滑模控制的参数如何调_滑模控制抖振产生的原因

本文是笔者在进行滑模控制调参时发现的规律有感而发写成，本文只提供调参的思路，但是具有一定的理论依据，苦于滑模控制调参的同学可以参考并尝试！！

由于笔者个人时间和精力有限，因此此处不再进行举例说明，仅提供一种调参思路。顺便这里给自己的滑模控制博客打个广告：滑模控制理论（SMC）概述

众所周知，滑模控制基于具有如下形式的系统数学模型：
$$\{\begin{array}{l}{\dot{x}}_1=x_2\\ {\dot{x}}_2=x_3\\ ⋮\\ {\dot{x}}_{n-1}=x_n\\ {\dot{x}}_n=f(x,t)+g(x,t)\cdot U\end{array}\text{\hspace{1em}(1)}$$具有(1)形式的方程组称为柯西形式，其特点是：方程组中每一状态量$x_i$的导数均为其接续状态量$x_{i+1}$，而只有在最后一阶$x_n$的导数中含有控制量$U$。

而基于柯西形式的数学模型，往往可以设计误差量：
$$\begin{gathered} e_1=x_1-x_{1d} \\ {e}_2={\dot{e}}_1={\dot{x}}_1-{\dot{x}}_{1d} \\ ⋮ \\ {e}_n={\dot{e}}_{n-1}=x_1^{(n-1)}-{\dot{x}}_{1d}^{(n-1)}\text{\hspace{1em}(2)} \end{gathered}$$其中$x_{1d}$为$x_1$的期望值。

进而设计滑模面：
$$\begin{array}{rl}{s}_1& =c_1{e}_1+c_2{e}_2+\cdots +c_{n-1}{e}_{n-1}+e_n\\ & =\sum _{i=1}^n{c}_i{e}_i\end{array}\text{\hspace{1em}(3)}$$需要注意在最后一项$e_n$前的系数$c_n=1$。

由于方程组(2)本质上是一个不断求导的方程组，因此根据(2)，滑模面(3)也可以写成
$$s_1=c_1{e}_1+c_2{\dot{e}}_1+\cdots +c_{n-1}{e}_1^{(n-2)}+e_1^{(n-1)}\text{\hspace{1em}(4)}$$(4)式很难直观地进行物理理解，因此这里举一个二阶例子简单说明滑模控制调参的思路：
$$s_1=c_1{e}_1+e_2=c_1{e}_1+{\dot{e}}_1\text{\hspace{1em}(5)}$$可以看出，式(5)是关于变量$e_1$及其导数的一个方程。一般地，这种同时含有某个量及其一阶导的方程，很容易令人联想到一阶惯性环节：
$$G(s)=\frac{1}{Ts+1}$$传函$G(s)$对应的时域方程即为
$$T\dot{x}(t)+x(t)=y(t)\text{\hspace{1em}(6)}$$将(5)(6)相比较，很容易发现二者极其相似。这不是巧合，而是由我们在一开始设计滑模面的时候就决定了的：滑模面由$n$个误差量$e_i$组成，但实际上每个误差量都是前一个误差量的导数，因此当$n=2$时，滑模面方程本质上就是一个一阶惯性环节方程。

而利用经典自动控制理论可以知道，当系统中含有一阶惯性环节时，系统的稳态响应中将会有如下分量（或称模态）：
$$x_i(t)=k{e}^{-\frac{1}{T}t}\text{\hspace{1em}(7)}$$其中$k$为常数，由初始条件解得。

不难看出，稳态响应分量(7)是单调递减的指数函数，保障了系统的稳定性和有界性。那么，根据以上推导，可以简单粗暴地得出如下结论：
二阶滑模面本质上就是一阶惯性环节，因此其正系数$c_i$保证了系统的稳态响应的有界性和稳定性。

那么进而可以得出调参方法：
对于二阶系统，其二阶滑模面的正系数$c_1$越大，则(7)中指数函数收敛速度越快，系统也越快达到稳态。

下面将该结论拓展至$n$阶滑模面——
如果滑模面不再是2阶，而是$n$阶，那么如上结论依然适用——不妨将滑模方程(5)看成一个$n$阶惯性环节，即广义的一阶惯性环节，那么同样地有：

对于$n$阶系统，其$n$阶滑模面的正系数$c_i$越大，则(7)中指数函数收敛速度越快，系统也越快达到稳态。

在具体调参时，如果系统收敛较慢，不妨试着适当加大$c_i$来加快收敛速度，而这一做法的依据即为了使稳态分量(7)式收敛更快。

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