本文列举了微分方程的公式，当做一个笔记，如果后面有地方用得上就回来翻翻。
当然本文是为了求解模型中用得上的微分方程而书写的，并非是为了考研或者本科课程应试，所以不会有例题，只会有对应的解法。同时公式和解法不一定是完全的，后面如果还遇到了到时候再进行补充。

对了宝贝儿们，卑微小李的公众号【野指针小李】已开通，期待与你一起探讨学术哟~摸摸大！

1 微分方程

要了解微分方程，得从微分说起，微分的核心是变化率。就比如速度$v=\frac{dx}{dt}$，即每一时刻距离的变化；而加速度$a=\frac{dv}{dt}$，即每一时刻速度的变化。

有了这个概念后，我们再来看微分方程，简单来说就是由变化率构成的一个方程。其使用场景为：描述相对变量比绝对量更容易时。

微分方程分为两部分：

1. 常微分方程（Ordinary Differential Equations, ODE）：函数自变量只有一个，如：$y^{\prime }(x)=py+q$。
2. 偏微分方程（Partial Differential Equations, PDE）：函数有多个自变量，如：$\frac{\partial T}{\partial t}(x,y,t)=\frac{{\partial }^{2}T}{\partial x^2}(x,y,t)+\frac{{\partial }^{2}T}{\partial y^2}(x,y,t)$

微分方程也可以分为一阶方程和高阶方程，具体的组成（解法）如下图：

2 一阶方程

2.1 一阶线性微分方程

形如：

$$y^{\prime }+p(x)y=q(x)$$

若：

1. $q(x)=0$，则是一阶线性齐次微分方程；
2. $q(x)\ne 0$，则是一阶线性非齐次微分方程；

通解：
$$y=e^{-\int p(x)dx}[\int q(x)e^{\int p(x)dx}dx+c]$$

2.2 变量可分离

形如：
$$\int g(y)dy=\int f(x)dx$$

解法：
$$\frac{dy}{dx}=\frac{g(y)}{f(x)}\to G(y)=F(x)+c$$

就是将$dy$与$dx$移到一边，其余的移动到另外一边。

2.3 齐次方程

形如：
$$\frac{dy}{dx}=f(\frac{y}{x})$$

解法：

1. 令$\frac{y}{x}=u$，则$dy=udx+xdu$
2. 代入原方程。

2.4 伯努利方程

形如：
$$y^{\prime }+p(x)y=q(x)y^n$$

解法：

1. 等式两边同时除$y^n$，得到$y^{-n}{y}^{\prime }+y^{1-n}p(x)=q(x)$
2. 令$y^{1-n}=u$；
3. 对第二步结果求导得：$(1-n)y^{-n}{y}^{\prime }=\frac{du}{dx}\to y^{-n}{y}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{1-n}=\frac{1}{1-n}\frac{du}{dx}$;
4. 将步骤3结果与步骤2结果代入步骤1：$\frac{1}{1-n}\frac{du}{dx}+up(x)=q(x)$；
5. 接着依据步骤4的情况来选择使用什么通解公式求解。

2.5 全微分方程

形如：
$$P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$$

就是说函数$P$和函数$Q$都是包含了$x$和$y$的。

解法：

1. 线积分法：$\Phi (x,y)={\int }_{x_0}^{x}P(x,y)dx+{\int }_{y_0}^{y}Q(x,y)dy$或$\Phi (x,y)={\int }_{(x_0,y_0)}^{(x,y)}P(x,y)dx+Q(x,y)dy$
2. 偏积分法：$\frac{\partial \Phi }{\partial x}=P(x,y),\frac{\partial \Phi }{\partial y}=Q(x,y)$，第一个等式对$x$积分得$\Phi (x,y)=\int P(x,y)dx+\psi (y)$，代入第二个等式求$\psi (y)$，即可得$\Phi (x,y)$
3. 凑微分法：凑微分得$\Phi (x,y)$

3 高阶方程

3.1 可降解方程

3.1.1 $y^{\prime \prime }=f(x,y^{\prime })$

解法：

1. 令$y^{\prime }=P(x)$，则$y^{\prime \prime }=P^{\prime }(x)$
2. 代入原方程：$P^{\prime }(x)=f(x,P(x))$，求$P(x)$
3. 将$P(x)$积分求得通解

3.1.2 $y^{\prime \prime }=f(y,y^{\prime })$

解法：

1. 令$y^{\prime }=P(y)$，$y^{\prime \prime }=\frac{dP}{dy}\frac{dy}{dx}=P\frac{dP}{dy}$
2. 代入原方程得：$P\frac{dP}{dy}=f(y,P(y))$
3. 求解$P(y)$得$\frac{dy}{dx}$
4. 对$P(y)$积分求得通解

3.2 高阶常系数微分方程

定义：
$$a_n\frac{d^{n}y}{d{x}^n}+a_{n-1}\frac{d^{n-1}y}{d{x}^{n-1}}+...+a_1\frac{dy}{dx}+a_{0}y=f(x)$$

若：

1. $f(x)=0$，则为齐次方程；
2. $f(x)\ne 0$，则为非齐次方程。

由于我现在还用不上高阶常系数非齐次微分方程，所以没有看特解的求法，如果以后看了在做补充。

高阶常系数齐次微分方程解的结构为：
$$y=c_1{y}_1(x)+c_2{y}_2(x)+...+c_n{y}_n(x)$$

齐次方程的解法为：

1. 先将非齐转换为齐，即令$f(x)=0$
2. 找到特征方程的特征根，假设微分方程为$y^{\prime \prime }+2y^{\prime }+y=0$，特征方程为${\lambda }^2+2\lambda +1=0$，其特征根：${\lambda }_1={\lambda }_2=-1$，即$\lambda$最高为多少次，那么就有多少个特征根
3. 通过特征根形式来寻找通解公式。

现在问题转换为了特征根形式，特征根从大方向上来说一共有3类：

1. 每个特征根都是单重根；
2. 有重根；
3. 有复数根。

3.2.1 都是单根

通解为：
$$y=c_1{e}^{{\lambda }_{1}x}+c_2{e}^{{\lambda }_{2}x}+...+c_n{e}^{{\lambda }_{n}x}$$

3.2.2 有重根

通解为：
$$y=c_1{e}^{\lambda x}+c_{2}x{e}^{\lambda x}+...+c_n{x}^{n-1}{e}^{\lambda x}=e^{\lambda x}(c_1+c_{2}x+...+c_n{x}^{n-1})$$

3.2.3 有复数根

$\lambda =\alpha \pm i\beta$，这里虽然复数是成对出现，但是当做是一个根。

先给出通解形式，再补充点推导过程。

通解：
$$y=c_1{e}^{\alpha x}cos\beta x+c_2{e}^{\alpha x}sin\beta x$$

推导过程：

先补充欧拉方程：
$$e^{ix}=cosx+isinx$$

由欧拉公式进行推导，先推导$\lambda =\alpha +i\beta$：
$$\begin{array}{rl}{e}^{(\alpha +i\beta )x}& =e^{\alpha x+i\beta x}\\ & =e^{\alpha x}(cos\beta x+isin\beta x)\\ & =e^{\alpha x}cos\beta x+i{e}^{\alpha x}sin\beta x\\ & =c_1{e}^{\alpha x}cos\beta x+c_2{e}^{\alpha x}sin\beta x\end{array}$$

这里$c_2$实际上是包含了$i$的。

同理，$\lambda =\alpha -i\beta$如下：
$$\begin{array}{rl}{e}^{(\alpha -i\beta )x}& =e^{\alpha x-i\beta x}\\ & =e^{\alpha x}(cos\beta x-isin\beta x)\\ & =e^{\alpha x}cos\beta x-i{e}^{\alpha x}sin\beta x\\ & =c_1{e}^{\alpha x}cos\beta x+c_2{e}^{\alpha x}sin\beta x\end{array}$$
因为$cos(-x)=cosx,sin(-x)=-sinx$，所以可以获得上面公式，这里$c_2$是包含了$-i$的。

4 参考

[1]3Blue1Brown.【官方双语】微分方程概论-第一章[EB/OL].https://www.bilibili.com/video/BV1tb411G72z,2019-4-24.
[2]3Blue1Brown.【官方双语】微分方程概论-第二章：什么是偏微分方程？[EB/OL].https://www.bilibili.com/video/BV1q4411p7NX,2019-5-27.
[3]math也是柠檬精.半小时内搞定一阶常微分方程（带技巧和例题）[EB/OL].https://www.bilibili.com/video/BV1qJ411A7QK?from=search&seid=10597070231979640473,2019-9-15.
[4]math也是柠檬精.半小时搞定高阶线性微分方程[EB/OL].https://www.bilibili.com/video/BV1qE411h7yp,2019-10-29.
[5]柠檬草嘉6的店.可降解的高阶微分方程[EB/OL].https://wenku.baidu.com/view/c05bb71cdcccda38376baf1ffc4ffe473368fda4.html,2019-3-8.
[6]风车飞了的店.全微分方程的解法[EB/OL].https://wenku.baidu.com/view/faefc09dc4da50e2524de518964bcf84b8d52d6c.html,2018-11-16.