人工智能谓词公式_关于人工智能的概念

人工智能基本原理-谓词逻辑

在逻辑学的体系当中，谓词逻辑相比于命题逻辑，可以描述更加复杂丰富的推理形式。在谓词逻辑中，可以描述命题逻辑无法描述的局部和整体、一般和个别的关系。在阅读本文时，希望读者对命题逻辑有基础的了解。也可以去看看本系列的上一篇有关命题逻辑的文章。

为什么要有谓词逻辑？

在此前的文章中，我们已经了解了逻辑学中最为基础的命题逻辑，但是，无论是在生活中还是在我们的人工智能应用场景中，面对的都是较为复杂的环境，在这样的情况下很多问题是无法用命题逻辑进行表述的，所以，我们引入了谓词逻辑对一些命题逻辑无法描述的更复杂一点的命题进行表述。

在命题逻辑当中，每个陈述句都是一个原子命题，我们无法对原子命题进行分解，因此，我们无法使用命题逻辑来描述局部和整体，一般和个别的关系。在命题逻辑的原子命题（也就是陈述句）当中，蕴含了个体、群体和关系等内在的丰富语义，而命题逻辑无法表现这些丰富的语义，我们需要分析原子命题，分离其主语和谓语的关系，这就是谓词逻辑。

谓词逻辑的核心概念

在谓词逻辑中，我们将原子命题分解出个体、谓词和量词，来表达个体与总体之间的内在联系和数量关系，这其中包含了个体、谓词和量词三个核心概念。

• 个体：个体是指所研究领域中可以独立存在的具体或抽象的概念。

• 谓词：谓词是用来刻画个体属性或者描述个体之间关系存在性的元素，其值为真或为假。包含一个参数的谓词称为一元谓词，表示一元关系。包含多个参数的谓词称为多元谓词，表示个体之间的多元关系。

• 量词：分为全称量词和存在量词。

  • 全称量词用符号∀表示，表示一切的、凡是的、所有的、每一个等。 ∀x表示定义域中的所有个体， ∀xP(x)表示定义域中的所有个体具有性质P。

  • 存在量词用符号∃表示，表示存在、有一个、某些等。 ∃x表示定义域中存在一个或若干个个体，∃xP(x)表示定义域中存在一个个体或若干个体具有性质P。

• 约束变元和自由变元

  • 约束变元：在全称量词或存在量词的约束条件下的变量符号称为约束变元。

  • 自由变元：不受全称量词或存在量词约束的变量符号称为自由变元。

我们怎么去应用他们？（公式）

• 在约束变元相同的情况下，量词的运算满足分配律。

  设A(x)和B(x)是包含变元x的谓词公式，则存在如下关系：

  $(\forall x)(A(x)\vee B(x))\equiv (\forall x)A(x)\vee (\forall x)B(x)（不成立）$

  $(\forall x)(A(x)\wedge B(x))\equiv (\forall x)A(x)\wedge (\forall x)B(x)$

  $(\exists x)(A(x)\vee B(x))\equiv (\exists x)A(x)\vee (\exists x)B(x)$

  $(\exists x)(A(x)\wedge B(x))\equiv (\exists x)A(x)\wedge (\exists x)B(x)（不成立）$

  即全称量词对析取没有分配律、存在量词对合取没有分配律。

• 当公式中存在多个量词时，若多个量词都是全称量词或者都是存在量词，则量词的位置可以互换；若多个量词中既有全称量词又有存在量词，则量词的位置不可以随意互换。

  设A(x, y)是包含变元x, y的谓词公式，则如下关系成立：

  $(\forall x)(\forall y)A(x,y)\iff (\forall y)(\forall x)A(x,y)$

  $(\exists x)(\exists y)A(x,y)\iff (\exists y)(\exists x)A(x,y)$

  $(\forall x)(\forall y)A(x,y)\Rightarrow (\exists y)(\forall x)A(x,y)$

  $(\forall x)(\forall y)A(x,y)\Rightarrow (\exists x)(\forall y)A(x,y)$

  $(\exists y)(\forall x)A(x,y)\Rightarrow (\forall x)(\exists y)A(x,y)$

  $(\exists x)(\forall y)A(x,y)\Rightarrow (\forall y)(\exists x)A(x,y)$

  $(\forall x)(\exists y)A(x,y)\Rightarrow (\exists y)(\exists x)A(x,y)$

  $(\forall y)(\exists x)A(x,y)\Rightarrow (\exists x)(\exists y)A(x,y)$

项&原子谓词公式&合式公式

• 项：

  项是描述对象的逻辑表达式，被递归地定义为：

  • 常量符号和变量符号是项；

  • 若f(x1,x2,⋯,xn)是n元函数符号，t1,t2,⋯,tn是项，则f(t1,t2,⋯,tn)是项；

  • 有限次数地使用上述规则产生的符号串是项。

• 原子谓词公式：若P(x1,x2,⋯,xn)是n元谓词，t1,t2,⋯,tn是项，则称P(t1,t2,⋯,tn)是原子谓词公式，简称原子公式。

• 合式公式是由逻辑联结词和原子公式构成的用于陈述事实的复杂语句，又称谓词公式，由以下规则定义：

  • 命题常项、命题变项、原子谓词公式是合式公式；

  • 如果A是合式公式，则¬A也是合式公式；

  • 如果A和B是合式公式，则A∧B、A∨B、A→B 、B→A、A⟷B 都是合式公式；

  • 如果A是合式公式，x是个体变项，则(∃x)A(x) 和(∀x)A(x)也是合式公式；

  • 有限次数地使用上述规则构成的表达式是合式公式。

我们通过上述的一些新的定义，基本可以通过这些来描述我们现实生活中遇到的一些复杂语句。

如何使用谓词逻辑进行推理？（推理规则）

我们在人工智能的学习当中引入谓词逻辑是为了使用这种规范化的形式进行一些事实的推理，完成人工智能应用的功能，所以如何进行推理对我们来说至关重要。

设A(x)是谓词公式， x和y是变元， a是常量符号，则存在如下谓词逻辑中的推理规则：

$全称量词消去(UniversalInstantiation,UI):(\forall x)A(x)\to A(y)$

$全称量词引入(UniversalGeneralization,UG):A(y)\to (\forall x)A(x)$

$存在量词消去(ExistentialInstantiation,EI):(\exists x)A(x)\to A(a)$

$存在量词引入(ExistentialGeneralization,EG):A(a)\to (\exists x)A(x)$

我们通过这样的推理规则可以完成很多谓词逻辑的推理，结合我们讲我们日常接触到的场景进行自然语言的形式化，便可以通过谓词逻辑完成一些自然语言描述的问题的推理工作。

谓词逻辑的应用

谓词逻辑在实际的人工智能应用场景中，主要可以用于专家系统的设计。

开发人员和专业领域人员通过对某个领域的自然语言、文本语句等信息进行逻辑化，并将我们需要解决的问题逻辑化，转化成机器可理解的逻辑语言，通过我们的专家系统的推理机将我们需要解决的问题进行推理并将推理结果输出，这样就完成了一个专家系统的简单工作流程。

写在文末的话

本文是人工智能基本原理专栏的第二篇文章，主要讲述了谓词逻辑的基本概念。在后续的文章中，在对逻辑学进行了基本的介绍后会对其他的人工智能的基本原理性知识进行相关的介绍。欢迎各位在评论区或通过私信作者对本文存在的问题或是文章相关内容进行探讨。
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