数的运算之除法

一．概念描述

现代数学：除法是数学中的基本运算之一，已知两个数a，b(b≠0)，要求一个数q，使q与b的积等于a，这种运算称为除法，记为a÷b=q或a：b=q，读作a除以b等于q，a比6等于q。a称为被除数，b称为除数，q称为a与b的商，符号“÷”或“：”称为除号或比号。

除法可以定义为：已知两数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。因此，除法还是乘法的逆运算。除法还可以看作从被除数中连续减去除数，求减去除数的次数的算法。特别地，对于任意数a÷1 =a，a÷a=1, 0÷a=0。

小学数学：现行的小学数学教材一般是在二年级时开始学习除法，教材中没有给出除法的定义。不同版本的教材都是结合生活实例，让学生在分一分的活动中，感受到在生活中分东西时，可以按份数平均分，也可以按每份数平均分，在积累了大量等分经验基础上引出除法。

二．概念解读

自然数的除法，一般作为乘法的逆运算加以定义。但是，也可以直接定义，像将乘法定义为连加某个数一样，也可把除法定义为连减某个数，直到不能减为止。若剩余数为0，则称为除尽；否则，称为带余除法。

在除法中，零不能做除数。因为在a÷b=q中，当a≠0时，由于任何数乘0都不可以等于a，所以a÷b的商不存在；当a=0时，由于任何数乘0都等于0，所以a÷b的商不确定。

除法的本质是平均分，一般人认为，现代记号“÷”作为除法运算的符号，首创者是瑞士数学家雷恩。据说，雷恩先生在做数学运算时，遇到要把一个整体分成几份的问题，但没有符号可以表示这种分法。于是，他就用一条短横线把两个圆点分开，表示分解的意思。这种推测，道出了除法表示等分成几份之意。

除法算式一般有两种读法。如8÷2=4，可以读作8除以2等于 4，也可以读作2除8等于 4。这是因为在原先的汉语言表达中，除法是区分主动与被动状态的，“除以”就是用某数除的意思。像刚才说的8除以2，就是以2除8之意。因为“除”和“除以”这两个概念既有区别又有联系，所以常常引起学生的混淆。近些年来，随着“乘”和“乘以”两个概念统一为“乘”，“除”和“除以”这两个概念是否统一也成了老师们热议的话题。

在小学，除法概念的学习分为两个阶段。第一个阶段是在中低年级，数的范围局限在非负整数集。这时主要理解：除法表示平均分，以及除法是乘法的逆运算。第二个阶段是在高年级，数的范围在整数、小数、分数上，主要理解除法和分数、比的关系。可见，学生学习除法概念的过程是由浅人深、循序渐进的。

三．教学建议

除法是平均分的数学化表示。学生只有充分经历“平均分”的过程，明确“平均分”的含义，建立起“平均分”的清晰表象，才能为认识除法打好基础。侯丽丽老师充分重视“平均分”在除法学习中的重要作用，在教学中能够抓住概念本质，带领学生深入理解平均分。具体如下。

(1)重视操作，使学生充分经历平均分的活动

侯老师首先引导学生在动手操作的过程中，理解“平均分”的概念，使学生体会到日常分东西时有一种特殊情况，每份分得同样多，就是平均分。然后侯老师鼓励学生用不同的方法进行平均分。

①探索平均分的方法。

侯老师提出问题：把9个桃子，平均分给3 只小猴，每只小猴几个桃子？学生动手操作后，汇报交流。

方法一：

方法二： 方法三：

方法四： 方法五：

在交流中，学生发现前四种方法每次分给每只小猴的桃子的个数都同样多，所以最后每只小猴都得到了3个桃子。对于方法五，虽然每一次分给每只小猴的桃子的个数不一样，但经过调整后，每只小猴最后分得的结果同样多，也是平均分。学生在交流的过程中还发现，这种方法虽然从最后结果看是平均分，但是有些麻烦，在分的过程中还需要不断地调整，从而体会到为了确保结果是平均分，在分的过程中每一次最好分得同样多。

紧接着，侯老师再出示：猴王摘了8个桃子，每2个给1只小猴，猜猜可以分给几只小猴？学生动手进行验证。

这样，学生在充分经历了平均分物的过程后，不仅掌握了平均分的方法，也对平均分的含义有了进一步的认识。

②突出平均分的本质属性。

侯老师让学生思考：把9个桃子平均分给3只小猴，每只小猴分得3个桃子；又把8个桃子，按每2个桃子分给1只小猴，结果平均分给了4只小猴。想想刚才分的情况有什么相同的地方？

候老师通过这道题目使学生明确：不管是按份数平均分，还是按每份数平均分，结果每一份分得的都同样多，都是平均分。

(2)将平均分的过程与除法算式及含义建立充分的联系

由于除法概念比较抽象，因此除法的初步认识往往会从分物活动引入，使学生理解“除”的实质是平均分。在进行平均分的教学时，就要让学生对平均分的过程和方法非常清楚，要知道分的是什么，怎么分的，分的结果是什么。然后结合平均分的具体情境教学除法算式的写法和含义，使学生体会到被除数是要分的总数，除数是平均分的份数或每份的数，商是平均分的结果，体会到除法是解决平均分问题的一种运算方法。学生经过这样多次的体验、感悟，就能逐渐建构起除法这一概念的模型。

四．推荐阅渎

(1)《整体感悟基础上的分析—“认识除法”的教材分析及教学建议》（刘秘密，《教学月刊（小学版）》，2011年第3期）

该文以“认识除法”一课为例，分析了不同版本的教材编写及其教学过程中的问题，并对教材进行了重组，给出了一些具体的教学建议。

(2)《也谈“除”和“除以”》（王全夫，《中小学数学（小学版）》，2008年第6期）

该文阐述了“除”和“除以”这两个概念以及“除”和“除以”作为不同概念的利弊，并分析了这两个概念和谐统一的可能性。