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内积空间

内积的几何解释

在数学上，内积空间是增添了一个额外的结构的矢量空间。这个额外的结构叫做内积或标量积。这个增添的结构将一对矢量与一个纯量连接起来，允许我们严格地谈论矢量的“夹角”和“长度”，并进一步谈论矢量的正交性。内积空间由欧几里得空间抽象而来（内积是点积的抽象），这是泛函分析讨论的课题。

关于内积空间的例子，请参看希尔伯特空间。

内积空间有时也叫做准希尔伯特空间(pre-Hilbert Space)，因为由内积定义的距离完备化之后就会得到一个希尔伯特空间。

在早期的著作中，内积空间被称作酉空间，但这个词现在已经被淘汰了。在将内积空间称为酉空间的著作中，“内积空间”常指任意维（可数／不可数）的欧几里德空间。

定义

下文中的数量域F是实数域或复数域。

域F上的一个内积空间V备有一个正定、非退化以及共轭双线性形式，称作内积（F是[[实数域]]时，内积是一个正定、对称、非退化以及双线性形式）：

$\langle \cdot, \cdot \rangle : V \times V \rightarrow \mathbb{F}$

满足以下公理：

共轭对称；

$\forall x,y\in V,\ \langle x,y\rangle =\overline{\langle y,x\rangle}.$

这个设定蕴含着 $\langle x,x\rangle \in \mathbb{R}$

对于所有 $x \in V$

, 因为 $\langle x,x\rangle = \overline{\langle x,x\rangle}$

(共轭也写成加星号： $\langle y,x\rangle^{*}$ ，如同共轭转置。)

对第一个元素是线性算子；

$\forall a\in \mathbb{F},\ \forall x,y\in V,\ \langle ax,y\rangle= a \langle x,y\rangle.$

$\forall x,y,z\in V,\ \langle x+y,z\rangle= \langle x,z\rangle+ \langle y,z\rangle.$

由前两条可以得到：

$\forall b\in \mathbb{F},\ \forall x,y\in V,\ \langle x,by \rangle= \overline{b} \langle x,y\rangle.$

$\forall x,y,z\in V,\ \langle x,y+z\rangle= \langle x,y\rangle+ \langle x,z\rangle.$

因此 $\langle \cdot , \cdot \rangle$ 实际上是一个半双线性形式。

非负性：

$\forall x \in V,\ \langle x,x\rangle \ge 0.$

(这样就定义了 $\langle x,x\rangle \in \mathbb{R}$ 对于所有 $x\in V$ 。说明内积是从点积抽象而来。)

非退化：

从V到对偶空间 V*的映射： $x\mapsto \langle x,\cdot\rangle$

是同构映射。

在有限维的矢量空间中，只需要验证它是单射。

$\langle x,y\rangle = 0 \; \forall y \in V \,$

当且仅当 $x = 0 \,$

。

因此，内积空间是一个Hermitian形式。

V 满足可加性：

对所有的 $x, y, z \in V$

， $\langle x+y,z\rangle= \langle x,z\rangle+ \langle y,z\rangle$

， $\langle x,y+z\rangle = \langle x,y\rangle + \langle x,z\rangle$

如果F是实数域R那么共轭对称性质就是对称性。

$\langle x,y\rangle=\langle y,x\rangle.$

共轭双线性变成了一般的双线性。

备注。多数数学家要求内积在第一个参数上是线性的而在第二个参数上是共轭线性的，本文接受这种约定。很多物理学家接受相反的约定。这种改变是非实质性的，但是相反的定义提供了与量子力学中的狄拉克符号更平滑的连接，现在也偶尔被数学家使用。某些作者接受约定 < , > 在第一个分量是线性的而 < | > 在第二个分量上是线性的，尽管不普遍。

选择R 或 C作为内积空间的基域是有原因的。首先，这个域要包含一个有序关系的子域，否则就无法谈论“非负性”，因此它的特征必须是零。这样就排除了所有的有限域。基础域必须有额外的结构，比如有显著的自同构。

在某些情况下，必须考虑非负半定半双线性形式。这意味着 <x, x> 是只要求非负性，下面会展示如何处理它们。

例子

内积的一个简单的例子是实数的乘法

$\langle x,y\rangle := xy$

欧几里德空间Rⁿ和点积构成一个内积空间：

$\langle (x_1,\ldots, x_n),(y_1,\ldots, y_n)\rangle := \sum_{i=1}^{n} x_i y_i = x_1 y_1 + \cdots + x_n y_n$

Cⁿ 内积的一般形式是:

$\langle \mathbf{x},\mathbf{y}\rangle := \mathbf{x}^*\mathbf{M}\mathbf{y}$

M是一个任意的正定矩阵，x^*是x的共轭转置。对于实数情况这对应于两个矢量的方向差异缩放的结果的点积，带有正缩放因子和正交的缩放方向。除了正交变换之外，它是加权和版本的点积，带有正的权重。

在希尔伯特空间的文章中有一些内积空间的例子，其中引出自内积的度量生成完备的度量空间。引发不完备度量空间的内积的例子出现在在区间 [a,b] 上连续复数值函数的空间 C[a, b] 上。内积是

$\langle f , g \rangle := \int_a^b \overline{f(t)} g(t) \, dt$

这个空间是不完备的；比如考虑对于区间 [0,1]，函数序列 { f_k }_k 这里的

f_k(t) 是 1 对于 t 在子区间 [0, 1/2]
f_k(t) 是 0 对于 t 在子区间 [1/2 + 1/k, 1]
f_k 仿射于 [1/2, 1/2 + 1/k]

这个序列是不收敛于一个连续函数的柯西序列。

内积空间的范数

从内积空间的内积可以很自然地定义一个范数

$\|x\| =\sqrt{\langle x, x\rangle}.$

由内积的性质可以证明它满足作为范数的要求。这个范数就是x在内积空间中的“长度”。这个范数和内积满足:柯西-布尼亚科夫斯基-施瓦茨不等式: 对V中元素x、y，

$|\langle x,y\rangle| \leq \|x\| \cdot \|y\|$

证明可以在主条目上找到。

由柯西不等式可以看出内积的几何解释：我们可以定义两个不为零的矢量的夹角为

$\operatorname{angle}(x,y) = \arccos \frac{\langle x, y \rangle}{\|x\| \cdot \|y\|}.$

其中夹角在区间(−π, +π]上。这与常见的欧几里德空间的情况相似。接下来我们可以定义正交：两个不为零的矢量正交当且仅当他们的内积为零（夹角为π / 2）。

我们可以看到||·||的定义使得V成为一个赋范矢量空间，因此也是一个度量空间。最重要的内积空间是对于这个度量完备的空间，叫做希尔伯特空间。每个内积空间V都是某个希尔伯特空间的稠密子集。这个希尔伯特空间可在将V完备化时唯一确定。

平行四边形法则:

$\|x + y\|^2 + \|x - y\|^2 = 2\|x\|^2 + 2\|y\|^2.$

勾股定理: V中的x、y 正交 <x, y> = 0，当且仅当

$\|x\|^2 + \|y\|^2 = \|x+y\|^2.$

这两个等式都可由范数的性质直接得到

用数学归纳法还可以推出:

若x₁, …, x_n 是两两正交的矢量，那么：

$\sum_{i=1}^n \|x_i\|^2 = \left\|\sum_{i=1}^n x_i \right\|^2.$

只要注意到<·,·> 是V × V 到F 连续函数，我们可以进一步将勾股定理推广为:

Parseval等式: V是完备的内积空间。如果{x_k} 是V的正交列，那么：

$\sum_{i=1}^\infty\|x_i\|^2 = \left\|\sum_{i=1}^\infty x_i\right\|^2,$

假定在左边的是无穷级数是收敛的。这个空间的完备性必须确保部分和序列

$S_k = \sum_{i=1}^k x_i$

它容易被证明是收敛的柯西序列。

正交规范序列

在内积空间上的算子

退化内积

内积空间

　　在数学里面，内积空间就是增添了一个额外的结构的向量空间。这个额外的结构叫做内积，或标量积，或点积。这个增添的结构允许我们谈论向量的角度和长度。内积空间由欧几里得空间抽象而来，这是泛函分析讨论的课题。　　内积空间有时也叫做准希尔伯特空间，因为由内积定义的距离完备化之后就会得到一个希尔伯特空间。　　在早期的著作中，内积空间被称作酉空间，但这个词现在已经被淘汰了。在将内积空间称为酉空间的著作中，“内积空间”常指任意维（可数/不可数）的欧几里德空间。

定义

　　下文中的数量域F是实数域或复数域。　　域F上的一个内积空间V备有一个正定、非退化以及共轭双线性形式，称作内积（F是实数域时，内积是一个正定、对称、非退化以及双线性形式）：　　(·, ·): V×V → F 　　满足以下公理　　1. ⟨v, v⟩ ≥ 0 and ⟨v, v⟩ = 0 当且仅当v = 0, 　　2. ⟨u, v + w⟩ = ⟨u, v⟩ + ⟨u,w⟩ 　　3. ⟨u, λv⟩ = λ⟨u, v⟩ 　　4. ⟨u, v⟩ = ⟨v, u⟩

性质

　　-Cauchy-Schwarz不等式；　　|(x, y)|≦||x||·||y||

应用

　　-定义长度；　　-诱导范数；

内积

中文名称：内积英文名称：inner product
定义：(1)平面或空间中的两个向量的内积。(2)n维向量的内积。
应用学科：大气科学（一级学科）；动力气象学（二级学科）

　　内积（inner product），又称数量积（scalar product）、点积（dot product）　　他是一种矢量运算，但其结果为某一数值，并非向量。　　设矢量A=[a1,a2,…an]，B=[b1,b2…bn] 　　则矢量A和B的内积表示为: 　　A·B=a1×b1+a2×b2+……+an×bn 　　A·B = |A| × |B| × cosθ 　　|A|=(a1^2+a2^2+…+an^2)^(1/2); 　　|B|=(b1^2+b2^2+…+bn^2)^(1/2). 　　其中，|A| 和 |B| 分别是向量A和B的模，是θ向量A和向量B的夹角（θ∈[0,π]）。　　若B为单位向量，即 |B|=1时，A·B= |A| × cosθ，表示向量A在B方向的投影长度。　　向量A为单位向量时同理。　　　当向量A与B垂直时，A·B=0.

数量积

“内积”重定义至此，关于外代数上的内积，参见内乘。

在数学中，数量积（也称为标量积、点积、点乘）是接受在实数R上的两个矢量并返回一个实数值标量的二元运算。它是欧几里得空间的标准内积。

定义与例子

两个矢量a = [a₁, a₂,…, a_n]和b = [b₁, b₂,…, b_n]的点积定义为:

$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b} = \sum_{i=1}^n a_ib_i = a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n$

这里的Σ指示总和符号。

例如，两个三维矢量[1, 3, −5]和[4, −2, −1]的点积是

$\begin{bmatrix}1&3&-5\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}4&-2&-1\end{bmatrix} = (1)(4) + (3)(-2) + (-5)(-1) = 3$

。

使用矩阵乘法并把（纵列）矢量当作n×1 矩阵，点积还可以写为:

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{a}^T \mathbf{b}$

，

这里的a^T指示矩阵a的转置。

使用上面的例子，将一个1×3矩阵（就是行矢量）乘以一个3×1矢量得到结果(通过矩阵乘法的优势得到1×1矩阵也就是标量):

$\begin{bmatrix} 1&3&-5 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 4\\-2\\-1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \end{bmatrix}$

。

几何解释

A·B = |A| |B| cos(θ).
|A| cos(θ)是A到B的投影。

在欧几里得空间中，点积可以直观地定义为

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| \, |\mathbf{b}| \cos \theta \;$

这里 |x| 表示x的范数（长度），θ表示两个矢量之间的角度。

注意：点积的形式定义和这个定义不同；在形式定义中，a和b的夹角是通过上述等式定义的。

这样，两个互相垂直的矢量的点积总是零。若a和b都是单位矢量（长度为1），它们的点积就是它们的夹角的余弦。那么，给定两个矢量，它们之间的夹角可以通过下列公式得到：

$\cos{\theta} = \frac{\mathbf{a \cdot b}}{|\mathbf{a}| \, |\mathbf{b}|}$

这个运算可以简单地理解为：在点积运算中，第一个矢量投影到第二个矢量上（这里，矢量的顺序是不重要的，点积运算是可交换的），然后通过除以它们的标量长度来“标准化”。这样，这个分数一定是小于等于1的，可以简单地转化成一个角度值。

需要注意的是，点积的几何解释通常只适用于 $\mathbb{R}^n$ ( $n \le 3$ )。在高维空间，其他的域或模中，点积只有一个定义，那就是

$\left \langle \mathbf{a}, \mathbf{b} \right \rangle = \sum_{i=1}^n a_ib_i$

点积可以用来计算合力和功。若b为单位矢量，则点积即为a在方向b的投影，即给出了力在这个方向上的分解。功即是力和位移的点积。

性质

点积满足交换律：

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a} \;$

点积满足分配律:

$\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{a} \cdot \mathbf{c}$

点积是个双线性算子：

$\mathbf{a} \cdot (r\mathbf{b} + \mathbf{c}) = r(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) +(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) \;$

在乘以一个标量的时候点积满足:

$(c_1\mathbf{a}) \cdot (c_2\mathbf{b}) = (c_1c_2) (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})$

(后两个性质从前两个得出)。

两个非零矢量a和b是垂直的，当且仅当a·b = 0。

如果b是单位矢量，则点积给出a在方向b上投影的大小，如果方向相反则带有负号。分解矢量对求矢量的和经常是有用的，比如在力学中计算合力。

不像普通数的乘法服从消去律，如果ab = ac，则b总是等于c除非a零。而对于点积:

如果a·b = a·c并且a ≠ 0:

则根据分配律可以得出: a· (b – c) = 0；进而:

如果a垂直于 (b – c)，则 (b – c) ≠ 0因而b ≠ c；否则b = c。

两种定义的等价性的证明

从定义

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos \theta \;$

可以得到定理

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 \;$

为了证明后者是一个和前者等价的定义，需要证明后者也可以导出前者。

注意：这个证明采用三维矢量，但可以推广到n维的情形。

考虑矢量

$\mathbf{v} = v_1 \mathbf{i} + v_2 \mathbf{j} + v_3 \mathbf{k} \;$

重复使用勾股定理得到

$|\mathbf{v}|^2 = v_1^2 + v_2^2 + v_3^2 \;$

而根据第二个定义

$\mathbf{v} \cdot \mathbf{v} = v_1^2 + v_2^2 + v_3^2 \;$

所以，矢量v和自身的点积就是其长度的平方。

引理1: $\mathbf{v} \cdot \mathbf{v} = |\mathbf{v}|^2 \;$

现在，考虑两个从原点出发的矢量a和b，夹角θ。第三个矢量c定义为

$\mathbf{c} \equiv \mathbf{a} - \mathbf{b} \;$

构造以a，b，c为边的三角形，采用余弦定理，有

$|\mathbf{c}|^2 = |\mathbf{a}|^2 + |\mathbf{b}|^2 - 2 |\mathbf{a}||\mathbf{b}| \cos \theta \;$

根据引理1，用点积代替矢量长度的平方，有

$\mathbf{c} \cdot \mathbf{c} = \mathbf{a} \cdot \mathbf{a} + \mathbf{b} \cdot \mathbf{b} - 2 |\mathbf{a}||\mathbf{b}| \cos\theta \;$

. （1）

同时，根据定义c ≡ a − b，有

$\mathbf{c} \cdot \mathbf{c} = (\mathbf{a} - \mathbf{b}) \cdot (\mathbf{a} - \mathbf{b}) \;$ ,

根据分配律，得

$\mathbf{c} \cdot \mathbf{c} = \mathbf{a} \cdot \mathbf{a} + \mathbf{b} \cdot \mathbf{b} -2(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) \;$

. （2）

连接等式 （1）和 （2）有

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{a} + \mathbf{b} \cdot \mathbf{b} -2(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) = \mathbf{a} \cdot \mathbf{a} + \mathbf{b} \cdot \mathbf{b} - 2 |\mathbf{a}||\mathbf{b}| \cos\theta \;$

简化等式即得

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}||\mathbf{b}| \cos\theta \;$

Q.E.D.

应用

物理学中力学的力做功的问题，经常用到点积计算。

计算机图形学常用来进行方向性判断，如两矢量点积大于0，则它们的方向朝向相近；如果小于0，则方向相反。

矢量内积是人工智能领域中的神经网络技术的数学基础之一。

此方法被用于动画渲染（Animation-Rendering）。

参见

矢量积

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向量积

向量积，也被称为叉积（即交叉乘积）、外积，是一种在向量空间中向量的二元运算。与点积不同，它的运算结果是一个伪向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量都垂直。

定义

在右手坐标系中的向量积

两个向量a和b的叉积写作a×b（有时也被写成a∧b，避免和字母x混淆）。叉积可以定义为：

$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = a b \sin \theta \ \mathbf{n}$

在这里θ表示a和b之间的角度（0°≤θ≤180°），它位于这两个矢量所定义的平面上。而n是一个与a、b所在平面均垂直的单位矢量。

这个定义有个问题，就是同时有两个单位向量都垂直于a和b：若n满足垂直的条件，那么-n也满足。

“正确”的向量由向量空间的方向确定，即按照给定直角坐标系(i, j, k)的左右手定则。若 (i,j, k)满足右手定则，则 (a, b, a×b)也满足右手定则；或者两者同时满足左手定则。

一个简单的确定满足“右手定则”的结果向量的方向的方法是这样的：若坐标系是满足右手定则的， $\mathbf{c} = \mathbf{a}\times\mathbf{b}$ 当右手的四指从a以不超过180度的转角转向b时，竖起的大拇指指向是c的方向。由于向量的叉积由坐标系确定，所以其结果被称为伪向量。

性质

几何意义

叉积的长度 |a × b| 可以解释成以a和b为边的平行四边形的面积。进一步就是说，三重积可以得到以a，b，c为边的平行六面体的体积。

代数性质

反交换律：

$\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\mathbf{-b}\times\mathbf{a}$

加法的分配律：

a × (b + c) = a × b + a × c

与标量乘法兼容：

(ra) × b = a × (rb) = r(a × b)

不满足结合律，但满足雅可比恒等式：

a × (b × c) + b × (c × a) + c × (a × b) = 0

分配律，线性性和雅可比恒等式别表明：具有向量加法和叉积的R³构成了一个李代数。

两个非零向量a和b平行，当且仅当a × b = 0

拉格朗日公式

这是一个著名的公式，而且非常有用：

a × (b × c) = b（a·c）− c（a·b）,

可以简单地记成“BAC – CAB”。这个公式在物理上简化向量运算非常有效。需要注意的是，这个公式对微分算子不成立。

这里给出一个和梯度相关的一个情形：

$\begin{matrix} \nabla \times (\nabla \times \mathbf{f}) &=& \nabla (\nabla \cdot \mathbf{f} ) - (\nabla \cdot \nabla) \mathbf{f} \\ &=& \mbox{grad }(\mbox{div } \mathbf{f} ) - \mbox{laplacian } \mathbf{f}. \end{matrix}$

这是一个霍奇拉普拉斯算子的霍奇分解 $\Delta = d \partial + \partial d$ 的特殊情形。

另一个有用的拉格朗日恒等式是：

$|a \times b|^2 + |a \cdot b|^2 = |a|^2 |b|^2$

。

这是一个在四元数代数中范数乘法的特殊情形。

矩阵形式

给定直角坐标系的单位向量i，j，k满足下列等式：

i × j = k j × k = i k × i = j

通过这些规则，两个向量的叉积的坐标可以方便地计算出来，不需要考虑任何角度：设

a = a₁i + a₂j + a₃k = [a₁, a₂, a₃]

b = b₁i + b₂j + b₃k = [b₁, b₂, b₃]

则

a × b = [a₂b₃ − a₃b₂, a₃b₁ − a₁b₃, a₁b₂ − a₂b₁]

上述等式可以写成矩阵的行列式的形式：

$\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\det \begin{bmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ \end{bmatrix}$

叉积也可以用四元数来表示。注意到上述i，j，k之间的叉积满足四元数的乘法。一般而言，若将向量[a₁, a₂, a₃]表示成四元数a₁i + a₂j + a₃k，两个向量的叉积可以这样计算：计算两个四元数的乘积得到一个四元数，并将这个四元数的实部去掉，即为结果。更多关于四元数乘法，向量运算及其几何意义请参见四元数与空间旋转。

高维情形

七维向量的叉积可以通过八元数得到，与上述的四元数方法相同。

七维叉积具有与三维叉积相似的性质：

双线性性：

x × (ay + bz) = ax × y + bx × z

(ay + bz) × x = ay × x + bz × x.

反交换律：

x × y + y × x = 0

同时与x和y垂直：

x· (x × y) = y· (x × y) = 0

拉格朗日恒等式

|x × y|² = |x|² |y|² − (x·y)².

不同于三维情形，它并不满足雅可比恒等式：

x × (y × z) + y × (z × x) + z × (x × y) ≠ 0

应用

另外，在物理学力学、电磁学、光学和计算机图形学等理工学科中中，叉积应用十分广泛。例如力矩、角动量、洛伦兹力等矢量都可以由向量的叉积求解。在进行这些物理量的计算时，往往可以借助右手定则辅助判断方向。

参见

数量积
右手定则
外代数：叉乘的实质，赝矢量与赝标量

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矢量空间

矢量空间是可以缩放和相加的(叫做矢量的)对象的集合。

矢量空间（或称线性空间）是现代数学中的一个基本概念。是线性代数研究的基本对象。

矢量空间的一个直观模型是矢量几何，几何上的矢量及相关的运算即矢量加法，标量乘法，以及对运算的一些限制如封闭性，结合律，已大致地描述了“矢量空间”这个数学概念的直观形象。

在现代数学中，“矢量”的概念不仅限于此，符合下列公理的任何数学对象都可被当作矢量处理。譬如，实系数多项式的集合在定义适当的运算后构成矢量空间，在代数上处理是方便的。单变元实函数的集合在定义适当的运算后，也构成矢量空间，研究此类函数矢量空间的数学分支称为泛函分析。

公理化定义

给定域 F，一个矢量空间是个集合 V 并规定两个运算：

矢量加法：V × V → V，把 V 中的两个元素v和w变为 V 中另一个元素，记作 v + w；
标量乘法：F × V → V，把F中的一个元素a 和 V 中的一个元素v变为 V 中的另一个元素，记作a v。

这两个运算符合下列公理 (对F 中的任意元素 a、b 以及V 中的任意元素 u、v、w)：

矢量加法结合律：u + (v + w) = (u + v) + w，
矢量加法交换律：v + w = w + v，
存在矢量加法的单位元：V 里存在一个叫做零矢量的元素，记作0，满足：∀ v ∈ V , v + 0= v，
矢量加法的逆元素：∀v∈V, ∃w∈V, 使得 v + w = 0。
标量乘法对矢量加法满足分配律：a(v + w) = a v + a w.
标量乘法对域加法满足分配律：(a + b)v = a v + b v.
标量乘法与标量的域乘法相容：a(b v) = (ab)v。
标量乘法有单位元：域 F 的乘法单位元1满足：∀ v，1 v = v。

前四个公理是说明矢量V在矢量加法中是个交换群，余下的四个公理应用于标量乘法。需要注意的是矢量之间的加法和标量之间的加法是不一样的，标量与矢量之间的乘法（标量乘法）和两个标量之间的乘法（域中自带的乘法）也是不一样的。

简而言之，矢量空间是一个F–模。

V 中的元素叫作矢量，而F 中的元素叫作标量。

若F是实数域R，V称为实数矢量空间.
若F是复数域C，V称为复数矢量空间.
若F是有限域，V称为有限域矢量空间
对一般域F，V称为F–矢量空间

基本性质

以下是一些很容易从矢量空间公理推导出来的特性:

零矢量 0 ∈ V (公理3) 是唯一的.
a 0 = 0 ∀ a ∈ F.
0 v = 0 ∀ v ∈ V 这里 0 是F的加法单位元.
a v = 0 ，则可以推出要么 a = 0 ，要么 v = 0.
可加的逆元矢量 v (公理4) 是唯一的. (写成−v). 这个写法v − w 及 v + (−w) 都是标准的.
(−1)v = −v ∀ v ∈ V.
(−a)v = a(−v) = −(av) ∀ a ∈ F , ∀ v ∈ V.

例子

最简单的系数域为域F的矢量空间的例子是F自身。只要定义矢量加法为域中元素的加法，标量乘法为域中元素的乘法就可以了。例如当F是实数域 $\mathbb{R}$ 时，可以验证对 $\mathbb{R}$ 中的任意元素 a、b 以及 $\mathbb{R}$ 中的任意元素 u、v、w，都有：

u + (v + w) = (u + v) + w，
v + w = w + v，
零元素存在：实数0满足：∀ v ∈ $\mathbb{R}$ , v + 0 = v，
逆元素存在：∀v∈ $\mathbb{R}$ , ∃w = –v ∈ $\mathbb{R}$ , 使得 v + w = 0。
标量乘法对矢量加法满足分配律：a(v + w) = a v + a w.
矢量乘法对标量加法满足分配律：(a + b)v = a v + b v.
标量乘法与标量的域乘法相容：a(b v) = (ab)v。
标量乘法有单位元： $\mathbb{R}$ 中的乘法单位元，也就是实数1满足：∀ v，1 v = v。

更为常见的例子是给定了直角坐标系的平面：平面上的每一点都有一个坐标 P(x, y) ，并对应着一个矢量 (x, y) 。所有普通意义上的平面矢量组成了一个空间，记作 $\mathbb{R}^2$ ，因为每个矢量都可以表示为两个实数构成的有序数组 (x, y) 。可以验证，对于普通意义上的矢量加法和标量乘法， $\mathbb{R}^2$ 满足矢量空间的所有公理。实际上，矢量空间是 $\mathbb{R}^2$ 的推广。

同样地，高维的欧几里得空间 $\mathbb{R}^n$ 也是矢量空间的例子。其中的矢量表示为 $v = (a_1, a_2, \cdots, a_n)$ ，其中的 $a_1, a_2, \cdots, a_n$ 都是实数。定义矢量的加法和标量乘法是：

$\forall \lambda \in \mathbb{R}, \, v = (a_1, a_2, \cdots, a_n) \in \mathbb{R}^n, \, w = (b_1, b_2, \cdots, b_n) \in \mathbb{R}^n$ ， $v + w = (a_1, a_2, \cdots, a_n) + (b_1, b_2, \cdots, b_n) = (a_1 + b_1, a_2 + b_2, \cdots, a_n + b_n)$ $\lambda v = \lambda (a_1, a_2, \cdots, a_n) = (\lambda a_1, \lambda a_2, \cdots, \lambda a_n)$

可以验证这也是一个矢量空间。

再考虑所有系数为实数的多项式的集合 $\mathbb{R}[X]$ 。对于通常意义上的多项式加法和标量乘法， $\mathbb{R}[X]$ 也构成一个矢量空间。更广泛地，所有从实数域射到实数域的连续函数的集合 $\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})$ 也是矢量空间，因为两个连续函数的和或差以及连续函数的若干倍都还是连续函数。

方程组与矢量空间

矢量空间的另一种例子是齐次线性方程组（常数项都是0的线性方程组）的解的集合。例如下面的方程组：

如果和都是解，那么可以验证它们的“和” 也是一组解，因为：

3(x_1+x_2) + 2(y_1+y_2) - (z_1+z_2) = (3x_1 + 2y_1 - z_1) + (3x_2 + 2y_2 - z_2) = 0

(x_1+x_2) + 5(y_1+y_2) + 2(z_1+z_2) = (x_1 + 5y_1 + 2z_1) + (x_2 + 5y_2 + 2z_2) = 0

同样，将一组解乘以一个常数后，仍然会是一组解。可以验证这样定义的“矢量加法”和“标量乘法”满足矢量空间的公理，因此这个方程组的所有解组成了一个矢量空间。

一般来说，当齐次线性方程组中未知数个数大于方程的个数时，方程组有无限多组解，并且这些解组成一个矢量空间。

对于齐次线性微分方程，解的集合也构成矢量空间。比如说下面的方程：

$f'' + 4xf' + \cos(x)f = 0$

出于和上面类似的理由，方程的两个解 f_1 和 f_2 的和函数也满足方程。可以验证，这个方程的所有解构成一个矢量空间。

子空间基底

如果一个矢量空间V的一个非空子集合W对于V的加法及标量乘法都封闭（也就是说任意W中的元素相加或者和标量相乘之后仍然在W之中），那么将W称为V的线性子空间（简称子空间）。V的子空间中，最平凡的就是空间V自己，以及只包含0的子空间 {0} 。

给出一个矢量集合B，那么包含它的最小子空间就称为它的生成子空间，也称线性包络，记作span(B)。

给出一个矢量集合B，若它的生成集就是矢量空间V，则称B为V的一个生成集。如果一个矢量空间V拥有一个元素个数有限的生成集，那么就称V是一个有限维空间。

可以生成一个矢量空间V的线性无关子集，称为这个空间的基。若V={0}，约定唯一的基是空集。对非零矢量空间V，基是V“最小”的生成集。矢量空间的基是对矢量空间的一种刻画。确定了矢量空间的一组基B之后，空间内的每个矢量都有唯一的方法表达成基中元素的线性组合。如果能够把基中元素按下标排列： $\mathbf{B} = \left\{ e_1, e_2, \cdots, e_n, \cdots \right\}$ ，那么空间中的每一个矢量v便可以通过座标系统来呈现：

$v = \lambda_1 e_1 + \lambda_2 e_2 + \cdots + \lambda_n e_n + \cdots$

这种表示方式必然存在，而且是唯一的。也就是说，矢量空间的基提供了一个坐标系。

可以证明，一个矢量空间的所有基都拥有相同基数，称为该空间的维度。当V是一个有限维空间时，任何一组基中的元素个数都是定值，等于空间的维度。例如,各种实数矢量空间：R⁰, R¹, R²,R³, …, R^∞, …中， Rⁿ 的维度就是 n。在一个有限维的矢量空间（维度是n）中，确定一组基 $\mathbf{B} = \left\{ e_1, e_2, \cdots, e_n \right\}$ ，那么所有的矢量都可以用n个标量来表示。比如说，如果某个矢量v表示为：

$v = \lambda_1 e_1 + \lambda_2 e_2 + \cdots + \lambda_n e_n$

那么v可以用数组 $v = (\lambda_1 ,\lambda_2 , \cdots , \lambda_n )$ 来表示。这种表示方式称为矢量的坐标表示。按照这种表示方法，基中元素表示为：

$e_1 = (1, 0, \cdots ,0)$ $e_2 = (0, 1, \cdots ,0)$ $e_n = (0, 0, \cdots ,1)$

可以证明，任意一个n维的 $\mathbf{F}$ -矢量空间和空间 $\mathbf{F}^n$ 有同样的“构造”。这种关系称为同构，详见下一节。

线性映射

给定两个系数域都是F的矢量空间 V 和 W, 定义由 V 到 W 的线性变换（或称线性映射）为所有从 V 射到 W 并且它保持矢量加法和标量乘法的运算的函数f：

$f : \, V \rightarrow W$ $\forall a \in F, u,v \in V, \, f(u+v) = f(u) + f(v), \, f(a \cdot v) = a \cdot f(v)$

所有线性变换的集合记为 $\mathcal{L}(V, W)$ ，这也是一个系数域为F的矢量空间。在确定了 V 和 W 上各自的一组基之后， $\mathcal{L}(V, W)$ 中的线性变换可以通过矩阵来表示。

如果两个矢量空间 V 和 W 之间的一个线性映射是一一映射，那么这个线性映射称为（线性）同构，表示两个空间构造相同的意思。如果在 V 和 W 之间存在同构, 那么称这两个空间为同构的。如果矢量空间 V 和 W 之间存在同构 $f : \, V \rightarrow W$ ，那么其逆映射 $g : \, W \rightarrow V$ 也存在，并且对所有的 $x \in V, \, y \in W$ ，都有：

$g \circ f (x) = x, \, f \circ g (y) = y$

概念化及额外结构

研究矢量空间很自然涉及一些额外结构。额外结构如下：

一个实数或复数矢量空间加上长度概念（就是范数）则成为赋范矢量空间。
一个实数或复数矢量空间加上长度和角度的概念则成为内积空间。
一个矢量空间加上拓扑结构并满足连续性要求（加法及标量乘法是连续映射）则成为拓扑矢量空间。
一个矢量空间加上双线性算子（定义为矢量乘法）则成为域代数。

参见

线性代数
空间矢量 – 物理学的矢量

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内积空间

内积空间

定义

例子

内积空间的范数

正交规范序列

在内积空间上的算子

退化内积

内积空间

定义

性质

应用

内积

定义与例子

几何解释

性质

两种定义的等价性的证明

应用

参见

定义

性质

几何意义

代数性质

矩阵形式

高维情形

应用

参见

公理化定义

基本性质

例子

方程组与矢量空间

子空间基底

线性映射

概念化及额外结构

参见

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