http://blog.sina.com.cn/s/blog_4b700c4c0102e30g.html
转载自:
http://blog.csdn.net/chenlanjie842179335/article/details/8039031
http://baike.baidu.com/link?url=vaXfsVpSGNdfKJTG1BPcWUamwWCAX5KI3jZfYSAmjPfNpviuvHYxZp-1EgZZfstidhA3Rjkv2rjTvNpZYP_lIa
四元数是由爱尔兰数学家威廉·卢云·哈密顿在1843年发现的数学概念。四元数的乘法不符合交换律。
明确地说,四元数是复数的不可交换延伸。如把四元数的集合考虑成多维实数空间的话,四元数就代表着一个四维空间,相对于复数为二维空间。
基础
定义
复数是由实数加上元素 i 组成,其中
- 。
相似地,四元数都是由实数加上三个元素 i、j、k 组成,而且它们有如下的关系:
每个四元数都是 1、i、j 和 k 的线性组合,即是四元数一般可表示为。
要把两个四元数相加只需将相类的系数加起来就可以,就像复数一样。至于乘法则可跟随以下的乘数表:
× | 1 | i | j | k |
---|---|---|---|---|
1 | 1 | i | j | k |
i | i | -1 | k | -j |
j | j | -k | -1 | i |
k | k | j | -i | -1 |
四元数的单位元的乘法构成了八阶四元群,。
例子
假设:
那么:
性质
四元数不像实数或复数那样,它的乘法是不可交换的,例如
- ;
- ;
- 。
四元数是除法环的一个例子。除了没有乘法的交换律外,除法环与域是相类的。特别地,乘法的结合律仍旧存在、非零元素仍有唯一的逆元素。
四元数形成一个在实数上的四维结合代数(事实上是除法代数),并包括复数,但不与复数组成结合代数。四元数(以及实数和复数)都只是有限维的实数结合除法代数。
四元数的不可交换性往往导致一些令人意外的结果,例如四元数的 n-阶多项式能有多于 n 个不同的根。例如方程式 就有无数多个解。 只要是符合 的实数,那么 就是一个解。
一个四元数 的共轭值定义为:
而它的绝对值则是非负实数,定义为:
注意,一般状况下不等于。
四元数的乘逆可以算得。
透过使用距离函数 ,四元数便可成为同胚于 的度量空间,并且有连续的算术运算。另外,对于所有四元数和皆有 。 若以绝对值为模,则四元数可组成一实数 巴拿赫空间。
群旋转
如四元数和空间转动条目所释,非零四元数的乘法群在R3的实部为零的部分上的共轭作用可以实现转动。单位四元数(绝对值为1的四元数)若实部为cos(t),它的共轭作用是一个角度为2t的转动,转轴为虚部的方向。四元数的优点是:
- 表达式无奇点(和例如欧拉角之类的表示相比)
- 比矩阵更简炼(也更快速)
- 单位四元数的对可以表示四维空间中的一个转动。
所有单位四元数的集合组成一个三维球S3和在乘法下的一个群(一个李群)。S3是行列式为1的实正交3×3正交矩阵的群SO(3,R)的双重复盖,因为每两个单位四元数通过上述关系对应于一个转动。群S3和SU(2)同构,SU(2)是行列式为1的复酉2×2矩阵的群。令A为形为a + bi + cj + dk的四元数的集合,其中a, b, c和d或者都是整数或者都是分子为奇数分母为2的有理数。集合A是一个环,并且是一个格。该环中存在24个四元数,而它们是施莱夫利符号为{3,4,3}的正二十四胞体的顶点。
以矩阵表示四元数
有两种方法能以矩阵表示四元数,并以矩阵之加法、乘法应用于四元数之加法、乘法。
第一种是以二阶复数矩阵表示。若 h = a + bi + cj + dk 则它的复数形式为:
这种表示法有如下优点:
- 所有复数 (c = d = 0) 就相应于一个实矩阵。
- 四元数的绝对值的平方就等于矩阵的行列式。
- 四元数的共轭值就等于矩阵的共轭转置。
- 对于单位四元数 (|h| = 1) 而言,这种表示方式给了四维球体和SU(2)之间的一个同型,而后者对于量子力学中的自旋的研究十分重要。(请另见泡利矩阵)
第二种则是以四阶实数矩阵表示:
其中四元数的共轭等于矩阵的转置。
四元数运算
四元数运算在电动力学与广义相对论中有广泛的应用。四元数可以用来取代张量表示。有时候采用带有复数元素之四元数会比较容易,导得结果不为除法代数之形式。然而亦可结合共轭运算以达到相同的运算结果。
此处仅讨论具有实数元素之四元数,并将以两种形式来描述四元数。其中一种是矢量与标量的结合,另一形式两个创建量(constructor)与双矢量(bivector;i、j与k)的结合。
定义两个四元数:
其中表示矢量<b, c, d>,而表示矢量<x, y, z>.
加、乘和一般函数
-
四元数加法:p + q
-
跟
复数
、
矢量
和
矩阵
一样,两个四元数之和需要将不同的元素加起来:
加法遵循实数和复数的所有交换律和结合律。
-
四元数乘法:pq
-
两个四元数之间的非可换乘积通常被
格拉斯曼
称为积,这个积上面已经简单介绍过,它的完整型态是:
由于四元数乘法的非可换性,pq并不等于qp。格拉斯曼积常用在描述许多其他代数函数。qp乘积的矢量部分是:
-
四元数点积: p · q
-
点积也叫做
欧几里得
内积
,四元数的点积等同于一个四维矢量的
点积
。
点积
的值是p中每个元素的数值与q中相应元素的数值的乘积的和。这是四元数之间的可换积,并返回一个
标量
。
点积可以用格拉斯曼积的形式表示:
这个积对于从四元数分离出一个元素有用。例如,i项可以从p中这样提出来:
-
四元数外积:Outer(p,q)
欧几里得外积并不常用; 然而因为外积和内积的格拉斯曼积形式的相似性.它们总是一同被提及:
-
四元数偶积:Even(p,q)
四元数偶积也不常用,但是它也会被提到,因为它和奇积的相似性。它是纯对称的积;因此,它是完全可交换的。
-
四元数叉积:p × q
四元数叉积也称为奇积。它和矢量叉积等价,并且只返回一个矢量值:
-
四元数转置:p−1
四元数的转置通过p−1p = 1被定义。它定义在上面的定义一节,位于属性之下(注意变量记法的差异)。其建构方式相同于复倒数(complex inverse)之构造:
一个四元数的自身点积是个标量。四元数除以一个标量等效于乘上此标量的倒数,而使四元数的每个元素皆除以此一除数。
-
四元数除法:p−1q
四元数的不可换性导致了 p−1q 和 qp−1的不同。这意味着除非p是一个标量,否则不能使用q/p这一符号。
-
四元数标量部:Scalar(p)
四元数的标量部分可以用前面所述的点积来分离出来:
-
四元数矢量部:Vector(p)
四元数的矢量部分可以用外积提取出来,就象用点积分离标量那样:
-
四元数模:|p|
四元数的绝对值是四元数到原点的距离。
-
四元数符号数:sgn(p)
一复数之符号数乃得出单位圆上,一个方向与原复数相同之复数。四元数的符号数亦产生单位四元数:
-
四元数辐角:arg(p)
辐角函数可找出一4-矢量四元数偏离单位标量(即:1)之角度。此函数输出一个标量角度。
幂和对数
因为四元数有除法,所以幂和对数可以定义。
- 自然幂:
- 自然对数:
- 幂:
三角函数
- 正弦:
- 余弦:
- 正切:
双曲函数
- 双曲正弦:
- 双曲余弦:
- 双曲正切:
反双曲函数
- 反双曲正弦:
- 反双曲余弦:
- 反双曲正切:
反三角函数
将这些被放到最后,是因为需要先定义四元数中的反双曲三角函数。
- 反正弦函数:
- 反余弦函数:
- 反正切函数:
转载自:
http://blog.sina.com.cn/s/blog_557d254601018dfv.html
四元数引入
,即使不考虑空间旋转,只从代数角度来说,三维的复数域作为普通复数域的扩张域也是不存在的。
四元数定义
i^2=j^2=k^2=-1,
ij=k, ji=-k, jk=i, kj=-i, ki=j, ik=-j
乘法结合律,
还有乘法对加法的分配律都是成立的,只不过没有乘法交换律。
(右手系的坐标定义的话,望向向量(α,
Q
例子代码
///
#include
#include
///
typedef
{
}
//// Bill
quaternion
{
}
////
quaternion
{
}
////
quaternion
{
}
/////
int
{
}
要想进行等速的球面线性插值,可以
用四元数工具:
*
O)
*
one;
*
*
*
*
*
*
*
*
今天的文章四元数学习中。分享到此就结束了,感谢您的阅读。
版权声明:本文内容由互联网用户自发贡献,该文观点仅代表作者本人。本站仅提供信息存储空间服务,不拥有所有权,不承担相关法律责任。如发现本站有涉嫌侵权/违法违规的内容, 请发送邮件至 举报,一经查实,本站将立刻删除。
如需转载请保留出处:https://bianchenghao.cn/67233.html