格路问题_格路是啥意思

格路问题

1.格路问题：

从(0,0)点出发只能沿x轴或y轴的正方向每步走一个单位，最终走到(m,n)点，有多少条路径？

解法很简单，把寻找路径问题转化为求组合问题，一共要走m+n步，其中往x方向m步，y方向n步。
列成式子为$C_{m+n}^n$

2.不能接触对角线的格路问题

假设m>n，(0,0)到(m,n)点且每个点x都大于y，即不接触对角线的格路数。
1)从(1,0)开始的路径才有可能不接触对角线，此时所有情况为$C_{(m-1)+n}^n$,代表往x轴需要走m-1步，y轴n步，如下图1红色路径；
2)从(1,0)开始的路径中所有接触对角线的都能对应一条过对角线的路径，即把第一次接触对角线位置之前的路径关于x=y对称即可，此时过对角线数目为$C_{m+(n-1)}^m$, 如下图2的绿色路径；
3)所以不接触对角线的格路数为$C_{(m-1)+n}^n-C_{m+(n-1)}^m=C_{m+n-1}^n-C_{m+n-1}^m$

3.不能过对角线的格路问题

1)从(0,0)开始到(m,n)可以存在不过对角线的格路，所以起点可以使(0,0)，此时总路径数 $C_{m+n}^n$
2)不过但可以接触对角线$l1$问题可以把对角线上移一格子变为 $l2$，此时等价于不接触 $l2:y=x+1$;
(0,0)关于 $l2$ 的对称点为(-1,1),这个时候从(0,0)开始到(m,n)的所有路径都对应从(-1,1)开始到(m,n)的路径，此时接触 $l2$ 的路径数为 $C_{(m+1)+(n-1)}^{n-1}$；

说明：
见下图2里的红色与 $l2$ 的交点是第一次接触 $l2$ 的地方，把前面的路径关于 $l2$ 对称过去是(-1,1)为起点，这个时候在x方向需要走(m+1)步，在y方向走(n-1)步，也就是式子里的下标中-1和+1的意思；
这里起点必须是(-1, 1)，不能是新原点(-1，0)，因为对称过去的路径和原路径是对应的，长度相等，并且每一条与 $l2$ 相接触的都唯一对应一条这样的路径，见下图2。【或者直接理解成新原点在(-1,1)，(m+1)和(n-1)为新的要走的步数，见下图3里的蓝色坐标系。】

3)所以不经过$l1$的路径数为$C_{m+n}^n-C_{(m+1)+(n-1)}^{n-1}=C_{m+n}^n-C_{m+n}^{n-1}$

4.相关问题

1.数目都为N的1和-1如何排列可以满足到任意位置的和大于0？
等价于M=N的不能过对角线问题，可以接触，因为可以是1、-1、1、-1…1、-1.
2.m>n,只能在x和y轴方向走，从(0,0)到(m,n)的路径个数有几条，必须保证在任何时候x方向走的步数大于y方向走的步数？
等价于不接触对角线的格路问题，如果是x方向可以等于y方向步数就是不过对角线的格路问题。

参考：
知乎：https://zhuanlan.zhihu.com/p/
百度百科：https://baike.baidu.com/item/%E6%A0%BC%E8%B7%AF%E9%97%AE%E9%A2%98/?fr=aladdin

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