高等数学——导数的定义和常见导数

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导数是微积分也是高数当中很重要的一个部分，不过很遗憾的是，和导数相关的部分很多同学都是高中的时候学的。经过了这么多年，可能都差不多还给老师了。所以今天的文章就一起来温习一下导数的相关知识，捡一捡之前忘记的内容。

函数切线

关于导数，最经典的解释可能就是切线模型了。以前高中的时候，经常对二次函数求切线，后来学了微积分之后明白了，所谓的求切线其实就是求导。

比如当下，我们有一个光滑的函数曲线 y=f(x) ，我们想要求出这个曲线在某个点的切线，那么应该怎么操作呢？

如上图所示，我们可以在选择另外一个点N，然后做MN的割线。假设T是M的真实的切线，当我们将N向M无限逼近的时候， $\angle NMT$ 在无限缩小，直到趋近与0，而此时的割线MN也就无限逼近于M点真实的切线T。

在图中，MN的斜率表示为 $\tan\phi$ ，其中 $\tan\phi=\frac{f(x)-f(x_0)}{x - x_0}$ .

当N逼近于M时：

\displaystyle\tan\phi= \lim_{x \to x_0}\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}

我们令 $\Delta x = x - x_0$ ，所以：

\displaystyle\tan\phi=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}

此时 $\tan\phi$ 的结果就是函数在 x_0 处导数的值，上面这个方法大家应该也都不陌生，在物理课上就经常见到，只不过在物理当中不叫极限也不叫逼近，称为换元法。但不管叫什么，意思是一样的。我们理解了上面这些式子之后，再来看看导数真正的定义。

定义

假设函数 y=f(x) 在点 x_0 处的邻域内有定义，当自变量在 x_0 处取得增量 $\Delta x$ ( $x_0 + \Delta x$ 仍然在 x_0 的邻域内)，相应的函数取得增量 $\Delta y=f(x_0+\Delta x) - f(x_0)$ 。如果 $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ 在 $\Delta x \to 0$ 时的极限存在，称为函数 y=f(x) 在点 x_0 处可导。它的导数写成 f'(x_0)

\displaystyle f'(x_0)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}

f'(x_0) 也可以记成 $\displaystyle\frac{dy}{dx}$ ，或者 $\displaystyle\frac{df(x)}{dx}$ 。

如果函数 y=f(x) 在开区间内可导，说明对于任意 $x \in I$ ，都存在一个确定的导数值。所以我们就得到了一个新的函数，这个函数称为是原函数 f(x) 的导函数，记作 f'(x) 。

不可导的情况

介绍完了常见函数的导函数之后，我们来看下导数不存在的情况。

导数的本质是极限，根据极限的定义，如果 $\displaystyle\lim_{x \to x_0}f(x)=a$ 。那么，对于某个正数 $\epsilon$ ，对于任何正数 $\delta$ ，都有 $0 < |x - x_0| < \delta$ 时， $|f(x) - a| \geq \epsilon$ 。那么就称为 $x \to x_0$ 时， f(x) 的极限是a。

我们对上面的式子进行变形，可以得到，当 $\Delta x \to 0$ 时:

\displaystyle\lim_{\Delta x \to 0}f(x_0-\Delta x)=f(x_0 + \Delta x) = a

也就是说极限存在的条件是无论自变量从左边逼近 x_0 还是右边逼近，它们的极限都存在并且相等。所以，函数 f(x) 在 x_0 点可导的充分必要条件就是，函数在 x_0 处的左右两侧的导数都必须存在，并且相等。

另一种不可导的情况是不连续，不连续的函数一定不可导。这一点其实很难证明，我们可以来证明它的逆否命题：可导的函数一定连续。

根据导数的定义，一个点的导数存在的定义就是 $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ 在 $\Delta x \to 0$ 时存在。即：

\displaystyle\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=f'(x)

我们把极限符号去掉：

这里的a是 $\Delta \to 0$ 时的无穷小，我们队上式两边同时乘上 $\Delta x$ ，可以得到：

由于 $a和\Delta x$ 都是无穷小，并且 f'(x) 存在，所以 $\Delta y$ 也是无穷小。而连续的定义就是当 $\Delta x \to 0$ 时， $\Delta y$ 也趋向于0.

反例

我们来举一个反例：

它的函数图像长这样：

我们试着来证明： f(x) 在 x=0 处不可导。

\begin{aligned}
f'_\_(0)&=\frac{|\Delta x|}{\Delta x}=-1 \\
f'_+(0)&=\frac{\Delta x}{\Delta x}=1
\end{aligned}

由于 f(x) 在 x=0 处的左右导数不等，和极限存在的性质矛盾，所以 f(x) 在 x=0 处不可导。

常见函数的导数

我们再来看一下常见函数的导函数，其实我们了解了导数的定义之后，我们完全可以根据导函数的定义自己推算。但说实话，这些推算意思不大，所以我们直接跳过推算的部分，直接来看结论。

，C是常数。
, $f'(x)=nx^{n-1}$
$f(x)=\sin x$ ， $f'(x)=\cos x$
$f(x)=\cos x$ ， $f'(x)=-\sin x$
， $f'(x)=a^x\ln a$
$f(x)=\log_ax$ ， $f'(x)=\frac{1}{x\ln a}, (a > 0, a \neq 0)” class=”equation” src=”https://juejin.cn/equation?tex=f'(x)%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5Cln%20a%7D%2C%20(a%20%3E%200%2C%20a%20%5Cneq%200)” loading=”lazy”></li> <li><noscript><img decoding=$ $f(x)=\ln x$ ， $f'(x)=\frac{1}{x}$