Otsu算法,又被称为最大类间方差法(大津算法),是一种确定阈值的算法。
1. 算法理解
Otsu算法之所以称为最大类间方差法是因为,该方法主要是通过阈值进行前后背景分割,而该方法确定最佳阈值的方法是该值使类间方差最大,它是按图像的灰度特性,将图像分成背景和前景两部分,使类间方差最大的分割意味着错分概率最小。
2. 算法原理
以灰度图像为例,对于图像 i m g img img,我们可以将其看作一个 M × N M\times N M×N大小的矩阵,即图像中的像素,每一个值即为像素值,其中像素值在 ( 0 255 ) (0~255) (0 255)之间。
前景(即目标)和背景的分割阈值记作 o p t i m a l t h r e s h o l d optimal_{threshold} optimalthreshold,属于前景的像素点数占整幅图像的比例记为 ω 0 ω_0 ω0,前景平均灰度记为 μ 0 μ_0 μ0;背景像素点数占整幅图像的比例记为 ω 1 ω_1 ω1,其平均灰度记为 μ 1 μ_1 μ1。图像的总平均灰度记为 μ μ μ,类间方差记为 m a x i m u m maximum maximum。
假设图像的背景较暗,并且图像的大小为M×N,图像中像素的灰度值小于阈值 o p t i m a l t h r e s h o l d optimal_{threshold} optimalthreshold的像素个数记作 N 0 N_0 N0,像素灰度大于等于阈值 o p t i m a l t h r e s h o l d optimal_{threshold} optimalthreshold的像素个数记作 N 1 N_1 N1,则有:
ω 0 = N 0 / ( M × N ) (1) ω_0=N_0/ (M×N) \tag{1} ω0=N0/(M×N) (1)
ω 1 = N 1 / ( M × N ) (2) ω_1=N_1/ (M×N) \tag{2} ω1=N1/(M×N) (2)
N 0 + N 1 = M × N (3) N_0 + N_1 = M×N\tag{3} N0+N1=M×N (3)
1 = ω 0 + ω 1 (4) 1 = ω_0 + ω_1\tag{4} 1=ω0+ω1 (4)
μ = ω 0 × μ 0 + ω 1 × μ 1 (5) μ = ω_0 \times μ_0 + ω_1 \times μ_1\tag{5} μ=ω0×μ0+ω1×μ1 (5)
m a x i m u m = ω 0 × ( μ 0 − μ ) 2 + ω 1 × ( μ 1 − μ ) 2 (6) maximum = ω_0 \times (μ_0 – μ)^2 + ω_1 \times (μ_1 – μ)^2\tag{6} maximum=ω0×(μ0−μ)2+ω1×(μ1−μ)2(6)
将式(5)代入式(6),得到等价公式(7):
m a x i m u m = ω 0 × ω 1 × ( μ 0 − μ 1 ) 2 (7) maximum = ω_0 \times ω_1 \times (μ_0 – μ_1)^2\tag{7} maximum=ω0×ω1×(μ0−μ1)2(7)
采用遍历的方法得到使类间方差 m a x i m u m maximum maximum最大的阈值 o p t i m a l t h r e s h o l d optimal_{threshold} optimalthreshold。
3. 分割方式
通过使用Ostu 算法对最佳阈值求解后,我们可以选择不同的分割方式进行分割,分割方式如下:
- 二值法( t h r e s h b i n a r y thresh \;binary threshbinary)
i m g ( i , j ) = { m a x v a l i f i m g ( i , j ) > t h r e s h o l d 0 o t h e r w i s e (8) img(i,j)=\begin{cases} maxval & if \quad img(i,j)>threshold\\ 0 & otherwise \end{cases}\tag{8} img(i,j)={
maxval0ifimg(i,j)>thresholdotherwise(8)
当然,该方法也可以稍微转变,改变前后背景,即目标,如公式(9)
i m g ( i , j ) = { 0 i f i m g ( i , j ) > t h r e s h o l d m a x v a l o t h e r w i s e (9) img(i,j)=\begin{cases} 0& if \quad img(i,j)>threshold\\ maxval & otherwise \end{cases}\tag{9} img(i,j)={
0maxvalifimg(i,j)>thresholdotherwise(9)
公式(9)也可以被称作逆二值法( t h r e s h b i n a r y i n v thresh \;binary\;inv threshbinaryinv)
- 截断法( t h r e s h t r u n c thresh \;trunc threshtrunc)
i m g ( i , j ) = { t h r e s h o l d i f i m g ( i , j ) > t h r e s h o l d i m g ( i , j ) o t h e r w i s e (10) img(i,j)=\begin{cases} threshold& if \quad img(i,j)>threshold\\ img(i,j) & otherwise \end{cases}\tag{10} img(i,j)={
thresholdimg(i,j)ifimg(i,j)>thresholdotherwise(10)
该方法能不能像上面方法一样,有一个逆截断法呢?当然也是可以的,可以根据具体需要进行相应的改变。
逆截断法( t h r e s h t r u n c i n v thresh \;trunc\;inv threshtruncinv) 如公式(11)所示:
i m g ( i , j ) = { i m g ( i , j ) i f i m g ( i , j ) > t h r e s h o l d t h r e s h o l d o t h e r w i s e (11) img(i,j)=\begin{cases} img(i,j)& if \quad img(i,j)>threshold\\ threshold & otherwise \end{cases}\tag{11} img(i,j)={
img(i,j)thresholdifimg(i,j)>thresholdotherwise(11)
- 归零法( t h r e s h t o z e r o thresh\;tozero threshtozero)
i m g ( i , j ) = { i m g ( i , j ) i f i m g ( i , j ) > t h r e s h o l d 0 o t h e r w i s e (12) img(i,j)=\begin{cases} img(i,j)& if \quad img(i,j)>threshold\\ 0& otherwise \end{cases}\tag{12} img(i,j)={
img(i,j)0ifimg(i,j)>thresholdotherwise(12)
逆归零法( t h r e s h t o z e r o i n v thresh\;tozero\;inv threshtozeroinv) 如公式(13)所示:
i m g ( i , j ) = { 0 i f i m g ( i , j ) > t h r e s h o l d i m g ( i , j ) o t h e r w i s e (13) img(i,j)=\begin{cases} 0& if \quad img(i,j)>threshold\\ img(i,j)& otherwise \end{cases}\tag{13} img(i,j)={
0img(i,j)ifimg(i,j)>thresholdotherwise(13)
4. 算法评价
优点:算法简单,当目标与背景的面积相差不大时,能够有效地对图像进行分割。
缺点:类间方差法对噪声以及目标大小十分敏感,它仅对类间方差为单峰的图像产生较好的分割效果。当目标与背景的大小比例悬殊时(例如受光照不均、反光或背景复杂等因素影响),类间方差准则函数可能呈现双峰或多峰,或者目标与背景的灰度有较大的重叠时,效果不不是很理想。
原因:该方法忽略了图像的空间信息,同时将图像的灰度分布作为分割图像的依据,对噪声也相当敏感。
5. 算法实现
以下方图片为例:
使用Ostu 算法进行分割的效果如下:
上图分割时使用的是归零法。
算法代码
- Ostu算法(最大类间方差代码)
function[optimal_threshold] = Maximum_between_class_variance(img)
[row, col] = size(img);
count_pixel = row * col;
maximum = -1;
for i=0:255
N0 = sum(sum(img<i));
N1 = count_pixel - N0;
omega0 = N0 / count_pixel;
omega1 = 1 - omega0;
mu0 = sum(img(img<i)) / N0;
mu1 = sum(img(img>=i)) / N1;
g = omega0 * omega1 * (mu0 - mu1) ^ 2;
if g > maximum
maximum = g;
optimal_threshold = i;
end
end
end
- 测试代码
img = imread("fig.tif");
imshow(img)
threshold = Maximum_between_class_variance(img);
img(img<=threshold) = 0;
imshow(img);
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