笔者使用的数学分析教材为陈纪修、於崇华、金路教授编著的《数学分析(第三版)》,学习期间自行发现了Dini定理的一个新证法,特于此记录,方便日后对比学习。
Dini定理 设函数序列{Sn(x)}在闭区间[a, b]上点态收敛于S(x),如果
- Sn(x)(n = 1,2,…)在[a, b]上连续;
- S(x) 在[a, b]上连续;
- {Sn(x)}关于n单调,即对任意固定的x∈[a, b],{Sn(x)}是单调数列,
则{Sn(x)}在[a, b]上一致收敛于S(x).
证 ∀x∈[a, b] ∀ε > 0, ∃Nx ∈ N, st. ∀n ≥ Nx |Sn(x) – S(x)| < ε/3
∃δx > 0 st. ∀ y ∈ (x – δx, x + δx), |S(y) – S(x)| < ε/3
∃δx,Nx > 0 st. ∀ y ∈ (x – δx,Nx, x + δx,Nx), |SNx(y) – SNx(x)| < ε/3
取δx‘ = min{δx, δx,Nx}
∀ y ∈ (x – δx‘, x + δx‘), |S(y) – SNx(y)| < |S(y) – S(x)| + |S(x) – SNx(x)| + |SNx(x) – SNx(y)| < ε
再根据Sn(x)的单调性可知,|S(y) – Sn(y)| ≤ |S(y) – SNx(y)| < ε ( ∀n ≥ Nx )
集合 {(x – δx‘, x + δx‘)| x∈[a, b]} 构成了区间[a ,b]的一个开覆盖,由有限覆盖定理可知,
∃x1,x2,…,xm ∈[a, b], st. {(xi – δxi‘, xi + δxi‘)| i∈{1, 2, …, m} }是[a, b]的一个开覆盖
取N = max{Nx1, Nx2, …, Nxm},可知 ∀n ≥ N |Sn(x) – S(x)| < ε 对 ∀x∈[a, b]都成立,即一致收敛 □
8.19 博文:利用多种实数系基本定理证明Dini定理 是更进一步的讨论
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