1.基本概念
约翰·彼得·古斯塔夫·勒热纳·狄利克雷（1805－1859），德国数学家，创立了现代函数的正式定义。
狄利克雷提出了一个非常古怪的函数，叫做狄利克雷函数，专门有个符号D(X)来表示：
特点：
狄利克雷函数，因为无理数、有理数的混杂，所以函数值也是
互相参杂，可以直观的想象，该函数：
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画不出图像
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处处没有极限
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处处不连续
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这是一个有界函数
其实也可以勉强画出它的图像，在宏观角度下看
但实际上它的图像不是正真连续的直线，在微观上看，这两条直线应该充满了许多的小洞，因为实数是由有理数，无理数才可以铺满它。
所以狄利克雷函数并不是连续函数。（连续函数的定义需满足：1.在此处有定义；2.在此区间内有极限）因为它虽然在实数范围内有定义，但是函数图像来回波动，没有一个确切的极限。
用严谨的数学表达式可以写成如下格式：
大白话解释：
（1）首先第一个明白什么是有理数，无理数，小学我们就学过，无理数是无限不循环小数,有理数是有限小数或无限循环小数,任何一个有理数后可以化为分数的形式，而无理数则不能。
注意：（3.000也是有限小数，也就是说整数可以化成小数形式，即所有整数都是有理数）
（2）狄利克雷函数可以构造单点连续函数
虽然说狄利克雷函数不是一个连续函数，但是却可以利用它构造连续函数，确切来说可以利用它来构造在某个区间或者某个点连续的函数。
首先你已经知道了狄利克雷函数虽然不是连续函数，但是它是一个有界函数【0，1】，我们必须了解有界与连续有什么关系。
有界与连续：如果一个函数有界，并且这个函数单调（单调递增，递减，不变都可以），那么这个函数有极限。
通过上述分析，我相信你一定明白了，对于狄利克雷函数函数在构造连续函数方面的优点在哪里了，就是它是一个一个有界函数，那么在给它加上个单调的装备，它就可以变身连续函数了。
首先你要明白，数学中的“连续”是定义在点上的概念，而非某一线段。
所以自然而然存在单点连续函数，请注意，这个单点连续函数只在这个点上连续。
下面是狄利克雷函数构造的单点连续函数。
并且根据狄利克雷函数的性质，仅在点连续，这是一个单点连续的函数。
上面稀里哗啦一大堆，大白话就是说函数：
在x=0处有定义，且在x->0时函数极限存在，所以这个函数在x=0处连续。
自然，狄利克雷函数可以构造单点连续函数，自然多点连续函数也是小菜一碟。如下：
构造出仅在点连续的函数
好了，狄利克雷函数就到这里了。
