1。当新节点插入后，有可能会有导致树不平衡，这时候就需要进行调整，而可能出现的情况就有4种，分别称作左左，左右，右左，右右。

左左：

　　左左即为在原来平衡的二叉树上，在节点的左子树的左子树下，有新节点插入，导致节点的左右子树的高度差为2，如上即为”10“节点的左子树”7“，的左子树”4“，插入了节点”5“或”3“导致失衡。

​　　左左调整其实比较简单，只需要对节点进行右旋即可，如下图，对节点”10“进行右旋，

　　注意：如果对左右旋变换还不是很懂或不是很熟练的，可以对照着前面的那两个动图去想象，自己动手变换几次，就明白了。

左右：

　　左右即为在原来平衡的二叉树上，在节点的左子树的右子树下，有新节点插入，导致节点的左右子树的高度差为2，如上即为”11“节点的左子树”7“，的右子树”9“，插入了节点”10“或”8“导致失衡。

　　左右的调整就不能像左左一样，进行一次旋转就完成调整。我们不妨先试着让左右像左左一样对”11“节点进行右旋，结果图如下，右图的二叉树依然不平衡，而右图就是接下来要讲的右左，即左右跟右左互为镜像，左左跟右右也互为镜像。

　　右右跟左左一样，只需要旋转一次就能把树调整平衡，而左右跟右左也一样，都要进行旋转两次才能把树调整平衡，所以，首先上图的这种调整是错误的，正确的调整方式是，将左右进行第一次旋转，将左右先调整成左左，然后再对左左进行调整，从而使得二叉树平衡。

​　　即先对上图的节点”7“进行左旋，使得二叉树变成了左左，之后再对”11“节点进行右旋，此时二叉树就调整完成，如下图，

右左：

​　　右左即为在原来平衡的二叉树上，在节点的右子树的左子树下，有新节点插入，导致节点的左右子树的高度差为2，如上即为”11“节点的右子树”15“，的左子树”13“，插入了节点”12“或”14“导致失衡。

​　　前面也说了，右左跟左右其实互为镜像，所以调整过程就反过来，先对节点”15“进行右旋，使得二叉树变成右右，之后再对”11“节点进行左旋，此时二叉树就调整完成，如下图，

右右：

　　右右即为在原来平衡的二叉树上，在节点的右子树的右子树下，有新节点插入，导致节点的左右子树的高度差为2，如上即为”11“节点的右子树”13“，的左子树”15“，插入了节点”14“或”19“导致失衡。

　　右右只需对节点进行一次左旋即可调整平衡，如下图，对”11“节点进行左旋。

​　　平衡二叉树构建的过程，就是节点插入的过程，插入失衡情况就上面4种，算简单了，下面讲下平衡二叉树节点的删除，删除的情况会复杂一点，复杂的原因主要在于删除了节点之后要维系二叉树的平衡，但是删除二叉树节点总结起来就两个判断：①删除的是什么类型的节点？②删除了节点之后是否导致失衡？

　　节点的类型有三种：1.叶子节点；2.只有左子树或只有右子树；3.既有左子树又有右子树。

​　　针对这三种节点类型，再引入判断②，所以处理思路分别是：

（1）当删除的节点是叶子节点，则将节点删除，然后从父节点开始，判断是否失衡，如果没有失衡，则再判断父节点的父节点是否失衡，直到根节点，此时到根节点还发现没有失衡，则说此时树是平衡的；如果中间过程发现失衡，则判断属于哪种类型的失衡（左左，左右，右左，右右），然后进行调整。

（2）删除的节点只有左子树或只有右子树，这种情况其实就比删除叶子节点的步骤多一步，就是将节点删除，然后把仅有一支的左子树或右子树替代原有结点的位置，后面的步骤就一样了，从父节点开始，判断是否失衡，如果没有失衡，则再判断父节点的父节点是否失衡，直到根节点，如果中间过程发现失衡，则根据失衡的类型进行调整。

（3）删除的节点既有左子树又有右子树，这种情况又比上面这种多一步，就是中序遍历，找到待删除节点的前驱或者后驱都行，然后与待删除节点互换位置，然后把待删除的节点删掉，后面的步骤也是一样，判断是否失衡，然后根据失衡类型进行调整。

　　最后总结一下，平衡二叉树是一棵高度平衡的二叉树，所以查询的时间复杂度是 O(logN) 。插入的话上面也说，失衡的情况有4种，左左，左右，右左，右右，即一旦插入新节点导致失衡需要调整，最多也只要旋转2次，所以，插入复杂度是 O(1) ，但是平衡二叉树也不是完美的，也有缺点，从上面删除处理思路中也可以看到，就是删除节点时有可能因为失衡，导致需要从删除节点的父节点开始，不断的回溯到根节点，如果这棵平衡二叉树很高的话，那中间就要判断很多个节点。所以后来也出现了综合性能比其更好的树—-红黑树，后面再讲。