余弦距离范围_余弦相似度和欧式距离的组合

一、余弦距离

1.1 余弦相似度

余弦相似度是用来衡量两个非零向量之间的夹角的余弦值。对于两个向量 $A$ 和 $B$，余弦相似度的计算公式为：

$$\mathrm{CosineSimilarity}\left(\mathrm{A},\mathrm{B}\right)=\frac{A\cdot B}{\parallel A\parallel \parallel B\parallel }$$

1.2 余弦距离（Cosine Distance）

余弦距离是余弦相似度的补数，即：
$$\mathrm{CosineDistance}\left(\mathrm{A},\mathrm{B}\right)=1-\mathrm{CosineSimilarity}\left(\mathrm{A},\mathrm{B}\right)$$
余弦距离的值范围在0到2之间，越接近0表示两个向量越相似，越接近2表示越不相似。

二、马氏距离

马氏距离是一种测量两个点之间距离的方法，不同于欧几里得距离，它考虑了数据的协方差。

定义：设 $x$和$y$是从均值为 $\mu$，协方差矩阵为$\Sigma$(>0)的样本总体$\pi$中抽取的两个样品（$p$维），则：
$x$到$y$之间的平方马氏距离定义为：
$$d^2(x,y)=(x-y{)}^T{\mathbf{\Sigma }}^{-1}(x-y)$$
若协方差是单位矩阵，即：所有变量之间的协方差都为零，那么数据的各个特征（维度）是相互独立的，且每个特征的方差都等于1。在这种情况下，马氏距离可以简化为欧式距离，因为协方差矩阵的逆矩阵就是单位矩阵。

2.1 方差（Variance）

方差是用来度量单一随机变量的分散程度或波动性的统计量。衡量数据点与数据集均值之间的离散程度。方差越大，数据点越分散，对于随机变量$x$，其方差计算如下：
$$\mathrm{Var}(X)={\sigma }_x^2=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2$$
在计算样本方差时，我们通常将分母中的除数设为 $(n-1)$ 而不是 $n$。这是因为计算样本方差的目的是估计总体方差，而在估计过程中需要考虑样本的大小对估计精度的影响。这种校正的目的是为了更准确地估计总体方差，因为样本方差通常会略微低估总体方差。

当将除数设为 $(n-1)$ 时，称为自由度调整。自由度调整的原因在于样本中的数据点之间并不是完全独立的，而是相互关联的。如果我们仅将除数设为 $n$，那么样本方差可能会过低估计总体方差，因为它没有考虑到样本中的这种关联性。

自由度调整考虑了这种关联性，通过将除数设为 $(n-1)$ 来更准确地估计总体方差。这意味着我们不会过于乐观地估计总体方差，从而更好地反映了总体的分散性。这对于统计推断和参数估计非常重要，因为我们希望我们的估计尽可能接近总体参数的真实值。

总结一下，自由度调整的目的是减小样本方差的偏差，使其更接近总体方差的真实值，从而提高统计估计的准确性。这是统计学中常见的惯例。

2.2 协方差（Covariance）

协方差用于度量两个随机变量之间的线性关系，即它度量这两个变量如何一起变化。对于两个随机变量 $X$ 和 $Y$，它们的协方差可以用以下公式计算：
$$\sigma (x,y)=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})$$
上述公式是样本协方差的计算方法。若有整个总体的数据，可以将 (n – 1) 改为 n，得到总体协方差。
$$\mathrm{Cov}(X,Y)=E\left[\left(X-{\mu }_x\right)\left(Y-{\mu }_y\right)\right]$$
正协方差表示两个变量正相关，负协方差表示两个变量负相关，零协方差表示两个变量不相关。

2.3 皮尔逊相关系数（Pearson Correlation Coefficient）

协方差的值可以为正、负或零，但它本身并没有标准化，因此很难用来比较不同数据之间的关系。为了更容易理解变量之间的关系，通常会将协方差标准化为相关系数（Correlation Coefficient），也称为皮尔逊相关系数。相关系数的范围在 -1 到 1 之间，更容易解释和比较不同数据集的关系，为 -1 表示完全负相关，1表示完全正相关，0 表示没有线性关系。相关系数的计算公式如下:
$$r=\frac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{{\sigma }_X{\sigma }_Y}$$
其中${\sigma }_X$和${\sigma }_Y$分别是$X$和$Y$标准差。

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