计算机组成第二章_计算机组成原理第六版课后答案

数据的表示与运算

进位计数制

r进制计数法
$K_n{K}_{n-1}\dots \dots K_2{K}_1{K}_0{K}_{-1}{K}_{-2}\dots \dots K_{-m}=K_n\ast r^n+K_{n-1}\ast r^{n-1}+\dots \dots +K_2\ast r^2+K_1\ast r^1+K_0\ast r^0+K_{-1}\ast r^{-1}+K_{-2}\ast r^{-2}+\dots \dots +K_{-m}\ast r^{-m}$

基数：每个数码位所用到的不同符号的个数，r进制的基数为r（就是10进制的基数就是0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这样）

进制转换

任意进制->十进制

$K_n{K}_{n-1}\dots \dots K_2{K}_1{K}_0{K}_{-1}{K}_{-2}\dots \dots K_{-m}=K_n\ast r^n+K_{n-1}\ast r^{n-1}+\dots \dots +K_2\ast r^2+K_1\ast r^1+K_0\ast r^0+K_{-1}\ast r^{-1}+K_{-2}\ast r^{-2}+\dots \dots +K_{-m}\ast r^{-m}$

就是原来那个

二进制<->八进制
从尾部开始（小数点前），三个为一组，每组转换成对应的八进制符号（如果前面不够了，就在最前面补0，凑齐三个，小数点后面不够了，就在最后面补0，凑齐三个）

例如：1111000010.01101

二进制<->十六进制
从尾部开始，四个为一组，每组转换成对应的十六进制符号（和八进制一样）

十进制->任意进制

整数部分和小数部分需要分开进行处理

十进制要转化为什么进制，就除以多少（图中是变成二进制），然后余数从k6-k0就是二进制形式（这是整数部分的）

当然一般都这么写

注：一般十进制转二进制都是先变成十六进制/八进制在变成二进制

小数点后就是乘以进制数（这图上是二进制）的方法，这里就是第一次就是第一位开始（一直到乘以进制数不再有小数位即可）

这里面可能会出现无限循环的情况，只做循环部分即可

这个应该就是多看看例题啥的就能理解，很简单

各种进制的常见书写方式

真值和机器数

真值：符合人类习惯的数字（可以有正负）

机器数：数字实际存到机器里的形式，正负号需要被“数字化”

知识回顾与重要考点

BCD码

本节总览

BCD码：用4个二进制位表示一个10进制（当然，这中间会有6种方式冗余）

8421码

就是4个二进制位的权值分别是8、4、2、1，同时因为权值固定被称为有权嘛
各个位如下表示

举个例子：
985 —1001 1000 0101

8421码的加法

例如
1+3

0001+0011=0100

5+8

0101+1000=1101

现在1101不在各位数字的映射表中，因此1101需要修正，也就是再+6（+0110）变成10011，最终用8421码表示就是0001 0011=13

9+9

1001+1001=10010

这很明显也是超出了，所以要修正也是+6（+0110），变成11000,8421码表示就是00010010=18

注：如果相加结果在映射表示范围内，则无需修正

余3码

很容易理解就是8421码+（0011）

当+0011后，发现每个位上的权值不在固定，因此余3码也被称为无权吗

2421码

其实就是把各个位上的权值改成了2、4、2、1，并且为了防止错误，规定0-4上的首尾只能是0,5-9上的首位必须是1

知识回顾与重要考点

字符与字符串

英文字符在计算机内的表示（ASCII码）

英文字符等总和只有128个，虽然只需要7位2进制数表示，但是计算机中一般使用2的倍数，那么就是8位

在计算机中，英文符号都是使用ASCII码表示的

其中32~126都是可印刷字符（普通字符），日常生活所用
其余都是控制、通信字符（例如127-DEL删除字符、6-ACK确认帧）

数字：48（0011 0000）~57（0011 1001）
可以发现前面都是0011，后面的四位刚好是对应的BCD码

大写字母：65（0100 0001）~90（0101 1010）
小写字母：97（0110 0001）~122（0111 1000）

可以发现前三位是不变的010,011，后面第一位都是0 0001开始

汉字在计算机中的表示与编码

GB2312-80：汉字+各种符号共7445个（1980年的，并且没有囊括所有）

区位码：94个区，每个区94个位置（就好像一个94*94的矩阵，每一个位置代表一个汉字）

解释：第一个16 01是啊汉字的区位码

第一次操作+20H

为了区分开ASCII码里面的通信、控制字符（被称为国标码）

第二次操作+80H

为了防止被误认为是ASCII码，直接超过128（被称为汉字内码）

当然，这只是存储在计算机内部的，其中输入输出还需要不同的编码

输入：输入编码（由输入法转化为国标码，然后由计算机内部转化为汉字内码）

输出：汉字字形码（每个汉字的输出其实是由许多像素点组成，输出是每个汉字不同，字形码就不同，对照输出）

字符串

首先是英文字符在计算机内部的存储

这个应该很容易理解，不需要解释吧

中文在计算机内部的存储

这中间分为两个模式（种类），一种是大端模式、一种是小端模式，其中的区别就是大端是数据的最高有效字节存放在低地址，小短是数据的最高有效字节存放在高地址单元中

知识回顾与重要考点

校验码

由于数据在存储、传输、运算过程中出现误差，因此需要校验数据是否正确

校验原理

码字：这其中一个A就是一个码字

码字间的距离：将两个码字进行对比，具有不同位的个数（例如左边的A和B，距离为1；右边的A和B，距离为2）

码距：一种编码方案有若干个合法码字（右边就是只有4种，A、B、C、D，各个合法码字之间的最小距离称为“码距”（d））

当d=1时，无检错能力；当d=2时，有检错能力；当$d\ge 3$时，若设计合理，可能具有检错，纠错能力

奇偶校验码

奇校验码:整个校验码(有效信息位和校验位)中“1”的个数为奇数。

偶校验码:整个校验码(有效信息位和校验位)中“1”的个数为偶数。

例题：
给出两个编码1001101和1010111的奇 校验码和偶校验码。
设最高位为校验位，余7位是信息位，则对应的奇偶校验码为:

奇校验: \qquad 11001101 \qquad 01010111
偶校验: \qquad 01001101 \qquad 11010111

这个就很容易从定义中理解，就不解释了

如何检错：
当发生位错误的时候，发现和定义不同，就知道这个错误了（但是不能知道那一位错误，因此奇偶校验码只有检错能力，没有纠错能力）

注：只能判断奇数次的位错误

硬件实现奇偶校验

偶校验：各信息进行异或（模2加）运算，得到的结果为偶校验位

上图是硬件对第一个编码1001101进行校验，很容易理解

知识回顾与重要考点

海明码

将信息位分组进行偶校验，分成k组，这样多个校验位就能确定错误的位置

k个校验码可以携带$2^k$种状态，而当校验码插入信息后，总共是n+k位，并且还包含了最原始正确的一种情况

因此我们可以通过公式$2^k\ge n+k+1$来确定我们最终需要多少个校验位

海明码规定，第i个校验位，应该放到最终的海明码的$2^{i-1}$的位置上

举例：
n为4，那么校验位就是3
数据码$D_4{D}_3{D}_2{D}_1$
校验码$P_3{P}_2{P}_1$
海明码就是$D_4{D}_3{D}_2{P}_3{D}_1{P}_2{P}_1$

校验码值的确定方式
$P_1$就是当权值为1的那位是1的时候，进行异或操作

$P_2$就是当权值为2的那位是1的时候，进行异或操作

$P_3$就是当权值为4的那位是1的时候，进行异或操作

纠错方式：

我们用原来求P的值和P一起进行异或，如果没错能求出3个0，如果错误了，就会如下图一样显示错误的位数

补充内容：
海明码只有一位的纠错能力，也就是位错误到达两次及以上的时候海明码无法纠正错误

因此在实际应用中还会有一个全校验码，规则如下所示：

知识点回顾

循环冗余校验码（CRC码）

约定一个除数（二进制），如果余数不等于0则发生错误

校验位就是余数

如果出错就可以进行重传或者单比特位纠错

除数在题目中一般就是生成多项式$G(x)=x^3+x^2+1$就是除数1101
R位的校验码其实就是生成多项式的最高次幂（或者二进制的长度）

步骤：

1. 确定K、R以及生成多项式对应的二进制码
   K=信息码的长度
   R=生成多项式的最高次幂（二进制的长度）
   校验码位数N=K+R
2. 移位
   信息码左移R位，低位补0
3. 相除
   对移位后的信息码，用生成多项式进行模2除法，产生余数
4. 检错和纠错
   发送为101001 001
   接收为101001 001
   然后在用1101进行模2除，余数为0，代表没有错
   接收为101001 011
   用1101进行模2除，余数为010，代表第二位出现问题
   
   为啥对上面代表第二位出错画横线呢，因为如上图所示出错的可能不是第二位，可能是第9位，因此不一定（也就是说，信息码的长度太长，导致无法用三个比特位表示；相当于当信息码短的时候CRC拥有纠错能力，CRC码超过$2^{检验码位数}$时，没有检错能力）

举例：
信息码101001
生成多项式$G(x)=x^3+x^2+1$就是除数1101

这就是求校验码的过程，这里来讲述一下是如何进行的

这里的除法只看最高位，如果最高位为1，则商取1，然后后三位进行异或操作，如果最高位为0，则商取0，后三位进行异或操作。

最终会获得校验码（只比除数少一位）

最终的CRC码就是101001 001

CRC检错特点

1. 可以检测出所有奇数个错误
2. 可以检测出所有双比特的错误
3. 可以检测出所有小于等于校验位长度的连续错误

知识回顾

定点数

定点数：小数点位置固定的数 \qquad 996.007

浮点数：小数点位置不固定的数 $9.96007\ast 10^2$

二进制的定点数和浮点数也和这个相似

无符号数

无符号数:整个机器字长的全部:二进制位均为数值位，没有符号位，相当于数的绝对值。

n位无符号数的表示范围：0~$2^n-1$

注：通常无符号数只有整数，没有小数

有符号数

定点整数

这个就很简单，除了第一位符号为以后全是整数的数值部分，小数点隐含在数值部分最后

原码:用尾数表示真值的绝对值，符号位“0/1”对应“正/负”

表示范围：
若机器字长n+1位，原码整数的表示范围 $-(2^n-1)\le x\le (2^n-1)$关于原点对称

若机器字长n+1位，反码整数的表示范围 $-(2^n-1)\le x\le (2^n-1)$关于原点对称
但是关于真值0的表示有些不同
$[-0{]}_{反}=11111111$

定点整数补码$[x{]}_{补}=10000000$表示x=$-2^7$
若机器字长n+1位，补码小数的表示范围 $-2^n\le x\le (2^n-1)$（比原码多一个-2^{n}），真值0只有一种表示方式

若机器字长n+1位，移码整数的表示范围与补码相同（只能用于整数表示，作用是让计算机更容易比较大小）真值0只有一种表示方式

其中真值0有+0和-0两种形式（说明能表示的字数为$2^{n+1}-2$个）

举例：

原码表示
+19D=0 0010011（符号位+19的二进制）
-19D=1 0010011（符号位+19的二进制）
常写为：$[x{]}_{原}=10010011$

反码表示
若符号位为0，则反码与原码相同
若符号位为1，则数值位全部取反
$[x{]}_{原}=00010011$
$[x{]}_{反}=00010011$

$[x{]}_{原}=10010011$
$[x{]}_{反}=11101100$

补码表示
正数的补码=原码
负数的补码=反码+1（要考虑进位）
$[x{]}_{原}=00010011$
$[x{]}_{反}=00010011$
$[x{]}_{补}=00010011$

$[x{]}_{原}=10010011$
$[x{]}_{反}=11101100$
$[x{]}_{补}=11101101$

移码表示
补码的基础上将符号位取反
$[x{]}_{原}=00010011$
$[x{]}_{反}=00010011$
$[x{]}_{补}=00010011$
$[x{]}_{移}=10010011$

$[x{]}_{原}=10010011$
$[x{]}_{反}=11101100$
$[x{]}_{补}=11101101$
$[x{]}_{移}=01101101$

定点小数

表示时的结构：

表示范围：
若机器字长n+1位，原码整数的表示范围 $-(1-2^{-n})\le x\le (1-2^{-n})$关于原点对称
真值0同样也是两种形式

若机器字长n+1位，反码小数的表示范围 $-(1-2^{-n})\le x\le (1-2^{-n})$关于原点对称

定点小数补码$[x{]}_{补}=1.0000000$表示x=1
若机器字长n+1位，补码小数的表示范围 $-1\le x\le (1-2^{-n})$（比原码多一个-1）

原码表示
+0.75D=0 1100000
-0.75D=1 1100000
常写为：$[x{]}_{原}=1.1100000$
若为指明机器字长：$[x{]}_{原}=1.11$

反码表示
$[x{]}_{原}=0.1100000$
$[x{]}_{反}=0.1100000$

$[x{]}_{原}=1.1100000$
$[x{]}_{反}=1.0011111$

补码表示
$[x{]}_{原}=0.1100000$
$[x{]}_{反}=0.1100000$
$[x{]}_{补}=0.1100000$

$[x{]}_{原}=1.1100000$
$[x{]}_{反}=1.0011111$
$[x{]}_{补}=1.0100000$

注：当规定长度的时候，需要在高位补0，满足规定位数（看上面那个就是活生生的例子）

小技巧：由$[x{]}_{补}快速求[-x{]}_{补}的方法$，符号位、数值位全部取反，末位+1

原码、反码、补码的作用

补码：让减法操作转变为加法操作，节省硬件成本

注：没弄明白这节课的重点是什么

定点数运算

移位运算

算数移位

上图就是原码的算数右移，相当于数值除以2

上图是原码的算数左移，相当于乘以2

原码的算数移位—符号位保持不变，仅对数值位进行移位

右移：高位补0，低位舍弃。若舍弃的位=0，则相当于除以2；若舍弃的位不等于0，则丢失精度

左移：低位补0，高位舍弃。若舍弃的位=0，则相当于乘以2，若舍弃的位不等于0，则会出现严重误差

反码（正数）的算数移位

右移：高位补0，低位舍弃

左移：低位补0，高位舍弃

反码（负数）的算数移位

右移：高位补1，低位舍弃

左移：低位补1，高位舍弃

补码（正数）的算数移位

右移：高位补0，低位舍弃

左移：低位补0，高位舍弃

补码（负数）的算数移位

右移：高位补1，低位舍弃

左移：低位补0，高位舍弃

表格总结：

左移相当于乘以2，右移相当于除以2

由于位数有限，因此有时候无法用算数移位精确的等效乘除法（当有数值位是1被舍弃时）

逻辑移位

逻辑右移:高位补0，低位舍弃。

逻辑左移:低位补0，高位舍弃。

可以把逻辑移位看作是对无符号数的算数移位

循环移位

上图就是循环移位的操作，很容易理解

这些主要还是算数移位需要计算，别的都是拿来做其他操作，并不是运算

知识点回顾

加减运算

原码的加法运算

正+正→绝对值做加法，结果为正

负+负→绝对值做加法，结果为负

正+负→绝对值大的减绝对值小的，符号同绝对值大的数

负+正→绝对值大的减绝对值小的，符号同绝对值大的数

原码的减法运算（减数符号取反，转变为加法）
正-负→正+正
负-正→负+负
正-正→正+负
负-负→负+正

补码的加减与运算
$[A+B{]}_{补}=[A{]}_{补}+[B{]}_{补}$
$[A+B{]}_{补}=[A{]}_{补}+[-B{]}_{补}$

$[-B{]}_{补}$=$[B{]}_{补}$连同符号位取反+1

移出判断

方法一：
A的符号位$A_S$
B的符号位$B_S$
S的符号位$S_S$
$V=A_S{B}_S\overline{S_S}+\overline{A_S}\overline{B_S}{S}_S$

V=0，表示无溢出
V=1，表示有溢出

方法二：
采用一位符号位，根据数据位进位情况判断溢出

符号位进位$C_S$ 最高数值位的进位$C_1$

上溢 $C_S=0C_1=1$

下溢 $C_S=1C_1=0$

即： $C_S\ne C_1$时有溢出

在硬件中就是用异或
$V=C_S\oplus C_1$

V=0，表示无溢出
V=1，表示有溢出

方法三：
采用双符号数
正数符号为00，负数符号为11

当符号位=01时—上溢
当符号位=10时—下溢

硬件操作和方法二相同

符号扩展

正整数（因为原码反码补码都一样所以只有一个样子）

0 1011010→0 00000000 1011010

负整数
原码操作不变
1 1011010→1 00000000 1011010

反码、补码都是对原码做操作即可（和原来的原码变反码补码一样的操作）

正小数（因为原码反码补码都一样所以只有一个样子）

0.1011010→0.1011010 00000000

负小数

1.1011010→1.1011010 00000000

反码、补码都是对原码做操作即可（和原来的原码变反码补码一样的操作）

定点整数的符号扩展:在原符号位和数值位中间添加新位，正数都添0;负数原码添0，负数反、补码添1

定点小数的符号扩展:在原符号位和数值位后面添加新位，正数都添0;负数原、补码添0，负数反码添1

知识点回顾

乘法运算

这个二进制的算法其实和十进制的也没有什么区别

但是实际上计算机是无法使用这种方式的，因为数字有正负、需要求和的数太多了（有好多，只要记住计算机不会这么算就行）

原码乘法/除法

设机器字长为n+1=5位(含1位符号位)，[x]原= 1.1101，[y]原= 0.1011,采用原码-一位乘法求x*y

符号位单独处理：符号位=$x_s\oplus y_s$

数值位取绝对值进行乘法计算

在硬件计算中，实现方式为先加法，再移位，重复n次（这个的话建议看视频，通俗易懂，言语解释比较难懂，其中还有后续的除法2021王道考研计算机组成原理）

浮点数

定点数可以表示的数字范围有限，但我们不能无限制地增加数据的长度

因此浮点数就出现了，为了在位数不变的状态下增加数据表示范围

浮点数的表示方法就和科学计数法相似

阶符表示科学计数法10的指数的正负

阶码表示10的指数大小（常用补码或移码表示的定点整数）

数符表示表示的数的正负

尾数表示数值（常用原码或补码表示的定点小数）

举例：
302657264526 = 3.026*$10^{11}$

用浮点数就是：阶符=0 阶码=$(11{)}_{10}$要用二进制表示（这里懒得写了），数符=0，尾数=$(30265\dots \dots {)}_{10}$，这里也是二进制，不换了，尾数会一直表示到位数用尽位置

因此尾数的位数会极大的影响到数字的精度

举例：

阶码、尾数均用补码表示，求a、b的真值

a=0 01 1 1001
b=0 10 0 01001

a的阶码为+1，尾数为-0.1001
b的阶码为+2，尾数为0.01001

a的值就是尾数的小数点右移一位的二进制

b的值就是尾数的小数点右移两位的二进制

浮点数尾数的规格化

就像上面的b所示，尾数其实浪费了一位，因此规格化就是要求b变为0 01 0 1001

也就是尾数的第一位必须是有效数字，至于前面要舍掉多少个0，就在阶码减多少

规格化浮点数:规定尾数的最高数值位必须是一个有效值。

左规:当浮点数运算的结果为非规格化时要进行规格化处理，将尾数算数左移一位，阶码减1

右规:当浮点数运算的结果尾数出现溢出(双符号位为01或10)时，将尾数算数右移一位，阶码加1。

右规举例：

这东西。。。例子看懂了，但是对于双符号位还是不懂

1.用原码表示的尾数进行规格化:
正数为0.1X x…的形式，其最大值表示为01…1;最小值表示为0.10…0。尾数的表示范围为1/2$\le M\le$(1-2 “)。

负数为1.1X x…的形式，其最大值表示为1.0…0; 最小值表示为1…1. .尾数的表示范围为- (1 2 “)$\le M\le$– 1/2。

规格化的原码尾数，最高数值位一定是1

2.用补码表示的尾数进行规格化:
正数为0.1X x…的形式，其最大值表示为011…1; 最小值表示为0.0…0。尾数的表示范围为1/2$\le M\le$(1-2”)。

负数为1.0X x…的形式，其最大值表示为1.01…1 最小值表示为1.00…0。尾数的表示范围为-1$\le M\le$-(1/2+2 “)。

规格化的补码尾数，符号位与最高数值位一定相反

因为补码尾数符号位为0时，最高位要是1，为1时最高位要是0，并且要左移，因此就是左移三位，就是阶码-3，变成0 011 1 0100000

知识点回顾

浮点数标准IEEE 754

移码的定义：移码=真值+偏置值

在IEEE754中，偏置值就是127D=0111 1111B

这是IEEE754标准下的浮点数表示结构，分为数符、阶码和尾数（相比较之前的去掉了阶码的符号位，直接在阶码的最高位中表示）

并且在尾数中默认舍去了最高位的1（尾数用原码表示）

不同类型的数据类型，对应的浮点数长度不同，具体可由上面看出

短浮点数的真值：$(-1{)}^s\ast 1.M\ast 2^{E-127}$

s是数符，代表数的正负

当阶码全0的时候表示，尾数的首位就是0,但是尾数不为0，表示为（0.xxx……）*$2^{-126}$

当阶码全0，尾数全0，表示真值0

当阶码全1，尾数全0，表示无穷大

当阶码全1，尾数不全0，表示非数值NULL

浮点数运算

1. 对阶
   阶数小的向阶数大的对齐（也就是阶码变大，尾数部分逻辑右移）
2. 尾数加减
   这个就很好理解了，就是加减
3. 规格化
   这个就是遵循浮点数规格（一般是IEEE）
4. 舍入
   超过精度的位会被舍弃（例如尾数只有12位，但是真值有15位，就会被舍弃掉三位）
5. 判溢出
   若是阶码超越规定位数，则判断为溢出

举例：
例:已知十进制数X=- -5/256、 Y=+59/1024 ,按机器补码浮点运算规则计算X- Y ,结果用二进制表示,浮点数格式如下:阶符取2位,阶码取3位,数符取2位,尾数取9位（一般在考卷中不会有IEEE 754，因为太长了）

机器补码浮点运算—用补码表示阶码和尾数

X=11 011 11 011000000
Y=11 100 00 111011000

（1）求阶差 $[△E{]}_{补}=11011+00100=11111=-1$（这就是负-负=负+[负]${}_{补}$，相当于左移一位）
（2）对阶 X：11 011 11 011000000 → 11 100 11 101100000

（3）尾数加减：
-Y：11 100 11 000101000
X-Y：11 100 10 110001000

（4）规格化
前面也讲过双符号位中10代表向上溢出，因此需要进行右规

11 101 11 011000100
（5）舍入
这里精度够，无需舍弃

（6）判断溢出
阶码正常，没有溢出

舍入用的方法：“0”舍“1”入法:类似于十进制数运算中的“四舍五入”法，即在尾数右移时，被移去的最高数值位为0，则舍去;被移去的最高数值位为1，则在尾数的末位加1。这样做可能会使尾数又溢出，此时需再做一次右规。

恒置“1”法:尾数右移时，不论丢掉的最高数值位是“1”还是“0”都使右移后的尾数末位恒置“1”。这种方法同样有使尾数变大和变小的两种可能。

强制类型转化

char→int→long→double
float→double
范围、精度从小到大，转换过程没有损失
32位
int：表示整数，范围$-2^{31}{2}^{31}-1$，有效数字32位

float：表示整数及小数，范围$\pm [2^{-126}{2}^{127}\ast (2-2^{-23})]$，有效数字23+1=24位

int→float：可能损失精度
float→int：可能溢出及损失精度

知识点回顾

算数逻辑单元

算术逻辑单元由ALU和加法器构成

ALU

ALU需要接收信号（操作数），因此有端口$A_i、B_i$
ALU需要接收指令（知道做什么操作），因此有端口$K_i$
ALU需要输出结果，因此有端口$F_i$

这是ALU的实际图片，可以清晰的看出A、B是四位，S是用来控制，F是输出的，其余的用来辅助（做一些别的事）

逻辑符号

与 表达式：$Y=A\cdot B$（A、B相同时为1，不同时为2）

或 表达式：$Y=A+B$（A、B中有一个为1，就是1，全0是为0）

非 表达式：$Y=\overline{A}$（取反）

与、或、非的电路符号

虽然是基本知识，但是还是写一下

懒得打了，直接截图了，毕竟简单

今天的文章计算机组成第二章_计算机组成原理第六版课后答案分享到此就结束了，感谢您的阅读。