李雅普诺夫稳定性理论英文_李雅普诺夫一法和二法的区别

1892年，俄国学者李雅普诺夫提出的稳定性定理采用了状态向量来描述，适用于单变量，线性，非线性，定常，时变，多变量等系统。

目前，李雅普诺夫理论是证明非线性系统稳定性的重要理论依据，也是设计控制算法的重要方法之一。

这里介绍李雅普诺夫直接法（第二法）

基础知识

1、二次型定义及其表达式

形如

$$f(x,y)= ax^2 + 2bxy + cy^2$$ ，每项的次数都是2。矩阵表示为：

$$V(x_1,x_2, \cdots , x_n)=[x_1,x_2,\cdots,x_n] \begin{bmatrix} p_{11},&p_{12},& \dots, &p_{1n} \\ p_{21},& p_{22},& \dots, & p_{2n} \\ \cdots ,& \cdots, & \cdots, & \cdots \\ p_{n1},&p_{n2},& \dots, &p_{nn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} = x^T P x$$

其中，

P
$P$ 为对称矩阵。

2、（二次型）V(x) 判据

（1）、 $V(x)$正定的充分必要条件是矩阵 $P$的所有主子式行列式为正。
（2）、若 $P$ 是奇异矩阵，且它的所有主子式行列式均非负，则 $V(x)$ 为半正定的。
（3）、如果矩阵 $P$的奇数阶主子行列式为负值，偶数阶主子行列式为正值，则其为负定的。
（4）、若 $P$ 正定，则对于任意 $x \neq 0$, 总有 $V(x) > 0$。

3、任意 V(x) 判据

（1）、则对于任意 $x \neq 0$, 总有 $Q(x) =x^T Q x> 0$ ，则称 $Q(x)$ 为正定函数。
（2）、则对于任意 $x$, 总有 $Q(x) =x^T Q x \geq 0$ ， 且存在 $x \neq 0$ ，使 $Q(x) =0$，则称 $Q(x)$ 为半 正定函数。
（3）、若 $-Q(x)$ 为（半）正定函数，则 $Q(x)$ 为（半）负定函数

稳定性定理

一、稳定性定义

1、对系统 $\dot x = f(x,t)$,若任意给定一个实数 $\epsilon > 0$，总存在另一个实数$\delta (\epsilon,t_0)>0$ ，使当 初始条件 $|| x（t_0) || < \delta$ 时，系统的状态 $||x（t）||< \delta ，\forall t \geq t_o$ , 则称系统的平衡状态$x_s$ 是稳定的。否则，就是不稳定的。
2、一致稳定性
如果系统的平衡状态是稳定的，且 $\delta$ 与$t_0$ 无关，（若任意给定一个实数 $\epsilon > 0$，总存在另一个实数$\delta (\epsilon)>0$ ，使当 初始条件 $|| x（t_0) || < \delta$ 时，系统的状态 $||x（t）||< \delta ，\forall t \geq t_o$ ），则该平衡状态是一致稳定的。
若定常系统的平衡状态是稳定的，则一定是一致稳定的。

3、渐近稳定性
若 $x_e$是系统的一个稳定点，对任意 $t_0$，存在正常数
$\delta(t_0) \in R^+$，当 $x(t_0) < \delta$， 系统的状态收敛于0，即

$$\lim\limits_{t\rightarrow{\infty}} ||x-x_e||=0$$

则系统是渐进稳定的。

4、指数稳定性
对一个系统而言，如果存在正常数 $\alpha,\lambda \in R^+$，当初始位置在以原点为中心的球域范围内，即 $x(t_0) \in B_r(o,r)$ 时，系统的状态$x(t)$具有以下的包络线:

$$||x(t)|| \leq ||x(t_0)|| e^{- \lambda (t-t_0)}$$ ,则称平衡点

xs=0
$x_s =0$ 是指数稳定的，其中正常数

λ
$\lambda$ 称为指数收敛率。

二、稳定性定理

李雅普诺夫第二法是从能量的观点出发得来的。任何物理系统的运动都要消耗能量，并且能量总是大于零的。对于一个不受外部作用的系统，如果系统的能量，随系统的运动和时间的增长而连续地减小，一直到平衡状态为止，则系统的能量将减少到最小，那么这个系统是渐近稳定的。

1、局部稳定性定理
设$x=0$是系统的平衡点，如果对于球域 $B_R$，存在一个标量函数 $V(x)$ ，它具有一阶连续偏导数，且满足：
（1）、函数$V(x)$在球域$B_R$上是正定的
（2）、若函数 $V(x)$关于时间的导数在球域$B_R$ 上是半负定的，则平衡点$x=0$是局部稳定的
（3）、若函数$V(x)$关于时间的导数在球域 $B_R$上是负定的，则平衡点 $x=0$是局部渐近稳定的

2、全局稳定性定理

设$x=0$是系统的平衡点，存在一个标量函数 $V(x)$ ，它具有一阶连续偏导数，且满足：
（1）、函数$V(x)$ 是正定的
（2）、 V(x) 正则，即当 $||x|| \rightarrow \infty$ 时， $V(x) \rightarrow \infty$ 。
（3）、若函数 $V(x)$关于时间的导数是半负定的，则平衡点$x=0$是全局稳定的
（4）、若函数$V(x)$关于时间的导数是负定的，则平衡点 $x=0$是全局渐近稳定的

3、全局指数稳定性定理
设$x=0$是系统的平衡点，存在一个标量函数 $V(x)$ ，它具有一阶连续偏导数，且满足：
（1）、函数$V(x)$ 是正定的
（2）、 V(x) 正则，即当 $||x|| \rightarrow \infty$ 时， $V(x) \rightarrow \infty$ 。
（3）、若函数 $V(x)$关于时间的导数是半负定的
（4）、存在两个正数$\lambda_1$ 和$\lambda_2$ ，分别使得

$$V(x) \leq \lambda_1 ||x||^2, \dot V(x) \leq \lambda_2 ||x||^2$$

则平衡点

x=0
$x=0$是全局指数稳定的，指数收敛率为

λ1λ2
$\frac {\lambda_1}{\lambda_2}$

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