二元函数的极值点怎么求1/4x^2*y^2_三元函数求极值例题

二元函数 是  z = f ( x, y )  ，  或者  f ( x, y, z ) = 0 ，  

 

比如，  z = f ( x, y )  ，  有 2 个 自变量 x, y，   有 1 个 因变量 y，   这是 二元函数 。

 

或者，  f ( x, y, z ) = 0 ，  这种，  跟 z = f ( x, y )   也 差不多，  可以叫 二元隐函数 。

 

不过 ，  f ( x, y, z ) = 0   是 一个方程，   和 x, y 对应 的 z 可能 不止一个，  这是 和 z = f ( x, y )   的 区别 。

 

比如 ，  球面  x ² + y ² + z ² = r ²   ,    r 为常量  ，    是一个 方程， 也是 隐函数 。

 

z = 根号 ( r² – x ² – y ² )     就是 半个球面，  另外 半个球面 是   z =  – 根号 ( r ² – x ² – y ² )    。

 

总之呢，    把  ( x, y )  的 集合 看作 p 的 集合，  p 是一个 ( x, y,  0 ) 处 的 点，  0 是 z 坐标  。

z = f ( x, y )  可以看作 写成   z = f ( p )  ，

给 p 指定 一个 定义域，  这个 定义域 是 xy 平面 上 的 一个 区域，  也 可以说 是 一个 平面图形，

则 在 定义域 内，    z = f ( p )  的  极值点     在哪里，  有几个  ？

 

z = f ( p )  是 定义域 上方（下方）  的 曲面，    极值点 就是 曲面 上 的 峰顶 和 谷底   。

 

这个 问题 也和 霍奇猜想 有关  。

 

z = f ( p )   的 定义域 是 二维平面 上 的 一个 区域，  这种 函数 称为  二维自变量 函数 。  这种 函数 的 自变量 是一个 元组  ( x, y )  ，   p = ( x, y )  。

同理，  可以有  三维自变量 函数，  比如    a = f ( p )  ,   p = ( x, y, z )     。

还可以有 四维自变量函数，  五维自变量函数，  ……  ， n 维自变量函数     。

 

 

z = f ( p )   是 一个  二维自变量函数，   也是 一个 二元函数，   用哪个叫法都可以 。

z = f ( p )   是 三维坐标系 里 的 一个 曲面，     可以想象，    以  xy 平面 为 “底面”，   曲面 在  z 方向上 高低起伏，  就像是 喀斯特地貌 上 的 一个个 小山峰，  这些 小山峰 的 顶点  就是 极值点  。

用 直观 和 逻辑 分析一下，   可以知道，   作一些 平面， 垂直于 xy 平面，   这些 平面 过 小山峰 的 顶点 和 曲面 相交， 得到 的 相交线 称为 垂面交线， 垂面交线 也是 函数曲线 。     对于 每条 垂面交线，  小山峰 的 顶点  就是 垂面交线 的 极值点 。

即，  曲面 的 极值点 也是 过 该 极值点 的 每一条 垂面交线 的 极值点 。

 

进一步，  可以发现，   如果 曲面 上 的 一点 不是 极值点，    则 过 该点 任意 取 两条 垂面交线，    该点 必然 不会同时 是 这两条 垂面交线 的 极值点  。 

反过来，  可以说，    过 曲面 上 的 一点 取 任意 两条 垂面交线，   若 该点 对 两条 垂面交线 都是 极值点，   则 该点  是 曲面 的 极值点 。

也可以说，    过 曲面 上 的 一点 取 任意 两条 垂面交线，   若 该点 是 两条 垂面交线 的 极值点，   则 该点  是 曲面 的 极值点 。

这可以 称为  二元函数极值定理  。

二元函数极值定理 表示 曲面 上 两条 垂面交线 可以 决定 曲面 的 极值点，    曲面 上 两条 垂面交线 相交， 若 交点 是 两条 垂面交线 的 极值点，  则 交点 是 曲面 的 极值点 。

 

垂面  垂直于 xy 平面，    可以平行于  xz 平面  或  yz 平面  。   我们可以让 两个垂面 一个 平行于 xz 平面， 一个 平行于 yz 平面，      此时，   二元函数极值定理 可以写成 偏导数 的 形式 ：

 

对于 二元函数  z = f ( x, y ) ，    若  ( X₀, Y₀ )  处 的 偏导数   ∂ z / ∂ x = 0  且  ∂ z / ∂ y = 0  ，   则  ( X₀, Y₀ )  处 是 曲面 的 极值点  。

也可以 严格一点 表达，   对于  二元函数  z = f ( x, y ) ，   当 x = X₀，  y = Y₀ 时，  若 偏导数   ∂ z / ∂ x = 0  且  ∂ z / ∂ y = 0  ，   则   ( X₀, Y₀,  z )   是 极值点  。

 

嗯  ……    看来 偏导数 还是 有点用的 。

 

进一步，  可以推想，  对于 n 元函数，   极值条件 和 上述 的 二元函数 的 情形 也是 类似 的，   可以 表达为 ：

 

对于 n 元函数，  y = f ( x1, x2, x3, …… , xn )   ，   若 在  ( X1, X2, X3, …… , Xn ) 处，    满足 以下 方程组 ：

 

∂ y / ∂ x1 = 0 

∂ y / ∂ x2 = 0 

∂ y / ∂ x3 = 0 

……

∂ y / ∂ xn = 0 

 

则       ( X1, X2, X3, …… , Xn )  处   是  y 的 极值点  。

 

这 称为  n 元函数极值定理  。

 

应该指出，     满足 二元函数极值定理 和 n 元函数极值定理 的 点 不一定 是 极值点，  也有可能是 驻点 （又称为平稳点、稳定点或临界点），  可以参考 一元函数 驻点（又称为平稳点、稳定点或临界点） 的 概念  。

 

可以 用 一个 图 简单 的 看一下 一元函数 的 极值点 和 驻点 ：

 

 

 

三维曲面 和 高维曲面 上 的 驻点 的 情形 比 二维曲线（一元函数） 的 驻点 更复杂一些  。  可以把  z = sin x + sin y   的 曲面 画出来 看看 。

 

 

我在 《关于 牛顿 一个晚上 搞定 最速降线》  https://www.cnblogs.com/KSongKing/p/12944582.html   的 文末 留 的 那道题 也可以看作 一个 二元函数极值问题 。

 

那道题 是 这样 ：

 

                         

 

 

如图，      光线 从 A 点 出发，  沿 AC 以 速度 v1 到达 C 点，   沿 CD 以 速度 v2 到达 D 点，  沿 DB 以 速度 v3 到达 B 点，

A 点坐标 是  ( 0,  3h ) ，  B 点 坐标 是  ( L,  0 ) ，  C 点 坐标 是  ( xc,  2h )  ，  D 点 坐标 是  ( xd,  h )  ，  h 、L  为 常量  。

问  C 点 D 点 的 横坐标 xc 、xd  是 多少 时，   光 从 A 到 B 的 时间 最短 ？

 

这个题 在 本文 里 命名为  题 (1)  。

 

可以用 二元函数极值 的 思路 来 做这个题 ：

 

可以把 A 、B 、C 、D    四 个 点 的 坐标 改为   ( Xa, Ya ) 、( Xb, Yb ) 、( xc, Yc ) 、( xd, Yd )  ，     xc, xd 为 变量，     Xa, Ya, Xb, Yb, Yc, Yd  为 常量 。

为了便于叙述，   把  A 点 、B 点 、 C 点 、 D 点 的  y 坐标 记为  Ya, Yb, Yc, Yd，   原来 是 3h, 0, 2h, h ，  实际上，  到最后， 会发现 结论 和 y 坐标 的 具体取值 没有关系 。

 

设 光 从 A 沿 AC – CD – DB 路径到达 B 的 时间 为 t  ，

 

t =  AC / v1 + CD / v2 + DB / v3

=   根号 [ ( xc – Xa ) ² + ( Yc – Ya ) ² ] / v1  +  根号 [ ( xd – xc ) ² + ( Yd – Yc ) ² ] / v2  +  根号 [ ( Xb – xd ) ² + ( Yb – Yd ) ² ] / v3

 

t = 根号 [ ( xc – Xa ) ² + ( Yc – Ya ) ² ] / v1  +  根号 [ ( xd – xc ) ² + ( Yd – Yc ) ² ] / v2  +  根号 [ ( Xb – xd ) ² + ( Yb – Yd ) ² ] / v3    (1) 式

 

光 从 A 到 B 的 时间最短 就是 t 取 最小值，      这是 t 的 极值问题  。

(1) 式 中 xc, xd 为 自变量，  t 为 因变量，  其它 为 常量  。      求  xc, xd   取什么值时，   t 取极值  。

 

t 是 xc 、xd 的 函数，   记为  t = f ( xc, xd ) ，     这是一个 二元函数  。

 

根据 二元函数极值定理，     可以列方程组 ：

 

∂ t / ∂ xc = 0             1-1 式

∂ t / ∂ xd = 0             1-2 式

 

为了便于叙述，   这个 方程组 称为 方程组 (1)，   方程组 (1) 的 解 就是  t  的  极值条件 。

 

1-1 式 可得 ：

∂  {  根号 [ ( xc – Xa ) ² + ( Yc – Ya ) ² ] / v1  +  根号 [ ( xd – xc ) ² + ( Yd – Yc ) ² ] / v2  +  根号 [ ( Xb – xd ) ² + ( Yb – Yd ) ² ] / v3  }  /  ∂ xc  =  0

∂  {  根号 [ ( xc – Xa ) ² + ( Yc – Ya ) ² ] / v1  } / ∂ xc   +  ∂  {  根号 [ ( xd – xc ) ² + ( Yd – Yc ) ² ] / v2  } / ∂ xc    +   ∂  {  根号 [ ( Xb – xd ) ² + ( Yb – Yd ) ² ] / v3  } / ∂ xc  =  0

∂  {  根号 [ ( xc – Xa ) ² + ( Yc – Ya ) ² ] / v1  } / ∂ xc   +  ∂  {  根号 [ ( xd – xc ) ² + ( Yd – Yc ) ² ] / v2  } / ∂ xc    +   0   =   0

∂  {  根号 [ ( xc – Xa ) ² + ( Yc – Ya ) ² ] / v1  } / ∂ xc   +  ∂  {  根号 [ ( xd – xc ) ² + ( Yd – Yc ) ² ] / v2  } / ∂ xc   =   0

1 / v1  *   1/2  *  1 / 根号 [ ( xc – Xa ) ² + ( Yc – Ya ) ² ]   *   ( 2 xc – 2 Xa )   +    1 / v2  *  1/2  *  1 / 根号 [ ( xd – xc ) ² + ( Yd – Yc ) ² ]  *  ( 2 xc – 2 xd )  =   0

1 / v1  *   ( xc – Xa ) / 根号 [ ( xc – Xa ) ² + ( Yc – Ya ) ² ]   +   1 / v2  *   ( xc – xd ) / 根号 [ ( xd – xc ) ² + ( Yd – Yc ) ² ]   =   0

1 / v1  *   ( xc – Xa ) / 根号 [ ( xc – Xa ) ² + ( Yc – Ya ) ² ]    –    1 / v2  *   ( xd – xc ) / 根号 [ ( xd – xc ) ² + ( Yd – Yc ) ² ]   =   0

1 / v1  *   ( xc – Xa ) / 根号 [ ( xc – Xa ) ² + ( Yc – Ya ) ² ]   =   1 / v2  *   ( xd – xc ) / 根号 [ ( xd – xc ) ² + ( Yd – Yc ) ² ]          (2) 式

 

因为   

 

( xc – Xa ) / 根号 [ ( xc – Xa ) ² + ( Yc – Ya ) ² ]   =   sin θ1

( xd – xc ) / 根号 [ ( xd – xc ) ² + ( Yd – Yc ) ² ]   =   sin θ2 

 

所以，     (2) 式 可化为 ：

 

sin θ1 / v1 = sin θ2 / v2

 

同理，   1-2 式 可得     sin θ2 / v2 = sin θ3 / v3    ，       于是

 

sin θ1 / v1 = sin θ2 / v2           (3) 式

sin θ2 / v2 = sin θ3 / v3           (4) 式

 

这就是 方程组 (1)  的 解 ，    也就是 t 的 极值条件，    也就是 本题 答案，    当 满足 (3) 式 (4) 式 时，  光  从 A 到 B 的 时间 最短  。

 

其实 极值点 的 意义 是  峰值 谷值，   极值点 可能 不止  一个，   极值点 也不一定 是 最大值 最小值，   但 这些问题  我们暂不考虑， 在 下文 里 也一样 。

 

 

接下来，  我们来解 最速降线 问题  。      这个课题 在 本文 命名为 题 (2)   。

 

                        

 

 

如图，   已知 A 、B 两点，   A 、B 的 位置 确定 。   A 点 坐标 是  ( Xa, Ya ) ，  B 点 坐标 是  ( Xb, Yb )   。

和 伯努利推导法  一样，    在  A 、B 之间 的 y 方向 上 分为 等高 的  n + 1 层， ，  n -> 无穷，

由 机械能守恒 可知，    小球 从 A 点 滚落，  在 ( x, y ) 处 的 速度 v = V ( x, y ) = 根号 [ 2 g ( Ya – y ) ]   ，

在 每一层 的 分界线  取一个 点，   可得 n 个 点  P1, P2, P3 …… Pn ，     按  A, P1, P2, P3 …… Pn, B  这样 的 顺序 把 这些点 连起来，  可以 构成 一条 从 A 到 B 的 路径，   称为   APB   。

 

让 小球 沿 APB 路径 从 A 滚动 到 B，        求 当  P1, P2, P3 …… Pn  点 的 x 坐标 是 多少时，  小球 从 A 到 B 的 时间 最短  。

 

记  P1, P2, P3 …… Pn   的 坐标 为   ( x1, y1 ),  ( x2, y2 ),  ( x3, y3 )  ……  ( xn, yn )      ，     

规定 小球 从 A 到 P1 的 速度 是 V ( x1, y1 ) ，   从 P1 到 P2 的 速度 是  V ( x2, y2 ) ，  从 P2 到 P3 的 速度 是  V ( x3, y3 )  ……  以此类推 。

总之 就是 小球 从 第 n – 1 个 点 滚到 第 n 个 点 的 速度 是  V ( xn, yn )   。

小球 最后 从  Pn 滚动 到 B  的 速度 是  V ( Xb, Yb )  。

 

记

v1 = V ( x1, y1 )

v2 = V ( x2, y2 )

v3 = V ( x3, y3 )

……

vn = V ( xn, yn )

vb = V ( xb, yb )

 

设 小球 沿 APB 路径 从 A 滚动 到 B 的 时间 为 t，  

 

t =  AP1 / v1 + P1P2 / v2 + P2P3 / v3 + …… + PnB / vb

 

AP1 / v1  =   根号 [ ( x1 – Xa ) ² + ( y1 – Ya ) ² ]  /  v1   

P1P2 / v2  =  根号 [ ( x2 – x1 ) ² + ( y2 – y1 ) ² ]  /  v2

P2P3 / v3  =  根号 [ ( x3 – x2 ) ² + ( y3 – y2 ) ² ]  /  v3

……

PnB / vb  =  根号 [ ( Xb – xn ) ² + ( Yb – yn ) ² ]  /  vb

 

Xa, Ya, Xb, Yb  为 常量，    y1, y2, y3 …… yn 为 常量，    x1, x2, x3 …… xn  是 变量  。

可以看到 ，  t 是 x1, x2, x3 …… xn  的 函数，  可以记为  t =  f ( x1, x2, x3 …… xn )  ，   是一个 多元函数  。

 

小球 从 A 到 B 的 时间最短 就是 t 的 极值，       根据 n 元函数极值定理  ，    可以 列方程组 ：

 

∂ t / ∂ x1  =  0                2-1 式

∂ t / ∂ x2  =  0          

∂ t / ∂ x3  =  0           

……

∂ t / ∂ xn  =  0               

 

这个方程组 称为 方程组 (2)   。

 

先 化简  2-1 式  ，

 

∂ t / ∂ x1  =  0   

∂  {  AP1 / v1 + P1P2 / v2 + P2P3 / v3 + …… + PnB / vb  }  /  ∂ x1  =  0

∂ ( AP1 / v1 )  /  ∂ x1     +    ∂ ( P1P2 / v2 )  /  ∂ x1    +    ∂ ( P2P3 / v3 )  /  ∂ x1   +   ……   +   ∂ ( PnB / vb )  /  ∂ x1  =  0       (5) 式

 

因为    P2P3,  v3,  P3P4,  v4,   P4P5,  v5   ……   PnB,  vb     和  x1 无关，   所以

 

∂ ( P2P3 / v3 )  /  ∂ x1  =  0

∂ ( P3P4 / v4 )  /  ∂ x1  =  0

∂ ( P4P5 / v5 )  /  ∂ x1  =  0

……                             =  0

∂ ( PnB / vb )  /  ∂ x1    =  0

 

于是，  (5) 式 得 ：

∂ ( AP1 / v1 )  /  ∂ x1     +    ∂ ( P1P2 / v2 )  /  ∂ x1    +    0   +   ……   +   0  =  0  

∂ ( AP1 / v1 )  /  ∂ x1     +    ∂ ( P1P2 / v2 )  /  ∂ x1  =  0 

∂  { 根号 [ ( x1 – Xa ) ² + ( y1 – Ya ) ² ]  /  v1 }  /  ∂ x1   +   ∂  { 根号 [ ( x2 – x1 ) ² + ( y2 – y1 ) ² ]  /  v2 }  /  ∂ x1  =  0

 

因为  v1 = V ( x1, y1 ) = 根号 [ 2 g ( Ya – y1 ) ]  ，     可以看到，   v1 和 x1 无关，  或者说，  对于一个 确定 的 y1，  无论 x1 如何变化，  v1 不变，   所以， 相对于 x1，  v1 为 常量，   可以 提到   偏导符号  ∂ { }  外面 来 。   v2 也是 同样 。

 

接下来 的 推导过程 和 方程组 (1) 的 1-1 式 类似，  同理可得 ：

 

1 / v1  *   ( x1 – Xa ) / 根号 [ ( x1 – Xa ) ² + ( y1 – Ya ) ² ]   =   1 / v2  *   ( x2 – x1 ) / 根号 [ ( x2 – x1 ) ² + ( y2 – y1 ) ² ]

sin θ1 / v1  =  sin θ2 / v2

 

方程组 (2) 的 其它 方程 同理 可得 ：

 

sin θ2 / v2  =  sin θ3 / v3

sin θ3 / v3  =  sin θ4 / v4

sin θ4 / v4  =  sin θ5 / v5

……

sin θn / vn  =  sin θb / vb

 

即       sin θ1 / v1  =  sin θ2 / v2  =  sin θ3 / v3  =  ……  =  sin θn / vn  =  sin θb / vb  =  C  ，     C 为常量

 

写成通式            sin θ / v  =  C   ，      C 为常量

 

啊，  这，      算是 证明了  最速降线 的 每个 微元 都 满足 斯涅耳定理（折射定律）  ？

 

 

再来看一个题 ，     这个题 在 本文 命名为 题 (3)  。

如图，    A 、B 两点 固定，  C 、D 两点 位置任意，   按 A 、C 、D 、B 的 顺序 把 4 个 点 连起来， 可以构成一条 从 A 到 B 的 路径，  称为 ACDB   。

问 C 、D 的 位置 为何 时，     路径  ACDB 最短 ？

 

                         

 

 

设 ACDB 长度 为  L，    A、B、C、D 的 坐标 为   ( Xa, Ya ) 、( Xb, Yb ) 、( xc, yc ) 、( xd, yd )  。

 

L = AC + CD + DB

=   根号 [ ( xc – Xa ) ² + ( yc – Ya ) ² ]  +  根号 [ ( xd – xc ) ² + ( yd – yc ) ² ]   +   根号 [ ( Xb – xd ) ² + ( Yb – yd ) ² ] 

 

L =  根号 [ ( xc – Xa ) ² + ( yc – Ya ) ² ]  +  根号 [ ( xd – xc ) ² + ( yd – yc ) ² ]   +   根号 [ ( Xb – xd ) ² + ( Yb – yd ) ² ] 

 

Xa, Ya, Xb, Yb  为 常量，     xc, yc, xd, yd  为 变量  。

 

L  是   xc, yc, xd, yd   的 函数，   可以记为  L =  f ( xc, yc, xd, yd )  ，    是 一个 四元函数  。

 

根据 n 元函数极值定理，  L 的 极值条件 是 以下 方程组 ：

 

∂ L / ∂ xc = 0           3-1 式

∂ L / ∂ yc = 0           3-2 式

∂ L / ∂ xd = 0           3-3 式

∂ L / ∂ yd = 0           3-4 式

 

这个 方程组 称为 方程组 (3)  。

 

化简  3-1 式 ：

∂  {  根号 [ ( xc – Xa ) ² + ( yc – Ya ) ² ]  +  根号 [ ( xd – xc ) ² + ( yd – yc ) ² ]   +   根号 [ ( Xb – xd ) ² + ( Yb – yd ) ² ]  }  /  ∂ xc  =  0

∂  {  根号 [ ( xc – Xa ) ² + ( yc – Ya ) ² ]  }  /  ∂ xc   +  ∂  {  根号 [ ( xd – xc ) ² + ( yd – yc ) ² ]  }  /  ∂ xc   +   ∂  {  根号 [ ( Xb – xd ) ² + ( Yb – yd ) ² ]  }  /  ∂ xc  =  0

∂  {  根号 [ ( xc – Xa ) ² + ( yc – Ya ) ² ]  }  /  ∂ xc   +  ∂  {  根号 [ ( xd – xc ) ² + ( yd – yc ) ² ]  }  /  ∂ xc   +   0  =  0

∂  {  根号 [ ( xc – Xa ) ² + ( yc – Ya ) ² ]  }  /  ∂ xc   +  ∂  {  根号 [ ( xd – xc ) ² + ( yd – yc ) ² ]  }  /  ∂ xc  =  0

1/2  *  1 / 根号 [ ( xc – Xa ) ² + ( yc – Ya ) ² ]   *   ( 2 xc – 2 Xa )     +    1/2  *   1 / 根号 [ ( xd – xc ) ² + ( yd – yc ) ² ]   *   ( 2 xc – 2 xd )  =  0

( xc – Xa )  / 根号 [ ( xc – Xa ) ² + ( yc – Ya ) ² ]     +    ( xc – xd ) / 根号 [ ( xd – xc ) ² + ( yd – yc ) ² ]  =  0

( xc – Xa )  / 根号 [ ( xc – Xa ) ² + ( yc – Ya ) ² ]     –    ( xd – xc ) / 根号 [ ( xd – xc ) ² + ( yd – yc ) ² ]  =  0

( xc – Xa )  / 根号 [ ( xc – Xa ) ² + ( yc – Ya ) ² ]    =    ( xd – xc ) / 根号 [ ( xd – xc ) ² + ( yd – yc ) ² ] 

sin θ1  =  sin θ2

 

同理，   3-2 式 可得 ：       cos θ1  =  cos θ2

3-3 式 可得 ：        sin θ2  =  sin θ3

3-4 式 可得 ：        cos θ2  =  cos θ3

 

于是，   方程组 (3) 的 解 是 ：

 

sin θ1  =  sin θ2             (6) 式

cos θ1  =  cos θ2           (7) 式

sin θ2  =  sin θ3             (8) 式

cos θ2  =  cos θ3           (9) 式

 

(6) 式 (8) 式  表示 C 、D 和 A 、B 在 一条直线上，  且 C 、D 在 A 、B 之间 。

(7) 式 (9) 式  也表示 C 、D 和 A 、B 在 一条直线上，  且 C 、D 在 A 、B 之间 。

(6) 式 和 (7) 式 等价，    (8) 式 和 (9) 式 等价 。

 

所以，  结论是，      当  A 、B 、C 、D 在 一条直线上，  且 C 、D 在 A 、B 之间 时，  路径 ACDB 最短  。

当然，  这个 结论 是 显而易见 的，     两点之间直线最短 嘛  。

 

 

接下来，  看看 曲面 上 的 短程线 。      短程线 就是 曲面 上 2 点 间 距离 最短 的 线（曲线 / 路径） 。      这个课题 在 本文 命名为 题 (4)  。

 

设有 曲面  P，   曲面函数 是   z = P ( x, y )   ，      曲面 上 有 A 、B  两点，   位置确定 。 A 、B 坐标 是  ( Xa, Ya, za ) 、( Xb, Yb, zb )  ，

其中，     za = P ( Xa, Ya ) ，   zb = P ( Xb, Yb )  ，           Xa, Ya, Xb, Yb 为 常量  。

在  曲面 上 取一些点 ：      P1, P2, P3 …… Pn   ，    按 A, P1, P2, P3 …… Pn, B  的 顺序 把  A 、B 和 这些点 连起来，  构成 一条 路径，  称为  APB  。

 

APB  是 一条 折线，   长度 记为 L  。

 

L  =   AP1  +  P1P2  +  P2P3  +  ……  +   PnB

=   根号 [ ( x1 – Xa ) ²  +  ( y1 – Ya ) ²  +  ( z1 – za ) ² ]  +  根号 [ ( x2 – x1 ) ²  +  ( y2 – y1 ) ²  +  ( z2 – z1 ) ² ]  +  根号 [ ( x3 – x2 ) ²  +  ( y3 – y2 ) ²  +  ( z3 – z2 ) ² ]  +  ……  +   根号 [ ( Xb – xn ) ²  +  ( Yb – yn ) ²  +  ( zb – zn ) ² ]

 

其中，      z1 = P ( x1, y1 )，   z2 = P ( x2, y2 )，    z3 = P ( x3, y3 )      ……     zn = P ( xn, yn )  

 

所以，     L 是   x1, y1, x2, y2, x3, y3 …… xn, yn  的 函数，   可以记为     L =   f  (  x1, y1, x2, y2, x3, y3 …… xn, yn  )   ，    是 一个 多元函数 。

 

当 n 为 一个 确定 的 自然数 时，   可以来求 最短 的 APB，   即 确定出  P1, P2, P3 …… Pn  的 位置，  使得 APB 最短  。

 

求 最短 的 APB 就是 求 L 的 极值 ，     根据  n 元函数极值定理，    可以 列方程组 ：

 

∂ L  /  ∂ x1  =  0              4-1 式

∂ L  /  ∂ y1  =  0              4-2 式

∂ L  /  ∂ x2  =  0

∂ L  /  ∂ y2  =  0

∂ L  /  ∂ x3  =  0

∂ L  /  ∂ y3  =  0

……

∂ L  /  ∂ xn  =  0

∂ L  /  ∂ yn  =  0

 

这个 方程组 称为  方程组 (4)  。

 

化简 4-1 式 ：

∂  ( AP1  +  P1P2  +  P2P3  +  ……  +   PnB )  /  ∂ x1  =  0

∂  ( AP1 )  /  ∂ x1   +   ∂  ( P1P2 ) / ∂ x1   +   ∂  ( P2P3 ) / ∂ x1   +  ……  +    ∂  ( PnB )  /  ∂ x1  =  0

 

因为   P2P3,  P3P4,  P4P5   ……   PnB   和  x1  无关，      所以

 

∂  ( P2P3 ) / ∂ x1  =  0

∂  ( P3P4 ) / ∂ x1  =  0

∂  ( P4P5 ) / ∂ x1  =  0

……                     =  0

∂  ( PnB ) / ∂ x1    =  0

 

于是

∂  ( AP1 )  /  ∂ x1   +   ∂  ( P1P2 ) / ∂ x1   +   0   +  ……  +    0  =  0

∂  ( AP1 )  /  ∂ x1   +   ∂  ( P1P2 ) / ∂ x1  =  0

∂  { 根号 [ ( x1 – Xa ) ²  +  ( y1 – Ya ) ²  +  ( z1 – za ) ² ] }  /  ∂ x1    +     ∂  { 根号 [ ( x2 – x1 ) ²  +  ( y2 – y1 ) ²  +  ( z2 – z1 ) ² ] }  /  ∂ x1  =  0      (10) 式

 

同理，   4-2 式 可得 ：

∂  { 根号 [ ( x1 – Xa ) ²  +  ( y1 – Ya ) ²  +  ( z1 – za ) ² ] }  /  ∂ y1    +     ∂  { 根号 [ ( x2 – x1 ) ²  +  ( y2 – y1 ) ²  +  ( z2 – z1 ) ² ] }  /  ∂ y1  =  0      (11) 式

 

方程组 (4)   其它 方程 可得到 类似 (10) 式 (11) 式 的 结果，  所以 方程组 (4) 的 化简结果 是 ：

 

∂  { 根号 [ ( x1 – Xa ) ²  +  ( y1 – Ya ) ²  +  ( z1 – za ) ² ] }  /  ∂ x1    +     ∂  { 根号 [ ( x2 – x1 ) ²  +  ( y2 – y1 ) ²  +  ( z2 – z1 ) ² ] }  /  ∂ x1  =  0

∂  { 根号 [ ( x1 – Xa ) ²  +  ( y1 – Ya ) ²  +  ( z1 – za ) ² ] }  /  ∂ y1    +     ∂  { 根号 [ ( x2 – x1 ) ²  +  ( y2 – y1 ) ²  +  ( z2 – z1 ) ² ] }  /  ∂ y1  =  0

……

∂  { 根号 [ ( xn – xm ) ²  +  ( yn – ym ) ²  +  ( zn – zm ) ² ] }  /  ∂ xn    +     ∂  { 根号 [ ( Xb – xn ) ²  +  ( Yb – yn ) ²  +  ( zb – zn ) ² ] }  /  ∂ xn  =  0 ，   m = n -1

∂  { 根号 [ ( xn – xm ) ²  +  ( yn – ym ) ²  +  ( zn – zm ) ² ] }  /  ∂ yn    +     ∂  { 根号 [ ( Xb – xn ) ²  +  ( Yb – yn ) ²  +  ( zb – zn ) ² ] }  /  ∂ yn  =  0 ，   m = n -1

 

这个 方程组 就是  曲面短程线方程组   。     方程组 (4) 有 2n 个 方程，  曲面短程线方程组 也有 2n 个 方程，    两者一一对应 。

 

曲面短程线方程组  有 2n 个 未知数 ：   x1, y1, x2, y2, x3, y3  ……  xn, yn    ，

把 曲面函数 z = P ( x,y )  代入  曲面短程线方程组，   可以 解出  x1, y1, x2, y2, x3, y3  ……  xn, yn  ，   也就是 得到了  P1, P2, P3 …… Pn  的 位置，

把  A, P1, P2, P3 …… Pn, B  连起来，   得到 折线   APB ，     APB 是 A 、B 两点间 节点数 为 n 的 折线 中 最短 的 那一条 。 或者说，  APB 是 A 、B 两点间 节点数 为 n 的 最短折线 。

 

这里 组成 折线 的 线段 是 直线线段，    这些 线段 的 端点 在 曲面 上，  但是 线段 不在 曲面 上，  像是一些 架在 曲面 上的 桥梁  。

 

当 n -> 无穷 时，     折线 APB  就成了  光滑曲线，   就是 短程线，   当然，  光滑曲线 是 在 曲面 上 的  。

 

曲面短程线方程组 有 2n 个 未知数，  2n 个 方程，   是 一个 多元方程组，      要 怎么解 呢 ？     用 计算机 解 吧，  哈哈 。 大概 应该是用 计算机 数值方法 来 解 。

 

当 n 为 有限大小 的 自然数 时，   方程 的 解 是  n 个 点  P1, P2, P3 …… Pn ，    把 A, P1, P2, P3 …… Pn, B  连起来 就可以得到 近似的 短程线 。

这可以用于  离散绘制，   比如 计算机模拟绘制  。    

刚刚也说了，  曲面短程线方程组 得到 的 解 是 一些点  P1, P2, P3 …… Pn ， 理论上， 连接 这些 点 的 线段 是 直线线段，

但 模拟绘制 时，  连接  A, P1, P2, P3 …… Pn, B  的 线段 不一定 是 直线线段，  可以  近似 的 选择 曲面  上 的 曲线线段，

比如，    连接  P1, P2 ，    可以 选择 P1, P2 之间 在 曲面 上 的 一条 曲线线段，    大概的， 尽量 让 这条 曲线线段  短一点 就行 。

 

计算机 数值方法 解 n 元方程组，  当 n 很大时，   计算量（时间复杂度） 很大，   即使 用 跨越步进法， 计算量 还是会很大 。 但有一点好处是，  数值方法 解 n 元方程组 可以 使用 并行计算，  就是说 可以 分解 为 多个 小任务 并行计算 。  未来，  大规模并行计算 是 计算 的 基础架构，  也是 一个 主流，  也是 普及 的，  可以用  大规模并行计算 或 网格计算 等 来 解 n 元方程组，   这就 很爽 了，   哈哈 。

 

 

以 P1 、P2 、P3  表示 相邻 的 3 个 点，  P1 、P2 、P3  的 坐标 为  ( x1, y1, z1 ) 、( x2, y2, z2 ) 、( x3, y3, z3 ) ，  则 曲面短程线方程组 可以 写成 通式 ：

 

∂  { 根号 [ ( x2 – x1 ) ²  +  ( y2 – y1 ) ²  +  ( z2 – z1 ) ² ] }  /  ∂ x2    +     ∂  { 根号 [ ( x3 – x2 ) ²  +  ( y3 – y2 ) ²  +  ( z3 – z2 ) ² ] }  /  ∂ x2  =  0      (12) 式

∂  { 根号 [ ( x2 – x1 ) ²  +  ( y2 – y1 ) ²  +  ( z2 – z1 ) ² ] }  /  ∂ y2    +     ∂  { 根号 [ ( x3 – x2 ) ²  +  ( y3 – y2 ) ²  +  ( z3 – z2 ) ² ] }  /  ∂ y2  =  0      (13) 式

 

其中，    z1 = P ( x1, y1 )，   z2 = P ( x2, y2 )，    z3 = P ( x3, y3 )    。

 

(12) 式 (13) 式  就是 曲面短程线微元方程组，    这个 方程组 的 意义 是，  在 曲面 P 上，  由 P1 、P2 两个点，  可以决定  P3  。    P1, P2, P3 连成 的 折线   称为   P1P2P3，      在 曲面 上 可以 任意 取 一个 点  Px，  按  P1, Px, P3 的 顺序 把 3 个点 连起来，  得到 的 折线 称为  P1PxP3，   由于  Px 的 位置任意， 所以， P1PxP3  这样 的 折线 有 无数条，     P1P2P3  是 这些 折线 中 最短 的  。

 

也可以说，  P1P2P3 是 P1, P3 间 用 2 条 直线线段 连起来 构成 的 折线 中 最短 的 那一条  。

 

同样，   可以由  P1, P3  决定 P2，  也可以由   P2, P3 决定 P1，   得到 的  P1P2P3  都是  P1PxP3  中 最短 的 。

 

(12) 式 (13) 式  中 代入 曲面函数  y = P ( x, y )    求偏导 化简 后，  得到的是 2 个  方程，   这 2 个 方程 中 有  6 个 未知数  x1, y1, x2, y2, x3, y3  ，

已知 x1, y1, x2, y2 可以求 x3, y3  ，   这是 由  P1, P2 决定 P3  。

已知 x1, y1, x3, y3 可以求 x2, y2  ，   这是 由  P1, P3 决定 P2  。

已知 x2, y2, x3, y3 可以求 x1, y1  ，   这是 由  P2, P3 决定 P1  。

 

但是，   由  (12) 式 (13) 式  对   x2, y2   求偏导 决定了，    把  P1, P2, P3 连成 折线 的 顺序 是   P1, P2, P3 ，  这样 连起来 得到的 折线  P1P2P3  才具有 “最短” 的 意义，   也就是  P1, P3 间 通过 2 条 直线线段 构成 的 折线 中 最短 的 那一条 的 意义 。

 

进一步，  在 曲面 上， 可以 任选 2 个 点 P1, P2，    由 (12) 式 (13) 式  可以 得到 P3，  再由 P2, P3 通过 (12) 式 (13) 式  得到  P4，  再由 P3, P4 得到 P5， ……    一直到  Pn  ，

把   P1, P2, P3, P4, P5  ……  Pn  连起来 得到 一条 折线，  称为 P1Pn，   P1Pn  是 P1, Pn 间 节点数 为 n – 2 的 最短折线  。  这里 的 节点数 是 P1, Pn 间 的 节点数，  不包括  P1, Pn  2 个点，     所以，  P1, Pn 间 的 节点数 是  n – 2  。

 

(12) 式 (13) 式  这种方程 不是  一般意义 上 的 微分方程，  可以称为 微元方程，  具有 离散性质 。    在 一些时候，   微元方程 可能 转化为 微分方程，  比如 上文 的  题 (1) 、题 (2) 、题 (3)   。

 

 

看一下 曲面短程线方程组 的 实际应用，   以 球面 为例，   在 曲面短程线方程组 中 代入 球面函数 y = 根号 ( r ² – x ² – y ² ) ，  可以得到 球面短程线方程组  。

在  曲面短程线微元方程组 中 代入    球面函数 y = 根号 ( r ² – x ² – y ² ) ，   可以得到 球面短程线微元方程组  。

 

 

最后，   留一道题，   这题 在 本文 命名为 题 (5)  。   

这题 是  最速降线 的 空间版，    在 三维空间 里，  有 A 、B 两点，   建立一个 三维坐标系 xyz，   z 轴 是 竖直方向（ 和 重力方向 平行）  。

A 和 B 在  竖直方向 上 不在 一个平面 上，  这是 和 二维版 最速降线 的 区别，   二维版 的 最速降线 A 和 B 在 重力方向 上 在 同一个平面  。

A 点 比 B 点 高 ，   问 小球 从 A 沿着 怎样 的 曲线 滚动 到 B 所用 的 时间 最短 ？   当然，  这条 曲线 就是 A 、B 间 的 最速降线，  也是 空间 中 的 最速降线 。

 

 

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