拉普拉斯分布_拉普拉斯分布和正态分布的区别

       如果随机变量的概率密度函数分布如下图所示，那么它就是拉普拉斯分布，记为x-Laplace（μ,λ)，其中，μ 是位置参数，λ 是尺度参数。如果 μ = 0，那么，正半部分恰好是尺度为 1/λ(或者λ，看具体指数分布的尺度参数形式) 的指数分布的一半。

1.定义

       设随机变量 具有密度函数

      其中 为常数，且 ，则称 服从参数为 的拉普拉斯分布。

     易见， ,且 ，（令 ） = .

     可见 确定了一个密度函数，

     此外，

 .

        如下图给出了拉普拉斯分布的密度曲线（ ）。

2.性质

                                        . (1)

          则称X服从参数为 （位置参数）和 （尺度参数）的拉普拉斯（Laplace）分布，记作

                                                                                   .

       （1）拉普拉斯分布的密度函数如式（1）关于 对称，且在该点达到极大值 ，即是它的众数。 越小曲线越陡， 越大曲线越平坦。它有两个拐点 。

      （2）设 ，则它的分布函数为 .

      （3）设 ，则 .

      （4）设 ，则它的r阶中心矩为 当r为奇数是其值为0，为偶数时其值为 。

      （5）设 ，则.

      （6）设，则它的矩母函数和特征函数为,     . 

3.应用

        在近代统计中，稳健性占有重要的地位，例如在古典回归分析中，用偏差平方和的大小作标准，来选择回归系数使它达到极小，这种回归不具有稳健性，然而，如改为用偏差的绝对值和作为标准，却具有稳健性.。于是研究随机变量绝对值的分布是很有意义的. 设，可以证明，其中这是一个很有意思的结果。若X与Y独立同分布于，则，上述两个事实表明，若在回归分析中假定服从拉普拉斯分布，并用绝对偏差和作为标准，可以导出很多良好的性质。

      （1）拉普拉斯分布与正态分布有一定的联系。 设 X , Y , Z ,W 独立同分布于N（0，1），则

      （2）拉普拉斯分布和哥西分布之间有着非常有趣的联系。C (0,1) 的分布密度和特征函数分为

 而的分布密度和特征函数分别是

       我们看到，C(0,1)的分布密度与的特征函数有相同的形式 (仅差一个常数) ，而C (0,1)的特征函数与的分布密度也有相同的性质(仅差一个常数) 。

      设是总体的样本，欲通过它们来估计和，将重排得,若n为奇数，用作为的估计；若n为偶数，则可用至之间的任何一个数来作为的估计，通常用

而的估计是：

若已知，则

若未知，则

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