浅谈 超平面(Hyperplane)

浅谈 超平面(Hyperplane)大纲 1. 超平面的定义 2.1 超平面的直观理解 2.2 三维空间的超平面 2.3 从二维空间直观理解超平面 3. N维空间超平面的理解 4. 计算样本空间任意点到超平面的距离 5. 判断超平面的正反 1.超平面的定义 维基百科:超平面是n维欧式空间中余维度等于一的线性子空间,也就是必须是(n-1

大纲

   1. 超平面的定义

   2.1 超平面的直观理解

   2.2 三维空间的超平面

   2.3二维空间直观理解超平面

   3. N维空间超平面的理解

   4. 计算样本空间任意点到超平面的距离

   5. 判断超平面的正反


1.超平面的定义

维基百科:超平面是n维欧式空间中余维度等于一的线性子空间,也就是必须是(n-1)维度。

     n维空间超平面由以下方程确定:

                                          浅谈 超平面(Hyperplane)

其中,w和x都是N维列向量,x为平面上的点,w为平面上的法向量,b为实数:代表原点到超平面的距离

                                       浅谈 超平面(Hyperplane)

      则(x1,x2,x3,….xn)*(w1,w2,w3,…wn)+b = w1*x1+w2*x2+……+wn*xn+b=0

特别的,对于3维的超平面是 w1*x1+w2*x2+w3*x3 +b = 0     (平面:ax+by+cz+d=0)

             对于2维的超平面是 w1*x1+w2*x2+b = 0                     (线:ax+by+c=0)

 2.1 超平面的直观理解

       直观上理解的超平面是样本空间中维度大于3,但实际上,超平面可以是点,线,面。

  • 对于点而言,将线段分成两段(0维的点可以将1维的线分成两部分)
  • 对于线而言,将面分成两面(1维的线可以将2维的面分成两部分)
  • 对于面而言,将体分成两块(2维的面可以将3维的体分成两部分)

 2.2 三维空间的超平面

      在高中时候我们学过平面的方程,平面在我们“直观”的理解中就是在三维空间中的一张面

       平面A:    Ax+By+Cz+D=0

       其中n=(A,B,C)^T是平面A方程的法向量,x,y,z分别是在三维笛卡尔坐标系下的维度,D是系数

       平面性质:

                     1.方程是线性的

                     2.方程数量是1

      超平面是纯粹的数学概念,不是物理概念,它是平面中的直线、空间中的平面的推广,

只有当维度大于3,才能称为“超”平面。它的本质是 自由度比空间维度小1。自由度的概

可以简单理解为至少要给定多少分量的值才能确定一个点。例如在三维空间中,只要给定

了(x,y,z)中任意两个分量,剩下的一个的值就确定了,先确定值的两个分量是自由的。


   2.3 从二维空间理解超平面

    设R2(2维空间)中的点集 i=(x,y) 满足等式(点集相当于直线)

                                                a*x+1/b*y+c =0                              (1.1)

    则直线L:

                                                 y = -a*b*x-c*b                                  (1.2)

     进一步,采用换元法  ,令t等于x,则

                           点集  i = (x,y)=(t,-a*b*t-c*b) = t*(1,-a*b)+(0,-c*b)

    则直线L:是过(0,-c*b),方向为(1,-a*b)的直线L

    这是,我们令 向量n=(a,1/b),则(1.1) 可以表示为 (数量积)

                                                 n*i + c =0                                         (1.3)

    我们在直线L上取一点P0(x0,y0),则     n*P0+c = 0

    则

                                                 c = n*P0                                           (1.4)

    将(1.4)代回到(1.3)中得到 (1.5),即

                                                 n*in*P0 = 0                                     (1.5)

    进一步化简

                                                 n*(i – P0)=0     

     则 (i-P0)正交(n与(i-P0)均是向量,此时n是二维的,i、P0都是二维坐标)

     即

     n 是过P0(X0,Y0)该直线的法向量,如下图所示

                                          浅谈 超平面(Hyperplane)


   3. N维空间超平面的理解

       这时候回头看第一节描述的超平面定义

                                                          浅谈 超平面(Hyperplane)

      给定向量空间Rn中的一个点P和一个非零向量n,满足

                                                         n*(i – P)=0

      这里的 就是w^T,点集i =(x,y)就是x,b就是n*P,  P是直线L上的一点( 向量n为通过超平面的法向量)

      人话说:给定向量空间Rn中的一点P和一个非零向量n,满足

                                                           n*(i – p) = 0

   则称 点集i 为通过P 的超平面,向量n为通过超平面的法向量


   4. 计算样本空间任意点到超平面的距离

             样本空间中任意一点 x 到超平面的(w,b)的距离

                                                             浅谈 超平面(Hyperplane)

证明:   假设x`超平面上 任意一点

             则满足

                                                          wt*x` + b  =0

             则

                                                          b = –wt*x`

             则 

                                                         wt*x – wt*x` = 0

             则

                                                         wt*(x-x`) = 0

            存在平面外一点x,则

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           由下图可知,wt(x-x`)都是矢量,则两者数量积/wt的模等于

          (x-x`)投影在wt上的长度,即 平面外x到 超平面的距离。

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5. 判断超平面的正反

         一个超平面可以将它所在的空间分成两半,它的法向量指向的那一半的一面是它的正面,另一面是它的反面。

如果利用数学来判断的话,就用到法向量w。

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        如将距离公式中的分子绝对值去掉,则它可以为正或负,则它的值离原点越远,代表点离平面距离越远。

反之,越近。

               

 

时间:2021-0107

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