【Section】克拉默法则、体积和线性变换
对任意nXn矩阵A和任意的Rn中向量b,令Ai(b)表示A中第i列由向量b替换得到的矩阵。
【定理7】(克拉默法则)设A是一个可逆的nXn矩阵,对Rn中任意向量b,方程Ax=b的唯一解可由下列给出
【注意】xi中的i是解列向量中的第i个元素,Ai(b)是指将A中的i列替换为b。注意这两个i的含义。
求A-1的公式
由克拉默法可以容易导出一个nXn矩阵A的逆的一般公式。A-1的第j列是一个向量x,满足
Ax= ej
此处ej是单位矩阵的第j列,x的第i个数值是A-1中(i, j)位置的数值,由克拉默法则
【理解阐述】上面的式子是求A-1的关键步骤,存在2个点需要说明:
1.如何将克拉默法则转换为余因子Cji的计算?
克拉默法则是将A的第i列替换为单位阵的第j列,(替换后的A矩阵的第i列只有第j个元素为1,其余都为0,)计算该行列式的值可以使用以前的按照列展开的余因子计算,但第i列中,除了第j行其他都为零,相当于,替换后的行列式A的值就等于替换前矩阵A的第j行第i列的余因子。
2.为什么是Cji,而不是Cij?
正如前面所说,单位阵的第j列向量放在了A矩阵的第i列,在计算行列式时,该行列式的值相当于第j行第i列的余因子。
【定理9】若A是一个2X2矩阵,则由A的列确定的平行四边形的面积为|detA|,若A是一个3X3的矩阵,则由A的列确定的平行六边形的体积为|detA|。
【定理10】设T:R2->R2是由一个2X2矩阵A确定的线性变换,若S是R2中的一个平行四边形,则
{T(S)的面积}=|det A|*{S的面积}
若T是一个3X3矩阵A确定的线性变换,而S是R3中的一个平行六面体,则
{T(S)的体积}=|det A|*{S 的体积}
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