求最大公约数辗转相除法的原理_欧几里得算法求最大公约数「建议收藏」

最大公约数（Greatest Common Divisor）指两个或多个整数共有约数中最大的一个。

也称最大公因数、最大公因子，a， b的最大公约数记为（a，b），同样的，a，b，c的最大 公约数记为（a，b，c），多个 整数的最大公约数也有同样的记号。求最大公约数有多种 方法，常见的有 质因数分解法、 短除法、 辗转相除法、 更相减损法。与最大公约数相对应的概念是 最小公倍数，a，b的 最小公倍数记为[a，b]。

再来介绍一下辗转相除法：

辗转相除法又叫欧几里得算法,是欧几里得最先提出来的.辗转相除法的实现,是基于下面的原理(在这里用(a,b)表示a和b的最大公因数)：
　　(a,b)=(a,ka+b),其中a、b、k都为自然数.………………①
　　也就是说,两个数的最大公约数,将其中一个数加到另一个数上,得到的新数,其公约数不变,比如(4,6)=(4+6,6)=(4,6+2×4)=2.要证明这个原理很容易：如果p是a和ka+b的公约数,p整除a,也能整除ka+b.那么就必定要整除b,所以p又是a和b的公约数,从而证明他们的最大公约数也是相等的.
　　基于上面的原理,就能实现我们的迭代相减法：
　　(78,14)=(64,14)=(50,14)=(36,14)=(22,14)=(8,14)=(8,6)=(2,6)=(2,4)=(2,2)=(0,2)=2
　　基本上思路就是大数减去小数,一直减到能算出来为止,在作为练习的时候,往往进行到某一步就已经可以看出得值.迭代相减法简单,不过步数比较多,实际上我们可以看到,在上面的过程中,由(78,14)到(8,14)完全可以一步到位,因为(78,14)=(14×5+8,14)=(8,14),由此就诞生出我们的辗转相除法.
　　用辗转相除法求(a,b).设r0=b,r1=a,反复运用除法算式,得到一系列整数qi,ri和下面的方程：
　　相当于每一步都运用原理①把数字进行缩小,上面右边就是每一步对应的缩小结果,可以看出,最后的余数rn就是a和b的公约数.迭代相减法和辗转相除法在本质上是一样的,相对来说,减法比较简单（需要10步）,但是除法步数少（仅需4步）.

因此可以通过这个原理来求出最大公约数： 

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;

int fun(int m,int n){
	int rem;			//余数，当余数为0的时候，最后的m即为最大公约数
	//先用较小的数对较大的数取余，再用余数对较小的数求余，直到余数为零 
	while(n > 0){
		rem = m % n;
		m = n;
		n = rem;
	}
	return m;			//将结果返回			
}
int main(){
	int n,m;
	cin>>m>>n;
	cout<<"m和n的最大公约数为："<<fun(m,n)<<endl;
	return 0; 
} 

因为到余数为零结束，所以还可以将程序简化一下用递归来求：

int fun(int m,int n){
	if(n==0) return m;
	return fun(n,m%n);
}

再简化一下，用一行代码来求：

int gcd(int m, int n) {
    return n ? gcd(n, m % n) : m;
}

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