二次互反律的证明
二次互反定律有三部分。
第一部分告诉我们 −1 − 1 何时是二次剩余;第二部分告诉我们 2 2 何时是二次剩余。
第三部分告诉我们:(精简一下)
(pq)(qp)=(−1)p−12⋅q−12
一、二部分借助欧拉准则和高斯的trick(
criterion of Gauss c r i t e r i o n o f G a u s s
)已经证明。
下面我们介绍的是 Eisenstein′sproof E i s e n s t e i n ′ s p r o o f 的方法证明第三部分。 其也是 criterion of Gauss c r i t e r i o n o f G a u s s 的思想。
首先, p p 是素数,
a
是不被 p p 整除的数,为了方便,令
P=p−12
我们考虑这样一组数
经过减去
p p
的操作,让这一组数落在
[−P,P]
内
令 μ(a,p) μ ( a , p ) 表示这样操作后,这一组数中负数的个数
而高斯准则给出了 (ap) ( a p ) 的值
定理 高斯准则
在证明高斯准则之前,我们先来研究一下前面的辣个操作,即将序列减至
[−P,P] [ − P , P ]
之间,序列有什么特征?
推论1 操作后的序列, P P 个
[−P,P]
之间的数,这 P P 个数的绝对值,必定取遍
[1,P]
,即没有任何两个数绝对值是相同的。
推论的证明 rk=ka−pqk r k = k a − p q k 这里 −P≤rk≤P − P ≤ r k ≤ P 我们假设存在 i,jst ri=erj with e=±1 i , j s t r i = e r j w i t h e = ± 1 ,
则有 ia−eja=(pqi+ri)−e(pqj+rj)=p(qi−eqj) i a − e j a = ( p q i + r i ) − e ( p q j + r j ) = p ( q i − e q j )
所以 p|(i−ej)a p | ( i − e j ) a ,但是 p p 是素数且不整除
a
,所以 p|(i−ej) p | ( i − e j )
然而
所以
i=j i = j
成立。即没有任何两个数绝对值是相同的。
证毕。
高斯准则的证明
将序列相乘,可以得到, a⋅2a⋅3a⋅...⋅Pa=aP⋅P! a ⋅ 2 a ⋅ 3 a ⋅ . . . ⋅ P a = a P ⋅ P !
另一方面,上面的推论告诉我们 a⋅2a⋅3a⋅...⋅Pa≡(±1)⋅(±2)⋯(±P)(mod p) a ⋅ 2 a ⋅ 3 a ⋅ . . . ⋅ P a ≡ ( ± 1 ) ⋅ ( ± 2 ) ⋯ ( ± P ) ( m o d p )
我们已经定义其中符号的数量为 μ(a,p) μ ( a , p ) ,则
由于
P! P !
和
p p
是互质的,所以可以约去,得到:
aP≡(−1)μ(a,p)(mod p)
由上两节的欧拉准则可知,
所以
证毕。
下面开始 Eisenstein′s proof of Quadratic Reciprocity E i s e n s t e i n ′ s p r o o f o f Q u a d r a t i c R e c i p r o c i t y
首先对 μ(a,p) μ ( a , p ) 有一个恒等式
推论2 a a 是不被
p
整除的奇数,则有
证明
ka=rk+pqk, −P≤rk≤P k a = r k + p q k , − P ≤ r k ≤ P
两边同时除以 p p ,有
kap=qk+rkp,with−12<rkp<12
两边下取整,有
求和后有
我们要证明的是 mod 2 m o d 2 意义下。于是对式子 ka=rk+pqk k a = r k + p q k 进行化简
由于 a,p a , p 都是奇数,则 k≡rk+qk (mod 2) k ≡ r k + q k ( m o d 2 )
对其两边求和可得, ∑Pk=1k≡∑Pk=1rk+∑Pk=1qk(mod 2) ∑ k = 1 P k ≡ ∑ k = 1 P r k + ∑ k = 1 P q k ( m o d 2 )
由推论1我们知道, ∑Pk=1≡1+2+3+⋯+P(mod 2) ∑ k = 1 P ≡ 1 + 2 + 3 + ⋯ + P ( m o d 2 )
即 ∑k ∑ k 和 ∑rk ∑ r k 是同余的
所以 ∑Pk=1qk≡0(mod 2) ∑ k = 1 P q k ≡ 0 ( m o d 2 ) 。从而有
证毕。
下面进入最后的证明。即二次互反律的证明。
证明 p,q p , q 是奇素数,令 P=p−12,Q=q−12 P = p − 1 2 , Q = q − 1 2
我们考虑下图所示的二维点阵
上图三角形中有多少个点点呢?
应该是 ∑Pk=1⌊kqp⌋ ∑ k = 1 P ⌊ k q p ⌋
然后同样地考虑上面的三角形,有 ∑Qk=1⌊kpq⌋ ∑ k = 1 Q ⌊ k p q ⌋ 个点点
所以点点和是 ∑Pk=1⌊kqp⌋+∑Qk=1⌊kpq⌋ ∑ k = 1 P ⌊ k q p ⌋ + ∑ k = 1 Q ⌊ k p q ⌋
于是由推论2知, ∑Pk=1⌊kqp⌋+∑Qk=1⌊kpq⌋≡μ(p,q)+μ(q,p)(mod 2) ∑ k = 1 P ⌊ k q p ⌋ + ∑ k = 1 Q ⌊ k p q ⌋ ≡ μ ( p , q ) + μ ( q , p ) ( m o d 2 )
而点点的总和也是 P⋅Q P ⋅ Q
即 p−12⋅q−12≡μ(p,q)+μ(q,p)(mod 2) p − 1 2 ⋅ q − 1 2 ≡ μ ( p , q ) + μ ( q , p ) ( m o d 2 )
所以由高斯准则:
证毕。
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