补充:
首先要纠正你一个错误,没有完全平方差公式.应为：
（1）完全平方公式：（a+b)²=a²+2ab+b²
(a-b)²=a²-2ab+b²
（2）平方差公式：（a+b)(a-b)=a²-b²
（1）完全平方公式：（a+b)²=a²+2ab+b²
(a-b)²=a²-2ab+b²
（2）平方差公式：（a+b)(a-b)=a²-b²
一般地，
自
变量x和因变量y之间存在如下关系：
自
变量x和因变量y之间存在如下关系：
一般式：y=ax
2+bx+c(a≠0，a、b、c为 常数)，则称y为x的二次函数。
2+bx+c(a≠0，a、b、c为 常数)，则称y为x的二次函数。
顶点式：y=a(x-h)
2+k(a≠0，a、h、k为常数)。
2+k(a≠0，a、h、k为常数)。
交点式（与x轴）：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0，a、且x1、x2为常数)x1、x2为二次函数与x轴的两交点。
等高式：y=a(x-x1)(x-x2)+m(a≠0，且过（x1、m）（x2、m）为常数)x1、x2为二次函数与x轴的两交点。
一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：
一般式：y=ax
2+bx+c(a≠0，a 、b、c为 常数)，则称y为x的二次函数。
2+bx+c(a≠0，a 、b、c为 常数)，则称y为x的二次函数。
顶点式：y=a(x-h)
2+k(a≠0，a、h、k为常数)
2+k(a≠0，a、h、k为常数)
交点式（与x轴）：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0，x1、x2为常数)
重要知识：（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大。）
二次函数表达式的右边通常为二次。
x是 自变量，y是x的二次函数
一元二次方程求根公式
当b
2-4ac>0 时
2-4ac>0 时
当b
2-4ac=0时
2-4ac=0时
x1=x2=-b/2a
①一般式
②顶点式
[抛物线的顶点 P(h，k) ]：
y=a(x-h)2+k(a,h,k为常数,a≠0)
y=a(x-h)2+k(a,h,k为常数,a≠0)
③交点式
[仅限于与x轴有交点 A(x1,0) 和 B(x2,0) 的抛物线]：
y=a(x-x1)(x-x2)(a,x1,x2为常数,a≠0)
y=a(x-x1)(x-x2)(a,x1,x2为常数,a≠0)
3种形式的转化∶
①一般式和顶点式
对于二次函数
y=ax2+bx+c，其顶点坐标为
(-b/2a,(4ac-b2)/4a)，即
y=ax2+bx+c，其顶点坐标为
(-b/2a,(4ac-b2)/4a)，即
h=-b/2a=(x1+x2)/2
k=(4ac-b2)/4a
②一般式和交点式
x1,x2=[-b±√(b2-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式)
抛物线的性质
1.抛物线是轴对称图形。 对称轴为直线
x = -b/2a。
x = -b/2a。
对称轴与 抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）
2.抛物线有一个顶点P，坐标为P ( -b/2a ，(4ac-b
2)/4a )
2)/4a )
当-b/2a=0，〔即b=0〕时，P在y轴上；当Δ= b
2-4ac=0时，P在x轴上。
2-4ac=0时，P在x轴上。
3. 二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
|a|越大，则 抛物线的开口越小。
4. 一次项系数b和二次项系数a共同决定 对称轴的位置。
当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左；
当a与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右。
5. 常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于（0，c）
6.抛物线与x轴交点个数
Δ= b
2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点。
2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点。
Δ= b
2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
Δ= b
2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是 虚数（
x= -b±√b2－4ac 乘上虚数i，整个式子除以2a）
2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是 虚数（
x= -b±√b2－4ac 乘上虚数i，整个式子除以2a）
当a>0时，函数在x= -b/2a处取得最小值f(-b/2a)=〔4ac-b
2〕/4a；在{x|x<-b/2a}上是 减函数，在{x|x>-b/2a}上是增函数； 抛物线的开口向上；函数的 值域是{y|y≥4ac-b
2/4a}相反不变
2〕/4a；在{x|x<-b/2a}上是 减函数，在{x|x>-b/2a}上是增函数； 抛物线的开口向上；函数的 值域是{y|y≥4ac-b
2/4a}相反不变
当b=0时，抛物线的 对称轴是y轴，这时，函数是 偶函数，解析式变形为y=ax
2+c(a≠0)
2+c(a≠0)
7. 定义域：R
值域：（对应 解析式，且只讨论a大于0的情况，a小于0的情况请读者自行推断）①[(4ac-b
2)/4a， 正无穷）；②[k，正无穷）
2)/4a， 正无穷）；②[k，正无穷）
奇偶性：非奇非偶 （当且仅当b=0时， 函数解析式为f（x）=ax
2+c, 此时为 偶函数）
2+c, 此时为 偶函数）
周期性：无
解析式：
①y=ax
2+bx+c[ 一般式]
2+bx+c[ 一般式]
⑴a≠0，a、b、c为 常数。
⑵a>0，则抛物线开口朝上；a<0，则抛物线开口朝下；
⑶ 极值点：（-b/2a，(4ac-b
2)/4a）；
2)/4a）；
⑷Δ=b
2-4ac,
2-4ac,
Δ>0，图象与x轴交于两点：
（[-b+√Δ]/2a，0）和（[-b-√Δ]/2a，0）；
Δ=0，图象与x轴交于一点：
（-b/2a，0）；
Δ<0，图象与x轴无交点；
②y=a(x-h)
2+k[配方式]
2+k[配方式]
此时，对应极值点为（h，k），其中h=-b/2a，k=(4ac-b
2)/4a；
2)/4a；
二次函数的性质
特别地，二次函数（以下称函数）
y=ax2+bx+c(a≠0)，
y=ax2+bx+c(a≠0)，
当
y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），
y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），
即
ax2+bx+c=0(a≠0)
ax2+bx+c=0(a≠0)
此时， 函数图像与x轴有无交点即 方程有无 实数根。
函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
解析式 | y=ax2+k | y=ax2 | y=a(x-h)2 | y=a(x-h)2+k | y=ax2+bx+c |
顶点坐标 | (0,k) | (0，0) | ( h，0) | (h，k) | (-b/2a，4ac-b2/4a) |
对 称轴 | x=0(y轴) | x=0(y轴) | x=h | x=h | x=-b/2a |
当
h>0时，
y=a(x-h)2的图象可由抛物线
y=ax^2向右平行移动
h个单位得到，
h>0时，
y=a(x-h)2的图象可由抛物线
y=ax^2向右平行移动
h个单位得到，
当
h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到．
h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到．
当
h>0,k>0时，将 抛物线
y=ax^2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)
2+k的图象；
h>0,k>0时，将 抛物线
y=ax^2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)
2+k的图象；
当
h>0,k<0时，将抛物线
y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到
y=a(x-h)2+k的图象；
h>0,k<0时，将抛物线
y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到
y=a(x-h)2+k的图象；
当
h<0,k>0时，将抛物线向左平行移动
|h|个单位，再向上移动k个单位可得到
y=a(x-h)2+k的图象；
h<0,k>0时，将抛物线向左平行移动
|h|个单位，再向上移动k个单位可得到
y=a(x-h)2+k的图象；
当
h<0,k<0时，将抛物线向左平行移动
|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到
y=a(x-h)2+k的图象；
h<0,k<0时，将抛物线向左平行移动
|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到
y=a(x-h)2+k的图象；
因此，研究抛物线
y=ax2+bx+c(a≠0)的图象，通过配方，将 一般式化为y=a(x-h)
2+k的形式，可确定其 顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了．这给画图象提供了方便．
y=ax2+bx+c(a≠0)的图象，通过配方，将 一般式化为y=a(x-h)
2+k的形式，可确定其 顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了．这给画图象提供了方便．
2．抛物线
y=ax2+bx+c(a≠0)的图象：当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线
x=-b/2a，顶点坐标是
(-b/2a，[4ac-b2]/4a)．
y=ax2+bx+c(a≠0)的图象：当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线
x=-b/2a，顶点坐标是
(-b/2a，[4ac-b2]/4a)．
3． 抛物线
y=ax2+bx+c(a≠0)，若
a>0，当
x ≤ -b/2a时，y随x的增大而减小；当
x ≥ -b/2a时，y随x的增大而增大．若a<0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而增大；当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而减小．
y=ax2+bx+c(a≠0)，若
a>0，当
x ≤ -b/2a时，y随x的增大而减小；当
x ≥ -b/2a时，y随x的增大而增大．若a<0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而增大；当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而减小．
4．抛物线y=ax
2+bx+c
(a≠0)的图象与坐标轴的交点：
2+bx+c
(a≠0)的图象与坐标轴的交点：
(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)；
(2)当△=b
2-4ac>0，图象与x轴交于两点A(x1，0)和B(x2，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax
2+bx+c=0
2-4ac>0，图象与x轴交于两点A(x1，0)和B(x2，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax
2+bx+c=0
(a≠0)的两根．这两点间的距离AB=|x2-x1| 另外，抛物线上任何一对对称点的距离可以由2x|A+b/2a|（A为其中一点的横坐标）
当△=0．图象与x轴只有一个交点；
当△<0．图象与x轴没有交点．当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何 实数时，都有y>0；当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0．
5．抛物线y=ax
2+bx+c的最值（也就是极值）：如果a>0(a<0)，则当x= -b/2a时，y最小(大)值=(4ac-b
2)/4a．
2+bx+c的最值（也就是极值）：如果a>0(a<0)，则当x= -b/2a时，y最小(大)值=(4ac-b
2)/4a．
顶点的横坐标，是取得极值时的自变量值，顶点的纵坐标，是极值的取值．
6．用 待定系数法求二次函数的 解析式
(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：
y=ax
2+bx+c(a≠0)．
2+bx+c(a≠0)．
(2)当题给条件为已知图象的 顶点坐标或 对称轴时，可设解析式为 顶点式：y=a(x-h)
2+k(a≠0)．
2+k(a≠0)．
(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)．
7．二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中高考的热点考题，往往以大题形式出现．
关于二次函数的答题
函数y=2x+1的图象与抛物线y=2x
2+2x+1的图像交于一点，求此点坐标.
2+2x+1的图像交于一点，求此点坐标.
解:由题知2x+1=2x
2+2x+1
2+2x+1
所以:2x
2=0
2=0
x1=x2=0
y=2×0+1
所以:该点坐标为(0,1)
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二次函数性质_初三学二次函数的窍门分享到此就结束了，感谢您的阅读。
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